From e1df7ad7fd6ab5a0bf79bfe06e51a6dd3dd9e682 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <naopross@thearcway.org>
Date: Mon, 23 Dec 2019 02:07:50 +0100
Subject: Add postulates start energy and deformation

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 Ph1Mech-zf.tex | 198 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------
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@@ -32,6 +32,8 @@
 %
     innertopmargin=.5em,
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+    innerleftmargin=.75em,
+    innerrightmargin=.75em,
     frametitlefont=\large\bfseries\ttfamily,
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@@ -65,61 +67,80 @@
 
 \begin{document}
 
-\begin{mdframed}[frametitle={Physikalischen Gr\"o{\ss}en und Konstanten}]
-  \small
-  \begin{center}
-    \begin{minipage}{.40\textwidth}
-      \begin{tabular}{l | >{\(}l<{\)} l}
-        Weg             & \v{x}       & m \\
-        Geschwindigkeit & \v{v}       & m/s \\
-        Beschleunigung  & \v{a}       & m/s\(^2\) \\
-        Masse           & m           & kg \\
-        Impuls          & \v{p}       & kg \(\cdot\) m/s \\
-        Kraft           & \v{F}       & kg \(\cdot\) m/s\(^2\) \\
-      \end{tabular}\par
-    \end{minipage}
-    \hfill
-    \begin{minipage}{.55\textwidth}
-      \begin{tabular}{l | >{\(}l<{\)} l}
-        Winkel                & \vs{\varphi}              & rad \\
-        Winkelgeschwindigkeit & \vs{\omega}               & rad/2 \\
-        Winkelbeschleunidung  & \vs{\alpha}               & rad/2\(^2\) \\
-        Tr\"agheitsmoment     & \underline{\mathbf{J}}, J & kg \(\cdot\) m\(^2\) \\
-        Drehimpuls            & \v{L}                     & kg \(\cdot\) m\(^2\)/s \\
-        Drehmoment            & \v{M}, \vs{\tau}          & Nm \\
-      \end{tabular}\par
-    \end{minipage}
-  \end{center}
-  % \begin{tabular}{l | >{\(}l<{\)} l}
-  %   Energie         & E           & J = Ws \\
-  %   Arbeit          & \Delta E, W & J \\
-  %   Leisung         & P           & W \\
-  % \end{tabular}
+\begin{mdframed}[
+    frametitle={Physikalischen Gr\"o{\ss}en},
+  ]
+  \small \centering
+  \begin{minipage}{.45\textwidth}
+    \begin{tabular}{l | >{\(}l<{\)} l}
+      Weg             & \v{x}       & m \\
+      Geschwindigkeit & \v{v}       & m/s \\
+      Beschleunigung  & \v{a}       & m/s\(^2\) \\
+      Masse           & m           & kg \\
+      Impuls          & \v{p}       & kg \(\cdot\) m/s \\
+      Kraft           & \v{F}       & kg \(\cdot\) m/s\(^2\) \\
+      \\
+      Energie         & E           & J = Ws \\
+                      &             & J = kg m\(^2\)/s\(^2\) \\
+                      &             &
+      \\
+      Spannung        & \sigma,\tau & Pa = kg/m\(^2\) 
+    \end{tabular}\par
+  \end{minipage}
+  \begin{minipage}{.5\textwidth}
+    \begin{tabular}{l | >{\(}l<{\)} l}
+      Winkel                & \vs{\varphi}              & rad \\
+      Winkelgeschwindigkeit & \vs{\omega}               & rad/2 \\
+      Winkelbeschleunidung  & \vs{\alpha}               & rad/2\(^2\) \\
+      Tr\"agheitsmoment     & \underline{\mathbf{J}}, J & kg \(\cdot\) m\(^2\) \\
+      Drehimpuls            & \v{L}                     & kg \(\cdot\) m\(^2\)/s \\
+      Drehmoment            & \v{M}, \vs{\tau}          & Nm \\
+      \\
+      Arbeit                & \Delta E, W               & J \\
+      Leistung              & P                         & W \\
+      \\
+      Druck                 & -\sigma,p                 & Pa \\
+    \end{tabular}\par
+  \end{minipage}
 \end{mdframed}
 
 \begin{mdframed}[frametitle={Postulate f\"ur Newtonsche Mechanik}]
   \begin{multicols}{2}
     \textsc{Absoluter Zeit und Raum} \\
+    \vspace{.1em}
     {\small
       Zeit und Raum sind sowohl vom Beobachter als auch von der darin enthaltenen Objecten und darin stattfindenden physikalischen Vorg\"angen unabh\"angig.
     }\par
 
     \vspace{.5em}
-    \textsc{I. Newtonsche Gesetze} \\
+    \textsc{I. Newtonsche Gesetz} \\
+    \vspace{.1em}
     {\small
-      Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit
+      Ein kräftefreier K\"orper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit
     }\par
 
     
     \vspace{.5em}
-    \textsc{II. Newtonsche Gesetze}
+    \textsc{II. Newtonsche Gesetz}
+    \vspace{.1em}
     \[
     \sum\v{F} = m\,\v{a} \qquad \sum\v{M} = J\vs{\alpha} \\
     \]
     \par
 
+    \columnbreak
+
+    \vspace{.5em}
+    \textsc{III. Newtonsche Gesetz} \\
+    \vspace{.1em}
+    {\small
+      Wirkt ein K\"orper A auf einen K\"orper B mit der Kraft \(\v{F}_{AB}\), so wirkt der K\"orper B mit der entgegensetzt gerichteten, gleich grossen Kraft \(\v{F}_{BA} = - \v{F}_{AB}\).
+    }
+    \par
+
     \vspace{.5em}
-    \textsc{III. Newtonsche Gesetze} \\
+    \textsc{Energieerhaltung} \\
+    \vspace{.1em}
     {\small
       In einem geschlossenen System sind die gesamte Energie und Impuls \emph{immer} erhalten.
     }
@@ -127,7 +148,8 @@
 
     \vspace{.5em}
     \textsc{Gallilei Invarianz (Boost)} \\
-    Beschleunigungen sind vom (nicht drehende) Bezugsystem unabh\"angig.
+    \vspace{.1em}
+    Beschleunigungen sind von nicht drehenden Bezugsystem gleich.
     \[
     \v{F}' = \v{F} = m\,\ddot{\v{x}}' = m\,\ddot{\v{x}}
     \]
@@ -289,9 +311,46 @@
   \end{center}
   \mdfsubtitle{Tr\"agheitsmoment}
   \mdfsubtitle{Umlaufbahn}
+  Bedingung f\"ur eine kreisf\"ormige Bahn
+  \[
+  \v{F}_c + \v{G} = \v{0} \iff
+  m\omega^2 r = G\frac{mM}{r^2}
+  \]
+
+  Bedingung f\"ur eine geschlossen Bahn
+  \[
+  K + U < 0 \iff
+  \frac{m}{2}v^2 - G\frac{mM}{r} < 0
+  \]
+
+  \mdfsubtitle{Pendel}
 \end{mdframed}
 
 \begin{mdframed}[frametitle={Energie und Arbeit}]
+  \begin{multicols}{2}
+    Arbeit ist die Energie, die durch Kräfte auf einen Körper übertragen wird.
+    \[
+    \Delta E = W = \int_\gamma \v{F}\cdot\dd{\v{s}}
+    \]
+    Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems \(\tilde E\) ist unver\"anderlich.
+    Energie kann nur umgewandelt werden.
+    \[
+    \tilde E = K + V + \textcolor{gray}{T + E_M} \qquad \tilde E = k
+    \]
+    Die kinetische Energie ist der Arbeit der Kraft des Impulses.
+    \begin{align*}
+      K_\text{tr}  &= \int_\gamma \frac{\dd{\v{p}}}{\dd{t}} \cdot \dd{\v{s}} \doteq \frac{m}{2}\v{v}^2 \\
+      K_\text{rot} &= \int_\phi \frac{\dd{\v{L}}}{\dd{t}} \,\dd{\vs{\varphi}} \doteq \frac{J}{2}\vs{\omega}^2
+    \end{align*}
+    Die potentielle Energie ist der Arbeit des Potentials.
+    \begin{align*}
+      V_G &= - \int_\gamma G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{\v{r}} \cdot \dd{\v{r}} = G\frac{m_1 m_2}{r} \\
+      V_g &= mg\Delta z \quad \text{wobei} \quad g = \frac{G M_E}{r_E^2} \\
+    \end{align*}
+    \[
+    V_F = cs^2
+    \]
+  \end{multicols}
 \end{mdframed}
 
 \begin{mdframed}[frametitle=Statik]
@@ -306,10 +365,79 @@
   \]
 
   \mdfsubtitle{Reibung}
+  \[
+  \v{F}_R = - \mu N \hat{\v{F}}
+  \]
+
   \mdfsubtitle{St\"o{\ss}e}
+  \mdfsubtitle{Nicht konstante Masse}
+  Raketenantrieb
+
 \end{mdframed}
 
 \begin{mdframed}[frametitle={Deformierb\"are K\"orper}]
+  \begin{center}
+    \begin{minipage}{.4\textwidth}
+      \centering
+      \resizebox{\linewidth}{!}{
+        \tdplotsetmaincoords{75}{55}
+        \begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords]
+          \pgfmathsetmacro{\w}{3}
+          \pgfmathsetmacro{\d}{3}
+          \pgfmathsetmacro{\h}{1}
+
+          \pgfmathsetmacro{\fx}{0}
+          \pgfmathsetmacro{\fy}{1.75}
+          \pgfmathsetmacro{\fz}{1.5}
+
+          \coordinate (FO) at (1.5,1,\h);
+          \coordinate (Gg) at (0,1,0);
+
+          % before stress
+          \draw[gray]
+          ( 0, 0, 0) --
+          (\w, 0, 0) --
+          (\w,\d, 0) --
+          ( 0,\d, 0) --
+          ( 0, 0, 0)
+          ( 0, 0, 0) -- ( 0, 0,\h)
+          (\w, 0, 0) -- (\w, 0,\h)
+          ( 0,\d, 0) -- ( 0,\d,\h)
+          (\w,\d, 0) -- (\w,\d,\h);
+
+          \draw[gray, fill=gray!10]
+          (0,0,\h) -- (\w,0,\h) -- (\w,\d,\h) -- (0,\d,\h) -- (0,0,\h);
+
+          % force decomposition
+          \draw[dotted]
+          (FO) -- node[pos=.5, below]{\(\scriptstyle \v{F}_\parallel\)}
+          ++(\fx,\fy,0) -- node[pos=.5, right]{\(\scriptstyle \v{F}_\perp\)}
+          ++(0,0,\fz);
+
+          % normal vector
+          \draw[thick, blue, ->]
+          (FO) -- node[pos=1, above]{\(\hat{\v{n}}\)} +(0,0,.7);
+
+          % force
+          \draw[ultra thick, red, ->]
+          (FO) -- node[pos=.6, above left]{\(\v{F}\)} +(\fx,\fy,\fz);
+        \end{tikzpicture}
+      }
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{.55\textwidth}
+      \begin{align*}
+        \sigma &= \frac{F_\perp}{A} = E\varepsilon & \varepsilon &= \frac{\Delta\ell}{\ell} \\
+        \tau   &= \frac{F_\parallel}{A} = G\gamma & G &= \frac{E}{2(1+\mu)}
+      \end{align*}
+      \[
+      \underline{\vs{\sigma}} = \begin{bmatrix}
+        \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
+        \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
+        \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \\
+      \end{bmatrix} \qquad \v{T} = \underline{\vs{\sigma}} \hat{\v{n}}
+      \]
+    \end{minipage}
+  \end{center}
 \end{mdframed}
 
 \end{document}
-- 
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