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\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage[variant=swiss]{german}


\title{Analysis 2 Zusammenfassung}
\author{Naoki Pross}
\date{Fr\"uhlingsstemester 2020}


\newcommand{\dd}[2][]{\ensuremath{~\mathrm{d}^{#1} #2}}
\newcommand{\deriv}[3][]{\ensuremath{\frac{\dd[#1]{#2}}{\dd[]{#3^{#1}}}}}
\newcommand{\pderiv}[3][]{\ensuremath{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial^{#1} #3}}}
\renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\bm{#1}}}

\newcommand{\brpage}[1]{\textcolor{red!70!black}{\small\texttt{S#1}}}

\begin{document}

\section{Integration \brpage{493,507}}
\subsection{Tricks \brpage{495}}
Linearit\"at \brpage{495}
\[
    \int k(u + v) = k\left(\int u + \int v\right)
\]
Partialbruchzerlegung \brpage{15,498}
\[
    \int \frac{f(x)}{P_n(x)} \dd{x} = \sum_{k=1}^n \int \frac{A_k}{x-r_k}\dd{x}
\]
Elementartransformation \brpage{496}
\[
    \int f(\lambda x + \ell) \dd{x} = \frac{1}{\lambda} F(\lambda x + \ell) + C
\]
Partielle Integration \brpage{497}
\[
    \int u \dd{v} = uv - \int v \dd{u}
\]
Potenzenregel \brpage{496}
\[
    \int u^n \cdot u' = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \qquad n \neq -1
\]
Logaritmusregel \brpage{496}
\[
    \int \frac{u'}{u} = \ln|u| + C
\]
Allgemeine Substutution \brpage{497}\\
 \(x = g(u)\), und \(\dd{x} = g'(u)\dd{u}\)
\[
    \int f(x) \dd{x} = \int (f\circ g) ~ g' \dd{u} = \int \frac{f \circ g}{(g^{-1})'\circ g} \dd{u} 
\]
Universalsubstitution \brpage{504}
\begin{align*}
    t &= \tan(x/2) & \sin(x) &= \frac{2t}{1+t^2} \\
    \dd{x} &= \frac{2\dd{t}}{1+t^2} & \cos(t) &= \frac{1-t^2}{1+t^2} 
\end{align*}
Womit
\[
    \int f(\sin(x), \cos(x), \tan(x)) \dd{x} = \int g(t) \dd{t}
\]

\subsection{Uneigentliches Integral \brpage{520}}
\begin{align*}
    \int\limits_a^\infty f \dd{x} &= \lim_{B \to \infty} \int\limits_a^B f \dd{x} \\
    \int\limits_{-\infty}^b f \dd{x} &= \lim_{A \to -\infty} \int\limits_A^b f \dd{x} \\
    \int\limits_{-\infty}^\infty f \dd{x} &= \lim_{\substack{A \to +\infty \\ B \to -\infty}} \int\limits_A^B f \dd{x}
\end{align*}
Wenn \(f\) im Punkt \(u \in (a,b)\) nicht definiert ist.
\begin{equation} \label{eqn:int-with-pole}
    \int\limits_a^b f \dd{x} = 
    \lim_{\epsilon\to +0} \int\limits_a^{u-\epsilon} f \dd{x}
    + \lim_{\delta\to +0} \int\limits_{u+\delta}^b f \dd{x}
\end{equation}

\subsection{Cauchy Hauptwert \brpage{523}}
Der C.H. (oder PV f\"ur \emph{Principal Value} auf Englisch) eines uneigentlichen Integrals ist der Wert, wenn in einem Integral wie \eqref{eqn:int-with-pole} beide Grenzwerte mit der gleiche Geschwindigkeit gegen 0 sterben.
\[
    \text{C.H.} \int\limits_a^b f \dd{x} = 
    \lim_{\epsilon\to +0} \left( \int\limits_a^{u-\epsilon} f \dd{x}
    + \int\limits_{u+\epsilon}^b f \dd{x} \right)
\]
Zum Beispiel \(x^{-1}\) ist nicht \"uber \(\mathbb{R}\) integrierbar, wegen des Poles bei 0. Aber intuitiv wie die Symmetrie vorschlagt
\[
    \text{C.H.} \int\limits^\infty_{-\infty} \frac{1}{x} \dd{x} = 0
\]

\subsection{Majorant-, Minorantenprinzip und Konvergenzkriterien \brpage{521,473,479,481}}

Gilt f\"ur die Funktionen \(0 < f(x) \leq g(x)\) mit \(x \in [a,\infty)\)
\[
    \text{konvergiert } \int\limits_a^\infty g \dd{x} 
    \implies \text{ konvergiert } \int\limits_a^\infty f \dd{x}
\]
Die selbe gilt umgekehrt f\"ur Divergenz. Wenn \(0 < h(x) \leq f(x)\) 
\[
    \text{divergiert } \int\limits_a^\infty h \dd{x} 
    \implies \text{ divergiert } \int\limits_a^\infty f \dd{x}
\]
\(g\) und \(h\) hei{\ss}en Majorant und Minorant bzw.

\section{Implizite Ableitung \brpage{448}}
\begin{alignat*}{3}
  (af)' &= af' &\quad&& (u(v(x)))' &= u'(v)v' \\
  (uv)' &= u'v + uv' &\quad&& \left(\frac{u}{v}\right)' &= \frac{u'v-uv'}{v^2} \\
  \left(\sum u_i\right)' &= \sum u'_i &\quad&& (\ln u)' &= \frac{u'}{u} \\
  (f^{-1})' &= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
\end{alignat*}
Alle normale differenziazionsregeln f\"ur \(f(x)\) gelten.
Allgemeiner f\"ur die implizite Funktion \(F(x,y) = 0\)
\[
 	\dd{y} = y'\dd{x}
	\qquad
	\pderiv{F}{x} + \pderiv{F}{y} y' = 0
\]


\section{Differentialgeometrie}
\subsection{Ebene Kurven \brpage{250}}

\subsubsection{Darstellungen und Umwanldung}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.9\linewidth]{fig/plane-curve.eps}
\caption{Die ebene Kurve \(\vec{\Lambda}(t)\) kann Explizit \(y(x)\) (in diesem Fall nicht), Implizit \(\vec{u}(x,y) = 0\), Polar \(\vec{r}(\varphi)\) oder in Parameterform \((x(t), y(t))\) dargestellt werden.}
\label{fig:plane-curve}
\end{figure}

Sei \(\Lambda: x = \phi(t),\, y = \psi(t), t\in I\) eine glatte Jordankurve.
Beispiel im Abb. \ref{fig:plane-curve}.

\paragraph{Polar zu Kartesian}
\[
    r = \sqrt{x^2 + y^2}
    \qquad
    \tan\varphi = y/x
\]
\[
    x = r \cos\varphi
    \qquad
    y = r \sin\varphi
\]

\paragraph{Parametrisch zu explizit}
Sei \(\dot{\phi} \neq 0\) oder \(\dot{\psi} \neq 0\). Im Falle \(\dot{\phi} \neq 0\), wechselt \(\dot\phi\) in der Umgebung von \(t\) das Vorzeichen nicht, \(\phi\) ist dort streng monoton.
Daher gilt
\[
    t = \phi^{-1}(x) \quad y = \psi(t) = \psi \circ \phi^{-1}(x) = f(x)
\]
Wenn \(\dot{\psi} \neq 0\) ist dann \(x = \phi \circ \psi^{-1}(y)\)

\subsubsection{Bogenl\"ange \brpage{251,514}} \label{sec:arc-length}
Weitere Formeln (z.B. polar) findet man in Tab. \ref{tab:plane-curves-big}.
\[
    \ell = \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \dd{x} 
    = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{\dot{c}}| \dd{t}
\]

\subsubsection{Umparametrisierung nach Bogenl\"ange}
Sei die Kurve \(\vec{\Lambda}(t), t \in I\) mindestens einmal differenzierbar, und \(\ell\) die Bogenl\"ange (gem\"a{\ss} \S\ref{sec:arc-length}) im Intervall. Die Umparametrisierung \(\vec{\Lambda}(s)\) ist dann
\[
    s = \ell t \implies \vec{\Lambda}(s) = \vec{\Lambda}(t/\ell)
\]
Die neue Parametrisierung hat \(\vec{\Lambda}' = 1\) (nach \(s\) differenziert), d.h. die erste Ableitung ist der tangent Einheitsvector!

\subsubsection{Tangente und Normalvektor \brpage{251,252}}
F\"ur eine ebene Kurve \(\vec{\Lambda}(t)\) \(\tau, t \in I\), der Vektor \(\vec{\dot\Lambda}(\tau)\) ist immer an \(\vec{\Lambda}(\tau)\) tangent. \(\vec{\ddot{\Lambda}}(\tau)\) ist zur Kurve normal.
\begin{align*}
    \vec{\dot{\Lambda}}
    &= \deriv{y}{x} 
    = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} 
    = \frac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi}
    \\[.9em]
    \vec{\ddot{\Lambda}}
    &= \deriv[2]{y}{x}
    = \frac{\ddot{y}\dot{x} - \ddot{x}\dot{y}}{\dot{x}^3}
\end{align*}
Man kann auch die Tangentengleichung und die Normalengleichung zur Zeitpunkt \(\tau\) finden
\begin{align*}
    T: y - \psi(\tau) &= \frac{\dot{\psi}}{\dot{\phi}}(x - \phi(\tau)) \\
    N: y - \psi(\tau) &= -\frac{\dot{\phi}}{\dot{\psi}}(x - \phi(\tau))
\end{align*}

\subsubsection{Kr\"ummung und Kr\"ummungsradius \brpage{254}}
Siehe Tab. \ref{tab:plane-curves-big} f\"ur die Rechnungsformeln und Abb. \ref{fig:plane-curvature} f\"ur eine graphische Deutung.
\[
    \kappa 
    = \lim_{\Delta s\to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s}
    = \deriv{\theta}{s} 
    \qquad
    R = 1/\kappa
\]
Eine gerade hat \(\kappa = 0\) und \(R = \infty\).
Entsprechend der Orientierung der \(x\)-Achse, entspricht einer \(\kappa > 0\) eine Linkskr\"ummung und \(\kappa < 0\) eine Rechtskr\"ummung.

Der Kr\"ummungskreis hat Ma{\ss}zahl \(\rho = 1/|\kappa|\) und Mittelpunkt \(P_c\) gem\"a\ss
\[
    P_c = \begin{pmatrix} x_c \\ y_c \end{pmatrix} 
    = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \frac{1}{\kappa} \vec{\hat{n}}
\]
Wobei \(\vec{\hat{n}} = \vec{\ddot{\Lambda}}^0\) ist der Normalvektor.

\subsubsection{Konvexit\"at}
Sei die Kurve \(\Lambda\) durch \(f \in C^2\) auf \([a,b]\) gegeben.
\begin{itemize}
    \item \(f\) ist auf \((a,b)\) konvex (bzw. konkav), wenn \(\kappa \geq 0\) (bzw. \(\kappa \leq 0\)) \(\forall x \in (a,b)\).
    \item \(f\) ist auf \((a,b)\) streng konvex (bzw. konkav), wenn \(\kappa > 0\) (bzw. \(\kappa < 0\)) \(\forall x \in (a,b)\).
    \item Hat in \(\Lambda\) in \(P\) einen Wendepunkt, dann \(\kappa(P) = 0\).
\end{itemize}

\subsubsection{Evoluten und Evolventen \brpage{262}}


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.8\linewidth]{fig/plane-curvature}
\caption{Kr\"ummung und Kr\"ummungskreisradien}
\label{fig:plane-curvature}
\end{figure}

\subsection{Raumkurven \brpage{263}}

\begin{thebibliography}{3}
  \bibitem{hsr}
    \texttt{An2E} Vorlesungen an der Hochschule f\"ur Technik Rapperswil und der dazugeh\"orige Skript,
    \textit{Dr. Bernhard Zgraggen}, Fr\"uhlingssemester 2020
  \bibitem{bronstein}
    Taschenbuch der Mathematik,
    10. \"uberarbeitete Auflage, 2016 (1977),
    \textit{Bronstein, Semendjajew, Musiol, M\"uhlig}, 
    \texttt{ISBN 978-3-8085-5789-1}
  \bibitem{mathe2}
    Mathematik 2: Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studieng\"ange,
    2012, 7. Auflage, XII, Springer Berlin,
    \textit{Albert Fetzer, Heiner Fränkel},
    \texttt{ISBN-10 364224114X},
    \texttt{ISBN-13 9783642241147}
    
\end{thebibliography}

\section*{Notation}
Rot markierte Zahlen wie zB \brpage{477} sind Hinweise auf die Seiten im ``Bronstein'' \cite{bronstein}

\begin{itemize}
    \item \(C^n\) ist der Menge der glatten \(n\)-mal differenzierb\"aren Funktionen.
    \item Das Zeichen \(\forall\) bedeutet ``f\"ur alle''
\end{itemize}

\section*{License}
{ \tt
An2E-ZF (c) by Naoki Pross
\\\\
An2E-ZF is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 Unported License.
\\\\
You should have received a copy of the license along with this work. If not, see 
\\\\
{\small\url{http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/}}
}


\onecolumn

\begin{sidewaystable}[p]
\centering
\caption{Rechnungen bez. ebene Kurven}
\label{tab:plane-curves-big}
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{tabular}{l *{3}{>{\(\displaystyle}l<{\)}} }
\toprule
\textbf{Ebene Kurven} & \textbf{Kartesich } y = f(x) & \textbf{Polar } \vec{r}(\varphi) & \textbf{Parameter } \vec{c}(t) = \left(x(t), y(y)\right) \\
\midrule
Anstieg \brpage{448}
    & f'
    & \frac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi}
    & \dot{x}/\dot{y}
\\
Fl\"ache \brpage{493}
    & \int\limits_a^b |f(x)| \dd{x}
    & \frac{1}{2}\int\limits_\alpha^\beta r(\varphi)^2 \dd{\varphi}
    & \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1} x\dot{y} - \dot{x}y \dd{t} = \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1}\det(\vec{c},\dot{\vec{c}}) \dd{t}
\\
Bogenl\"ange \brpage{251,514}
    & \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \dd{x}
    & \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi}
    & \int\limits_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{\dot{c}}| \dd{t}
\\
Kr\"ummung \(\kappa\) \brpage{254}
    & \frac{f''}{\sqrt{1+(f')^2}^3}
    & \frac{2(r')^2 - r r'' + r^2}{\sqrt{r^2 + (r')^2}^3}
    & \frac{\ddot{y}\dot{x} - \ddot{x}\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}^3} 
    = \frac{\det(\vec{\dot{c}},\vec{\ddot{c}})}{|\vec{\dot{c}}|^3}
\\[1em]
\midrule
Rotationsvolumen um \(x\) \brpage{516}
    & \pi \left|\int\limits_a^b y^2 \dd{x} \right|
    & \pi \left|\int\limits_{t_0}^{t_1} y \dot{x} \dd{t} \right|
    & \pi \left|\int\limits_\alpha^\beta r^2 \sin^2 \varphi (r'\cos\varphi - r\sin\varphi) \dd{\varphi} \right|
\\
Rotationsoberfl\"ache um \(x\) \brpage{515}
    & 2\pi \int\limits_a^b |y| \sqrt{1 + (y')^2} \dd{x}
    & 2\pi \int\limits_\alpha^\beta |r\sin(\varphi)| \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi}
    & 2\pi \int\limits_{t_0}^{t_1} |y| \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t}
\\
% Rotationsvolumen um \(y\) \\
% Rotationsoberfl\"ache um \(y\) \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{sidewaystable}

\end{document}