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| -rw-r--r-- | Ph1Mech-zf.tex | 198 |
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diff --git a/Ph1Mech-zf.tex b/Ph1Mech-zf.tex index 8df4f81..7dde7cd 100644 --- a/Ph1Mech-zf.tex +++ b/Ph1Mech-zf.tex @@ -32,6 +32,8 @@ % innertopmargin=.5em, innerbottommargin=.75em, + innerleftmargin=.75em, + innerrightmargin=.75em, frametitlefont=\large\bfseries\ttfamily, frametitlerule=true, frametitlerulewidth=1pt, @@ -65,61 +67,80 @@ \begin{document} -\begin{mdframed}[frametitle={Physikalischen Gr\"o{\ss}en und Konstanten}] - \small - \begin{center} - \begin{minipage}{.40\textwidth} - \begin{tabular}{l | >{\(}l<{\)} l} - Weg & \v{x} & m \\ - Geschwindigkeit & \v{v} & m/s \\ - Beschleunigung & \v{a} & m/s\(^2\) \\ - Masse & m & kg \\ - Impuls & \v{p} & kg \(\cdot\) m/s \\ - Kraft & \v{F} & kg \(\cdot\) m/s\(^2\) \\ - \end{tabular}\par - \end{minipage} - \hfill - \begin{minipage}{.55\textwidth} - \begin{tabular}{l | >{\(}l<{\)} l} - Winkel & \vs{\varphi} & rad \\ - Winkelgeschwindigkeit & \vs{\omega} & rad/2 \\ - Winkelbeschleunidung & \vs{\alpha} & rad/2\(^2\) \\ - Tr\"agheitsmoment & \underline{\mathbf{J}}, J & kg \(\cdot\) m\(^2\) \\ - Drehimpuls & \v{L} & kg \(\cdot\) m\(^2\)/s \\ - Drehmoment & \v{M}, \vs{\tau} & Nm \\ - \end{tabular}\par - \end{minipage} - \end{center} - % \begin{tabular}{l | >{\(}l<{\)} l} - % Energie & E & J = Ws \\ - % Arbeit & \Delta E, W & J \\ - % Leisung & P & W \\ - % \end{tabular} +\begin{mdframed}[ + frametitle={Physikalischen Gr\"o{\ss}en}, + ] + \small \centering + \begin{minipage}{.45\textwidth} + \begin{tabular}{l | >{\(}l<{\)} l} + Weg & \v{x} & m \\ + Geschwindigkeit & \v{v} & m/s \\ + Beschleunigung & \v{a} & m/s\(^2\) \\ + Masse & m & kg \\ + Impuls & \v{p} & kg \(\cdot\) m/s \\ + Kraft & \v{F} & kg \(\cdot\) m/s\(^2\) \\ + \\ + Energie & E & J = Ws \\ + & & J = kg m\(^2\)/s\(^2\) \\ + & & + \\ + Spannung & \sigma,\tau & Pa = kg/m\(^2\) + \end{tabular}\par + \end{minipage} + \begin{minipage}{.5\textwidth} + \begin{tabular}{l | >{\(}l<{\)} l} + Winkel & \vs{\varphi} & rad \\ + Winkelgeschwindigkeit & \vs{\omega} & rad/2 \\ + Winkelbeschleunidung & \vs{\alpha} & rad/2\(^2\) \\ + Tr\"agheitsmoment & \underline{\mathbf{J}}, J & kg \(\cdot\) m\(^2\) \\ + Drehimpuls & \v{L} & kg \(\cdot\) m\(^2\)/s \\ + Drehmoment & \v{M}, \vs{\tau} & Nm \\ + \\ + Arbeit & \Delta E, W & J \\ + Leistung & P & W \\ + \\ + Druck & -\sigma,p & Pa \\ + \end{tabular}\par + \end{minipage} \end{mdframed} \begin{mdframed}[frametitle={Postulate f\"ur Newtonsche Mechanik}] \begin{multicols}{2} \textsc{Absoluter Zeit und Raum} \\ + \vspace{.1em} {\small Zeit und Raum sind sowohl vom Beobachter als auch von der darin enthaltenen Objecten und darin stattfindenden physikalischen Vorg\"angen unabh\"angig. }\par \vspace{.5em} - \textsc{I. Newtonsche Gesetze} \\ + \textsc{I. Newtonsche Gesetz} \\ + \vspace{.1em} {\small - Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit + Ein kräftefreier K\"orper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit }\par \vspace{.5em} - \textsc{II. Newtonsche Gesetze} + \textsc{II. Newtonsche Gesetz} + \vspace{.1em} \[ \sum\v{F} = m\,\v{a} \qquad \sum\v{M} = J\vs{\alpha} \\ \] \par + \columnbreak + + \vspace{.5em} + \textsc{III. Newtonsche Gesetz} \\ + \vspace{.1em} + {\small + Wirkt ein K\"orper A auf einen K\"orper B mit der Kraft \(\v{F}_{AB}\), so wirkt der K\"orper B mit der entgegensetzt gerichteten, gleich grossen Kraft \(\v{F}_{BA} = - \v{F}_{AB}\). + } + \par + \vspace{.5em} - \textsc{III. Newtonsche Gesetze} \\ + \textsc{Energieerhaltung} \\ + \vspace{.1em} {\small In einem geschlossenen System sind die gesamte Energie und Impuls \emph{immer} erhalten. } @@ -127,7 +148,8 @@ \vspace{.5em} \textsc{Gallilei Invarianz (Boost)} \\ - Beschleunigungen sind vom (nicht drehende) Bezugsystem unabh\"angig. + \vspace{.1em} + Beschleunigungen sind von nicht drehenden Bezugsystem gleich. \[ \v{F}' = \v{F} = m\,\ddot{\v{x}}' = m\,\ddot{\v{x}} \] @@ -289,9 +311,46 @@ \end{center} \mdfsubtitle{Tr\"agheitsmoment} \mdfsubtitle{Umlaufbahn} + Bedingung f\"ur eine kreisf\"ormige Bahn + \[ + \v{F}_c + \v{G} = \v{0} \iff + m\omega^2 r = G\frac{mM}{r^2} + \] + + Bedingung f\"ur eine geschlossen Bahn + \[ + K + U < 0 \iff + \frac{m}{2}v^2 - G\frac{mM}{r} < 0 + \] + + \mdfsubtitle{Pendel} \end{mdframed} \begin{mdframed}[frametitle={Energie und Arbeit}] + \begin{multicols}{2} + Arbeit ist die Energie, die durch Kräfte auf einen Körper übertragen wird. + \[ + \Delta E = W = \int_\gamma \v{F}\cdot\dd{\v{s}} + \] + Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems \(\tilde E\) ist unver\"anderlich. + Energie kann nur umgewandelt werden. + \[ + \tilde E = K + V + \textcolor{gray}{T + E_M} \qquad \tilde E = k + \] + Die kinetische Energie ist der Arbeit der Kraft des Impulses. + \begin{align*} + K_\text{tr} &= \int_\gamma \frac{\dd{\v{p}}}{\dd{t}} \cdot \dd{\v{s}} \doteq \frac{m}{2}\v{v}^2 \\ + K_\text{rot} &= \int_\phi \frac{\dd{\v{L}}}{\dd{t}} \,\dd{\vs{\varphi}} \doteq \frac{J}{2}\vs{\omega}^2 + \end{align*} + Die potentielle Energie ist der Arbeit des Potentials. + \begin{align*} + V_G &= - \int_\gamma G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{\v{r}} \cdot \dd{\v{r}} = G\frac{m_1 m_2}{r} \\ + V_g &= mg\Delta z \quad \text{wobei} \quad g = \frac{G M_E}{r_E^2} \\ + \end{align*} + \[ + V_F = cs^2 + \] + \end{multicols} \end{mdframed} \begin{mdframed}[frametitle=Statik] @@ -306,10 +365,79 @@ \] \mdfsubtitle{Reibung} + \[ + \v{F}_R = - \mu N \hat{\v{F}} + \] + \mdfsubtitle{St\"o{\ss}e} + \mdfsubtitle{Nicht konstante Masse} + Raketenantrieb + \end{mdframed} \begin{mdframed}[frametitle={Deformierb\"are K\"orper}] + \begin{center} + \begin{minipage}{.4\textwidth} + \centering + \resizebox{\linewidth}{!}{ + \tdplotsetmaincoords{75}{55} + \begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords] + \pgfmathsetmacro{\w}{3} + \pgfmathsetmacro{\d}{3} + \pgfmathsetmacro{\h}{1} + + \pgfmathsetmacro{\fx}{0} + \pgfmathsetmacro{\fy}{1.75} + \pgfmathsetmacro{\fz}{1.5} + + \coordinate (FO) at (1.5,1,\h); + \coordinate (Gg) at (0,1,0); + + % before stress + \draw[gray] + ( 0, 0, 0) -- + (\w, 0, 0) -- + (\w,\d, 0) -- + ( 0,\d, 0) -- + ( 0, 0, 0) + ( 0, 0, 0) -- ( 0, 0,\h) + (\w, 0, 0) -- (\w, 0,\h) + ( 0,\d, 0) -- ( 0,\d,\h) + (\w,\d, 0) -- (\w,\d,\h); + + \draw[gray, fill=gray!10] + (0,0,\h) -- (\w,0,\h) -- (\w,\d,\h) -- (0,\d,\h) -- (0,0,\h); + + % force decomposition + \draw[dotted] + (FO) -- node[pos=.5, below]{\(\scriptstyle \v{F}_\parallel\)} + ++(\fx,\fy,0) -- node[pos=.5, right]{\(\scriptstyle \v{F}_\perp\)} + ++(0,0,\fz); + + % normal vector + \draw[thick, blue, ->] + (FO) -- node[pos=1, above]{\(\hat{\v{n}}\)} +(0,0,.7); + + % force + \draw[ultra thick, red, ->] + (FO) -- node[pos=.6, above left]{\(\v{F}\)} +(\fx,\fy,\fz); + \end{tikzpicture} + } + \end{minipage} + \begin{minipage}{.55\textwidth} + \begin{align*} + \sigma &= \frac{F_\perp}{A} = E\varepsilon & \varepsilon &= \frac{\Delta\ell}{\ell} \\ + \tau &= \frac{F_\parallel}{A} = G\gamma & G &= \frac{E}{2(1+\mu)} + \end{align*} + \[ + \underline{\vs{\sigma}} = \begin{bmatrix} + \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ + \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ + \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \\ + \end{bmatrix} \qquad \v{T} = \underline{\vs{\sigma}} \hat{\v{n}} + \] + \end{minipage} + \end{center} \end{mdframed} \end{document} |