\documentclass[a4paper, twocolumn]{article} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{bm} \numberwithin{equation}{subsection} \usepackage{multicol} \usepackage{float} \usepackage{array} \usepackage{booktabs} \usepackage{rotating} \usepackage{enumitem} \usepackage[margin=2cm, marginpar=0pt]{geometry} \usepackage{graphicx} \usepackage{xcolor} \usepackage[ type={CC}, modifier={by-nc-sa}, version={4.0}, ]{doclicense} %\usepackage{showframe} %\usepackage{tikz} %\usepackage{tikz-3dplot} %\usepackage{pgfplots} %\pgfplotsset{compat=1.15} \usepackage[colorlinks = true, linkcolor = red!50!black, urlcolor = blue, citecolor = black, anchorcolor = blue]{hyperref} \usepackage{polyglossia} \setdefaultlanguage[variant=swiss]{german} \title{Analysis 2 Zusammenfassung} \author{Naoki Pross} \date{Fr\"uhlingsstemester 2020} \newcommand{\dd}[2][]{\ensuremath{~\mathrm{d}^{#1} #2}} \newcommand{\deriv}[3][]{\ensuremath{\frac{\dd[#1]{#2}}{\dd[]{#3^{#1}}}}} \newcommand{\pderiv}[3][]{\ensuremath{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial^{#1} #3}}} \renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\bm{#1}}} \newcommand{\brpage}[1]{\textcolor{red!70!black}{\small\texttt{S#1}}} \begin{document} \section{Integration \brpage{493,507}} \subsection{Tricks \brpage{495}} Linearit\"at \brpage{495} \[ \int k(u + v) = k\left(\int u + \int v\right) \] Partialbruchzerlegung \brpage{15,498} \[ \int \frac{f(x)}{P_n(x)} \dd{x} = \sum_{k=1}^n \int \frac{A_k}{x-r_k}\dd{x} \] Elementartransformation \brpage{496} \[ \int f(\lambda x + \ell) \dd{x} = \frac{1}{\lambda} F(\lambda x + \ell) + C \] Partielle Integration \brpage{497} \[ \int u \dd{v} = uv - \int v \dd{u} \] Potenzenregel \brpage{496} \[ \int u^n \cdot u' = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \qquad n \neq -1 \] Logaritmusregel \brpage{496} \[ \int \frac{u'}{u} = \ln|u| + C \] Allgemeine Substutution \brpage{497}\\ \(x = g(u)\), und \(\dd{x} = g'(u)\dd{u}\) \[ \int f(x) \dd{x} = \int (f\circ g) ~ g' \dd{u} = \int \frac{f \circ g}{(g^{-1})'\circ g} \dd{u} \] Universalsubstitution \brpage{504} \begin{align*} t &= \tan(x/2) & \sin(x) &= \frac{2t}{1+t^2} \\ \dd{x} &= \frac{2\dd{t}}{1+t^2} & \cos(t) &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{align*} Womit \[ \int f(\sin(x), \cos(x), \tan(x)) \dd{x} = \int g(t) \dd{t} \] \subsection{Uneigentliches Integral \brpage{520}} \begin{align*} \int\limits_a^\infty f \dd{x} &= \lim_{B \to \infty} \int\limits_a^B f \dd{x} \\ \int\limits_{-\infty}^b f \dd{x} &= \lim_{A \to -\infty} \int\limits_A^b f \dd{x} \\ \int\limits_{-\infty}^\infty f \dd{x} &= \lim_{\substack{A \to +\infty \\ B \to -\infty}} \int\limits_A^B f \dd{x} \end{align*} Wenn \(f\) im Punkt \(u \in (a,b)\) nicht definiert ist. \begin{equation} \label{eqn:int-with-pole} \int\limits_a^b f \dd{x} = \lim_{\epsilon\to +0} \int\limits_a^{u-\epsilon} f \dd{x} + \lim_{\delta\to +0} \int\limits_{u+\delta}^b f \dd{x} \end{equation} \subsection{Cauchy Hauptwert \brpage{523}} Der C.H. (oder PV f\"ur \emph{Principal Value} auf Englisch) eines uneigentlichen Integrals ist der Wert, wenn in einem Integral wie \eqref{eqn:int-with-pole} beide Grenzwerte mit der gleiche Geschwindigkeit gegen 0 sterben. \[ \text{C.H.} \int\limits_a^b f \dd{x} = \lim_{\epsilon\to +0} \left( \int\limits_a^{u-\epsilon} f \dd{x} + \int\limits_{u+\epsilon}^b f \dd{x} \right) \] Zum Beispiel \(x^{-1}\) ist nicht \"uber \(\mathbb{R}\) integrierbar, wegen des Poles bei 0. Aber intuitiv wie die Symmetrie vorschlagt \[ \text{C.H.} \int\limits^\infty_{-\infty} \frac{1}{x} \dd{x} = 0 \] \subsection{Majorant-, Minorantenprinzip und Konvergenzkriterien \brpage{521,473,479,481}} Gilt f\"ur die Funktionen \(0 < f(x) \leq g(x)\) mit \(x \in [a,\infty)\) \[ \text{konvergiert } \int\limits_a^\infty g \dd{x} \implies \text{ konvergiert } \int\limits_a^\infty f \dd{x} \] Die selbe gilt umgekehrt f\"ur Divergenz. Wenn \(0 < h(x) \leq f(x)\) \[ \text{divergiert } \int\limits_a^\infty h \dd{x} \implies \text{ divergiert } \int\limits_a^\infty f \dd{x} \] \(g\) und \(h\) hei{\ss}en Majorant und Minorant bzw. \section{Implizite Ableitung \brpage{448}} \begin{alignat*}{3} (af)' &= af' &\quad&& (u(v(x)))' &= u'(v)v' \\ (uv)' &= u'v + uv' &\quad&& \left(\frac{u}{v}\right)' &= \frac{u'v-uv'}{v^2} \\ \left(\sum u_i\right)' &= \sum u'_i &\quad&& (\ln u)' &= \frac{u'}{u} \\ (f^{-1})' &= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \end{alignat*} Alle normale differenziazionsregeln f\"ur \(f(x)\) gelten. Allgemeiner f\"ur die implizite Funktion \(F(x,y) = 0\) \[ \dd{y} = y'\dd{x} \qquad \pderiv{F}{x} + \pderiv{F}{y} y' = 0 \] \section{Differentialgeometrie} \subsection{Ebene Kurven \brpage{250}} \subsubsection{Darstellungen und Umwanldung} \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=.9\linewidth]{fig/plane-curve.eps} \caption{Die ebene Kurve \(\vec{\Lambda}(t)\) kann Explizit \(y(x)\) (in diesem Fall nicht), Implizit \(\vec{u}(x,y) = 0\), Polar \(\vec{r}(\varphi)\) oder in Parameterform \((x(t), y(t))\) dargestellt werden.} \label{fig:plane-curve} \end{figure} Sei \(\Lambda: x = \phi(t),\, y = \psi(t), t\in I\) eine glatte Jordankurve. Beispiel im Abb. \ref{fig:plane-curve}. \paragraph{Polar zu Kartesian} \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \tan\varphi = y/x \] \[ x = r \cos\varphi \qquad y = r \sin\varphi \] \paragraph{Parametrisch zu explizit} Sei \(\dot{\phi} \neq 0\) oder \(\dot{\psi} \neq 0\). Im Falle \(\dot{\phi} \neq 0\), wechselt \(\dot\phi\) in der Umgebung von \(t\) das Vorzeichen nicht, \(\phi\) ist dort streng monoton. Daher gilt \[ t = \phi^{-1}(x) \quad y = \psi(t) = \psi \circ \phi^{-1}(x) = f(x) \] Wenn \(\dot{\psi} \neq 0\) ist dann \(x = \phi \circ \psi^{-1}(y)\) \subsubsection{Bogenl\"ange \brpage{251,514}} \label{sec:arc-length} Weitere Formeln (z.B. polar) findet man in Tab. \ref{tab:plane-curves-big}. \[ \ell = \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \dd{x} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{\dot{c}}| \dd{t} \] \subsubsection{Umparametrisierung nach Bogenl\"ange} Sei die Kurve \(\vec{\Lambda}(t), t \in I\) mindestens einmal differenzierbar, und \(\ell\) die Bogenl\"ange (gem\"a{\ss} \S\ref{sec:arc-length}) im Intervall. Die Umparametrisierung \(\vec{\Lambda}(s)\) ist dann \[ s = \ell t \implies \vec{\Lambda}(s) = \vec{\Lambda}(t/\ell) \] Die neue Parametrisierung hat \(\vec{\Lambda}' = 1\) (nach \(s\) differenziert), d.h. die erste Ableitung ist der tangent Einheitsvector! \subsubsection{Tangente und Normalvektor \brpage{251,252}} F\"ur eine ebene Kurve \(\vec{\Lambda}(t)\) \(\tau, t \in I\), der Vektor \(\vec{\dot\Lambda}(\tau)\) ist immer an \(\vec{\Lambda}(\tau)\) tangent. \(\vec{\ddot{\Lambda}}(\tau)\) ist zur Kurve normal. \begin{align*} \vec{\dot{\Lambda}} &= \deriv{y}{x} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi} \\[.9em] \vec{\ddot{\Lambda}} &= \deriv[2]{y}{x} = \frac{\ddot{y}\dot{x} - \ddot{x}\dot{y}}{\dot{x}^3} \end{align*} Man kann auch die Tangentengleichung und die Normalengleichung zur Zeitpunkt \(\tau\) finden \begin{align*} T: y - \psi(\tau) &= \frac{\dot{\psi}}{\dot{\phi}}(x - \phi(\tau)) \\ N: y - \psi(\tau) &= -\frac{\dot{\phi}}{\dot{\psi}}(x - \phi(\tau)) \end{align*} \subsubsection{Kr\"ummung und Kr\"ummungsradius \brpage{254}} Siehe Tab. \ref{tab:plane-curves-big} f\"ur die Rechnungsformeln und Abb. \ref{fig:plane-curvature} f\"ur eine graphische Deutung. \[ \kappa = \lim_{\Delta s\to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s} = \deriv{\theta}{s} \qquad R = 1/\kappa \] Eine gerade hat \(\kappa = 0\) und \(R = \infty\). Entsprechend der Orientierung der \(x\)-Achse, entspricht einer \(\kappa > 0\) eine Linkskr\"ummung und \(\kappa < 0\) eine Rechtskr\"ummung. Der Kr\"ummungskreis hat Ma{\ss}zahl \(\rho = 1/|\kappa|\) und Mittelpunkt \(P_c\) gem\"a\ss \[ P_c = \begin{pmatrix} x_c \\ y_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \frac{1}{\kappa} \vec{\hat{n}} \] Wobei \(\vec{\hat{n}} = \vec{\ddot{\Lambda}}^0\) ist der Normalvektor. \subsubsection{Konvexit\"at} Sei die Kurve \(\Lambda\) durch \(f \in C^2\) auf \([a,b]\) gegeben. \begin{itemize} \item \(f\) ist auf \((a,b)\) konvex (bzw. konkav), wenn \(\kappa \geq 0\) (bzw. \(\kappa \leq 0\)) \(\forall x \in (a,b)\). \item \(f\) ist auf \((a,b)\) streng konvex (bzw. konkav), wenn \(\kappa > 0\) (bzw. \(\kappa < 0\)) \(\forall x \in (a,b)\). \item Hat in \(\Lambda\) in \(P\) einen Wendepunkt, dann \(\kappa(P) = 0\). \end{itemize} \subsubsection{Evoluten und Evolventen \brpage{262}} \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=.8\linewidth]{fig/plane-curvature} \caption{Kr\"ummung und Kr\"ummungskreisradien} \label{fig:plane-curvature} \end{figure} \subsection{Raumkurven \brpage{263}} \subsection{Kurven 2. Ordnung -- Kegelschnitt \brpage{212}} Die Polarform f\"ur die allgemeine Gleichung der Kurver 2. Ordnung ist \begin{equation} \label{eqn:conics-polar} r = \frac{p}{1 + \varepsilon \cos\varphi} \end{equation} Der parameter \(\varepsilon\) \"andert die Gestalt folgendermaßen \begin{multicols}{2} \begin{itemize} \item \(\varepsilon = 0\) Kreis \item \(\varepsilon \in (0;1)\) Ellipse \end{itemize} \columnbreak \begin{itemize} \item \(\varepsilon = 1\) Parabel \item \(\varepsilon > 1\) Hyperbel \end{itemize} \end{multicols} \subsubsection{Kreis \brpage{204}} {\renewcommand{\arraystretch}{1.1} \begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} Kartesisch & (x - C_x)^2 + (y - C_y)^2 = r^2 \\ Parameter & x = c_x + R\cos t \quad y = c_y + R\sin t \end{tabular}} \subsubsection{Ellipse \brpage{205}} {\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} Kartesisch & \left(\frac{x - C_x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y - C_y}{b}\right)^2 = 1 \\ Parameter & x = a\cos t \quad y = b\sin t \end{tabular}} \subsubsection{Hyperbel \brpage{207}} {\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} Kartesisch & \left(\frac{x - C_x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y - C_y}{b}\right)^2 = 1 \\ Parameter & x = a\cosh t \quad y = b\sinh t \end{tabular}} \subsubsection{Parabel \brpage{210}} \begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} Kartesisch & y = ax^2 + bx + c \\ Parameter & x = t \quad y = at^2 + bt + c \end{tabular} \subsection{Kurven 4. Ordnung \brpage{98}} \paragraph{Kardioide / Herzkurve \brpage{99,100}} \[ r = a(1 + cos\varphi) \] \paragraph{Lemniskate \brpage{101}} \[ r = a \sqrt{2\cos(2\varphi)} \] \section{Reihen} \subsection{Bemerkenswerte Rehien \brpage{19,477}} \paragraph{Arithmetische Reihe} Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(d \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\), dann aus der arithmetischen Folge \(\langle a_k \rangle\) mit \(a_k = a_1 + (k-1)d\) erh\"alt man die Reihe \(\langle A_n \rangle\) mit: \begin{align*} A_n &= a_1 + \sum_{k=1}^n (k-1)d = a_1 + d + 2d + \cdots + (n-1)d\\ &= \frac{n}{2}\big( 2a_1 + (n-1)d\big) = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \end{align*} \paragraph{Geometrische Reihe} Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(q \in \mathbb{R} \setminus \{0;1\}\). Aus der geometrischen Folge \(\langle a_k \rangle\) mit \(a_k = a_1 q^k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle G_n \rangle\) mit: \begin{align*} G_n = a_1 \sum_{k=1}^n q^{k-1} = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} \end{align*} \paragraph{Harmonische Reihe} Aus der folge \(\langle a_k \rangle\) mit \(a_k = 1/k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle H_n \rangle\) mit: \begin{align*} H_n = \sum_{k=1}^n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \end{align*} \subsection{Unendlichen \brpage{470,477}} \subsubsection{Konvergenzkriterien \brpage{472}} Sei \(\langle a_n \rangle\) eine Folge die Reihe \( \displaystyle s = \sum_{n=1}^\infty a_n \). \paragraph{Cauchy'sches \brpage{475}} \paragraph{Wurzelkriterium von Cauchy \brpage{474}} \[ \alpha = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} \qquad \alpha < 1 \implies \text{ konvergent} \] \paragraph{Quotientenkriterium von d'Alambert \brpage{474}} \paragraph{Leibniz'sches \brpage{476}} \paragraph{Integralkriterium \brpage{475}} Sei \(f(x) \geq 0\), \(x \in [1;\infty)\) und \(f\downarrow\). Merkt man dass: \[ S = \int\limits_1^n f(x) \dd{x} \leq \sum_{k=1}^n a_k \leq \int\limits_2^n f(x-1) \dd{x} = S \] Somit folgt: \[ \text{konvergiert } \int\limits_1^\infty f(x) \dd{x} \implies \text{konvergiert } s \] \begin{thebibliography}{3} \bibitem{hsr} \texttt{An2E} Vorlesungen an der Hochschule f\"ur Technik Rapperswil und der dazugeh\"orige Skript, \textit{Dr. Bernhard Zgraggen}, Fr\"uhlingssemester 2020 \bibitem{bronstein} Taschenbuch der Mathematik, 10. \"uberarbeitete Auflage, 2016 (1977), \textit{Bronstein, Semendjajew, Musiol, M\"uhlig}, \texttt{ISBN 978-3-8085-5789-1} \bibitem{mathe2} Mathematik 2: Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studieng\"ange, 2012, 7. Auflage, XII, Springer Berlin, \textit{Albert Fetzer, Heiner Fränkel}, \texttt{ISBN-10 364224114X}, \texttt{ISBN-13 9783642241147} \end{thebibliography} \section*{Notation} Rot markierte Zahlen wie zB \brpage{477} sind Hinweise auf die Seiten im ``Bronstein'' \cite{bronstein} \begin{itemize} \item \(C^n\) ist der Menge der glatten \(n\)-mal differenzierb\"aren Funktionen. \item Das Zeichen \(\forall\) bedeutet ``f\"ur alle'' \end{itemize} \section*{License} { \tt An2E-ZF (c) by Naoki Pross \\\\ An2E-ZF is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 Unported License. \\\\ You should have received a copy of the license along with this work. If not, see \\\\ {\small\url{http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/}} } \onecolumn \begin{sidewaystable}[p] \centering \caption{Rechnungen bez. ebene Kurven} \label{tab:plane-curves-big} \renewcommand{\arraystretch}{3} \begin{tabular}{l *{3}{>{\(\displaystyle}l<{\)}} } \toprule \textbf{Ebene Kurven} & \textbf{Kartesich } y = f(x) & \textbf{Polar } \vec{r}(\varphi) & \textbf{Parameter } \vec{c}(t) = \left(x(t), y(y)\right) \\ \midrule Anstieg \brpage{448} & f' & \frac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi} & \dot{x}/\dot{y} \\ Fl\"ache \brpage{493} & \int\limits_a^b |f(x)| \dd{x} & \frac{1}{2}\int\limits_\alpha^\beta r(\varphi)^2 \dd{\varphi} & \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1} x\dot{y} - \dot{x}y \dd{t} = \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1}\det(\vec{c},\dot{\vec{c}}) \dd{t} \\ Bogenl\"ange \brpage{251,514} & \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \dd{x} & \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi} & \int\limits_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{\dot{c}}| \dd{t} \\ Kr\"ummung \(\kappa\) \brpage{254} & \frac{f''}{\sqrt{1+(f')^2}^3} & \frac{2(r')^2 - r r'' + r^2}{\sqrt{r^2 + (r')^2}^3} & \frac{\ddot{y}\dot{x} - \ddot{x}\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}^3} = \frac{\det(\vec{\dot{c}},\vec{\ddot{c}})}{|\vec{\dot{c}}|^3} \\[1em] \midrule Rotationsvolumen um \(x\) \brpage{516} & \pi \left|\int\limits_a^b y^2 \dd{x} \right| & \pi \left|\int\limits_{t_0}^{t_1} y \dot{x} \dd{t} \right| & \pi \left|\int\limits_\alpha^\beta r^2 \sin^2 \varphi (r'\cos\varphi - r\sin\varphi) \dd{\varphi} \right| \\ Rotationsoberfl\"ache um \(x\) \brpage{515} & 2\pi \int\limits_a^b |y| \sqrt{1 + (y')^2} \dd{x} & 2\pi \int\limits_\alpha^\beta |r\sin(\varphi)| \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi} & 2\pi \int\limits_{t_0}^{t_1} |y| \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} \\ % Rotationsvolumen um \(y\) \\ % Rotationsoberfl\"ache um \(y\) \\ \bottomrule \end{tabular} \end{sidewaystable} \end{document}