\documentclass[a4paper]{article} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{bm} \numberwithin{equation}{subsection} \usepackage{float} \usepackage{array} \usepackage{booktabs} \usepackage{rotating} \usepackage[margin=2cm, bottom=2cm, top=2cm, marginpar=0pt]{geometry} \usepackage{graphicx} \usepackage{xcolor} %\usepackage{showframe} %\usepackage{tikz} %\usepackage{tikz-3dplot} %\usepackage{pgfplots} %\pgfplotsset{compat=1.15} \usepackage{multicol} \usepackage[colorlinks = true, linkcolor = red!50!black, urlcolor = blue, citecolor = black, anchorcolor = blue]{hyperref} \usepackage{polyglossia} \setdefaultlanguage[variant=swiss]{german} \title{Analysis 2 Zusammenfassung} \author{Naoki Pross} \date{Fr\"uhlingsstemester 2020} \newcommand{\dd}[1]{\ensuremath{~\mathrm{d}#1}} \newcommand{\deriv}[2]{\ensuremath{\frac{\dd{#1}}{\dd{#2}}}} \newcommand{\pderiv}[2]{\ensuremath{\frac{\partial#1}{\partial#2}}} \renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\bm{#1}}} \newcommand{\brpage}[1]{\textcolor{red!70!black}{\small\texttt{S#1}}} \begin{document} \begin{multicols}{2} \section{Integration \brpage{493,507}} \subsection{Tricks \brpage{495}} Linearit\"at \brpage{495} \[ \int k(u + v) = k\left(\int u + \int v\right) \] Partialbruchzerlegung \brpage{15,498} \[ \int \frac{f(x)}{P_n(x)} \dd{x} = \sum_{k=1}^n \int \frac{A_k}{x-r_k}\dd{x} \] Elementartransformation \brpage{496} \[ \int f(\lambda x + \ell) \dd{x} = \frac{1}{\lambda} F(\lambda x + \ell) + C \] Partielle Integration \brpage{497} \[ \int u \dd{v} = uv - \int v \dd{u} \] Potenzenregel \brpage{496} \[ \int u^n \cdot u' = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \qquad n \neq -1 \] Logaritmusregel \brpage{496} \[ \int \frac{u'}{u} = \ln|u| + C \] Allgemeine Substutution \brpage{497}\\ \(x = g(u)\), und \(\dd{x} = g'(u)\dd{u}\) \[ \int f(x) \dd{x} = \int (f\circ g) ~ g' \dd{u} = \int \frac{f \circ g}{(g^{-1})'\circ g} \dd{u} \] Universalsubstitution \brpage{504} \begin{align*} t &= \tan(x/2) & \sin(x) &= \frac{2t}{1+t^2} \\ \dd{x} &= \frac{2\dd{t}}{1+t^2} & \cos(t) &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{align*} Womit \[ \int f(\sin(x), \cos(x), \tan(x)) \dd{x} = \int g(t) \dd{t} \] \subsection{Uneigentliches Integral \brpage{520}} \begin{align*} \int\limits_a^\infty f \dd{x} &= \lim_{B \to \infty} \int\limits_a^B f \dd{x} \\ \int\limits_{-\infty}^b f \dd{x} &= \lim_{A \to -\infty} \int\limits_A^b f \dd{x} \\ \int\limits_{-\infty}^\infty f \dd{x} &= \lim_{\substack{A \to +\infty \\ B \to -\infty}} \int\limits_A^B f \dd{x} \end{align*} Wenn \(f\) im Punkt \(u \in (a,b)\) nicht definiert ist. \begin{equation} \label{eqn:int-with-pole} \int\limits_a^b f \dd{x} = \lim_{\epsilon\to +0} \int\limits_a^{u-\epsilon} f \dd{x} + \lim_{\delta\to +0} \int\limits_{u+\delta}^b f \dd{x} \end{equation} \subsection{Cauchy Hauptwert \brpage{523}} Der C.H. (oder PV f\"ur \emph{Principal Value} auf Englisch) eines uneigentlichen Integrals ist der Wert, wenn in einem Integral wie \eqref{eqn:int-with-pole} beide Grenzwerte mit der gleiche Geschwindigkeit gegen 0 sterben. \[ \text{C.H.} \int\limits_a^b f \dd{x} = \lim_{\epsilon\to +0} \left( \int\limits_a^{u-\epsilon} f \dd{x} + \int\limits_{u+\epsilon}^b f \dd{x} \right) \] Zum Beispiel \(x^{-1}\) ist nicht \"uber \(\mathbb{R}\) integrierbar, wegen des Poles bei 0. Aber intuitiv wie die Symmetrie vorschlagt \[ \text{C.H.} \int\limits^\infty_{-\infty} \frac{1}{x} \dd{x} = 0 \] \subsection{Majorant-, Minorantenprinzip und Konvergenzkriterien \brpage{521,473,479,481}} Gilt f\"ur die Funktionen \(0 < f(x) \leq g(x)\) mit \(x \in [a,\infty)\) \[ \text{konvergiert } \int\limits_a^\infty g \dd{x} \implies \text{ konvergiert } \int\limits_a^\infty f \dd{x} \] Die selbe gilt umgekehrt f\"ur Divergenz. Wenn \(0 < h(x) \leq f(x)\) \[ \text{divergiert } \int\limits_a^\infty h \dd{x} \implies \text{ divergiert } \int\limits_a^\infty f \dd{x} \] \(g\) und \(h\) hei{\ss}en Majorant und Minorant bzw. \section{Implizite Ableitung \brpage{448}} Alle normale differenziazionsregeln gelten. \[ \dd{y} = y'\dd{x} \] %Allgemeiner f\"ur die implizite Funktion \(F(x,y) = 0\) %\[ % \pderiv{F}{x} + \pderiv{F}{y} y' = 0 %\] \end{multicols} \section{Ebene \brpage{250} und Raumkurven \brpage{263}} \begin{sidewaystable} \centering \renewcommand{\arraystretch}{3} \begin{tabular}{l *{3}{>{\(\displaystyle}l<{\)}} } \toprule \textbf{Ebene Kurven} & \textbf{Explizit } y = f(x) & \textbf{Polar } \vec{r}(\varphi) & \textbf{Parameter } \vec{c}(t) = \left(x(t), y(y)\right) \\ \midrule Bogenl\"ange \brpage{251} & \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \dd{x} & \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi} & \int\limits_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\vec{c}| \dd{t} \\ Fl\"ache & \int\limits_a^b |f(x)| \dd{x} & \frac{1}{2}\int\limits_\alpha^\beta r(\varphi)^2 \dd{\varphi} & \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1} x\dot{y} - \dot{x}y \dd{t} = \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1}\det(\vec{c},\dot{\vec{c}}) \dd{t} \\ \midrule Rotationsvolumen um \(x\) & \pi \left|\int\limits_a^b y^2 \dd{x} \right| & \pi \left|\int\limits_{t_0}^{t_1} y \dot{x} \dd{t} \right| & \pi \left|\int\limits_\alpha^\beta r^2 \sin^2 \varphi (r'\cos\varphi - r\sin\varphi) \dd{\varphi} \right| \\ Rotationsoberfl\"ache um \(x\) & 2\pi \int\limits_a^b |y| \sqrt{1 + (y')^2} \dd{x} & 2\pi \int\limits_\alpha^\beta |r\sin(\varphi)| \sqrt{(r')^2 + r^2} \dd{\varphi} & 2\pi \int\limits_{t_0}^{t_1} |y| \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dd{t} \\ % Rotationsvolumen um \(y\) \\ % Rotationsoberfl\"ache um \(y\) \\ \midrule Kr\"ummung \(\kappa\) & \frac{f''}{\sqrt{1+(f')^2}^3} & & \frac{\ddot{y}\dot{x} - \ddot{x}\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}^3} = \frac{\det(\vec{\dot{c}},\vec{\ddot{c}})}{|\vec{\dot{c}}|^3} \\ \bottomrule \end{tabular} \end{sidewaystable} \begin{multicols}{2} \subsection{Darstellungen} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.9\linewidth]{fig/plane-curve.eps} \caption{Die ebene Kurve \(\Lambda(t)\) kann Explizit \(y(x)\) (in diesem Fall nicht), Implizit \(\vec{u}(x,y)\), Polar \(\vec{r}(\varphi)\) oder in Parameterform \((x(t), y(t))\) dargestellt werden.} \end{figure} \subsection{Tangente und Normalvektor} \subsection{Kr\"ummung} \[ \kappa = \deriv{\phi}{s} = \frac{\ddot{y}}{(1+\dot{y}^2)^{3/2}} \] \begin{thebibliography}{1} \bibitem{hsr} \texttt{An2E} Vorlesungen an der Hochschule f\"ur Technik Rapperswil und der dazugeh\"orige Skript, \textit{Dr. Bernhard Zgraggen}, Fr\"uhlingssemester 2020 \bibitem{bronstein} Taschenbuch der Mathematik, 10. \"uberarbeitete Auflage, 2016 (1977), \textit{Bronstein, Semendjajew, Musiol, M\"uhlig}, \texttt{ISBN 978-3-8085-5789-1} \bibitem{mathe2} Mathematik 2 Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studieng\"ange, 2012, 7. Auflage, XII, Springer Berlin, \textit{Albert Fetzer, Heiner Fränkel}, \texttt{ISBN-10 364224114X}, \texttt{ISBN-13 9783642241147} \end{thebibliography} \section*{Notation} Rot markierte Zahlen wie zB \brpage{477} sind Hinweise auf die Seiten im ``Bronstein'' \cite{bronstein} \section*{License} { \tt An2E-ZF (c) by Naoki Pross \\\\ An2E-ZF is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 Unported License. \\\\ You should have received a copy of the license along with this work. If not, see \\\\ \url{http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/} } \end{multicols} \end{document}