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authorNao Pross <naopross@thearcway.org>2020-04-29 20:56:35 +0200
committerNao Pross <naopross@thearcway.org>2020-04-29 20:56:35 +0200
commit3a25b5ad548e6d95b22570995a80e165248b1e4d (patch)
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-rw-r--r--fig/bernoulli.tex13
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-rw-r--r--fig/ph2hat_zf-figure1.pdfbin0 -> 9170 bytes
-rw-r--r--fig/ph2hat_zf-figure2.pdfbin0 -> 16357 bytes
-rw-r--r--fig/prandtl-boundary.tex5
-rw-r--r--ph2hat_zf.pdfbin108189 -> 125297 bytes
-rw-r--r--ph2hat_zf.tex88
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diff --git a/fig/bernoulli.tex b/fig/bernoulli.tex
index eee20ff..2951074 100644
--- a/fig/bernoulli.tex
+++ b/fig/bernoulli.tex
@@ -6,18 +6,19 @@
% tube lines
\draw[] (0,2) to (1,2) to[out=0, in=180] (4,3) to (5,3);
\draw[] (0,0) to (1,0) to[out=0, in=180] (4,2) to (5,2);
-
- % opening ellipse for A1
+
+ % cylinders
+ %% opening ellipse for A1
\draw[blue!10, fill=blue!10] (0,.025) rectangle ++(.75,1.95);
\draw[fill=blue!10] (0,1) ellipse (.3 and 1);
- % ellipse
+ %% dashed ellipse
\draw[dashed, fill=blue!10] (.75,1) ellipse (.3 and 1);
- % closing ellipse
+ %% closing ellipse
\draw[fill=blue!10] (5,2.5) ellipse (.2 and .5);
- %% hide half of the ellipse and make dashed
+ %%% hide half of the ellipse and make dashed
\draw[blue!10, fill=blue!10] (4,2.025) rectangle ++(1,.95);
\draw[dashed] (5,2.5) ellipse (.2 and .5);
- % ellipse for A2
+ %% ellipse for A2
\draw[dashed, fill=blue!10] (4,2.5) ellipse (.2 and .5);
% vectors
diff --git a/fig/ph2hat_zf-figure0.pdf b/fig/ph2hat_zf-figure0.pdf
new file mode 100644
index 0000000..5a99916
--- /dev/null
+++ b/fig/ph2hat_zf-figure0.pdf
Binary files differ
diff --git a/fig/ph2hat_zf-figure1.pdf b/fig/ph2hat_zf-figure1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d5a832d
--- /dev/null
+++ b/fig/ph2hat_zf-figure1.pdf
Binary files differ
diff --git a/fig/ph2hat_zf-figure2.pdf b/fig/ph2hat_zf-figure2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..aaadd98
--- /dev/null
+++ b/fig/ph2hat_zf-figure2.pdf
Binary files differ
diff --git a/fig/prandtl-boundary.tex b/fig/prandtl-boundary.tex
index 90e3657..2258b20 100644
--- a/fig/prandtl-boundary.tex
+++ b/fig/prandtl-boundary.tex
@@ -5,7 +5,8 @@
\pgfmathsetmacro{\vpos}{2}
% block
- \draw[fill] (\lpos,0) rectangle ++(\l,-.2);
+ %% needs \usetikzlibrary{patterns}
+ \draw[pattern=north west lines, thick] (\lpos,0) rectangle ++(\l,-.2);
\draw[<->] (\lpos,-.4) -- node[midway, below] {\(\ell\)} ++(\l,0);
% boundary line and area
@@ -20,7 +21,7 @@
% height
\pgfmathsetmacro{\h}{\k*sqrt(\l)}
- \draw[<->] (\lpos,0) ++(\l,0) -- node[midway, right] {\(h\)} ++(0,\h);
+ \draw[<->] (\lpos,0) ++(\l,0) -- node[midway, right] {\(D_\text{l}\)} ++(0,\h);
% velocity vectors
\draw[dashed] (\vpos,0) -- ++(0,2);
diff --git a/ph2hat_zf.pdf b/ph2hat_zf.pdf
index e911a8d..ae7e220 100644
--- a/ph2hat_zf.pdf
+++ b/ph2hat_zf.pdf
Binary files differ
diff --git a/ph2hat_zf.tex b/ph2hat_zf.tex
index 0b7e65c..869460e 100644
--- a/ph2hat_zf.tex
+++ b/ph2hat_zf.tex
@@ -28,9 +28,12 @@
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
+\usetikzlibrary{patterns}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.15}
+\usepgfplotslibrary{external}
+\tikzexternalize[prefix=fig/]
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks = true,
@@ -94,6 +97,8 @@
\newcommand{\unitsof}[1]{\ensuremath{\left[\,#1\,\right]}}
+\newcommand{\fromlecture}[1]{\textcolor{red!70!black}{\small\texttt{K.#1}}}
+
\begin{document}
@@ -157,7 +162,7 @@ In ruhenden Fluiden \(\tau = 0\), somit ist die Kraft immer senkrecht.
\]
\end{definition}
-\section{Hydrostatik}
+\section{Hydrostatik \fromlecture{1-2}}
\begin{definition}[Schweredruck]
\begin{equation} \label{eqn:hydrostatic-pressure}
@@ -278,7 +283,7 @@ Allgemein an die Grenze gilt:
\end{definition}
\section{Hydrodynamik}
-\subsection{Einf\"uhrung}
+\subsection{Einf\"uhrung \fromlecture{3-4}}
\begin{definition}[Kontinuit\"atsgleichung]
\begin{equation} \label{eqn:continuity}
\pderiv{}{t}\int_V \varrho \di{V}
@@ -311,6 +316,7 @@ Der Term \(\varrho v^2 / 2\) wird \emph{dynamische Druck} genannt.
\resizebox{.9\linewidth}{!}{%
\input{fig/bernoulli}%
}
+ \caption{Schematische Darstellung f\"ur die Bernoulli Gleichung}
\end{figure}
\begin{remark}
@@ -333,9 +339,9 @@ Wo die Geschwindigkeit am schnellsten ist, dort ist die Druck am tiefsten.
\end{definition}
-\subsection{Reale Str\"omungen}
+\subsection{Reale Str\"omungen \fromlecture{5-6}}
-\begin{definition}[Newtonsche Reibungsgesetz]
+\begin{definition}[Newton'sche Reibungsgesetz]
Die Proportionalit\"atskonstante \(\eta\) wird \emph{dynamische Viskosit\"at} oder \emph{Z\"ahingkeit} genannt.
\begin{gather*}
\tau = \eta \deriv{v}{z}
@@ -345,6 +351,18 @@ Die Proportionalit\"atskonstante \(\eta\) wird \emph{dynamische Viskosit\"at} od
= \si{\newton\second\per\metre}
= \si{\pascal\second}
\end{gather*}
+
+\begin{result}[Bernoulli Gleichung bei Newton'scher Reibung]
+\[
+ p_1 + \varrho g h_1 + \frac{\varrho}{2} v_1^2
+ =
+ p_2 + \varrho g h_2 + \frac{\varrho}{2} v_1^2 + p_\text{v}
+\]
+In der Praxis wird der Druckverlust \(p_\text{v}\) oft als Verlusth\"ohe \(h_\text{v}\) angegeben, d.h. diejenige H\"ohe, um die der Zufluss angehoben werden muss, um an Ausfluss aus der Stromr\"ohre denselben Druck wie im reibungsfreien Fall zu erzeugen.
+\[
+ p_\text{v} = \varrho g h_\text{v}
+\]
+\end{result}
\end{definition}
\begin{definition}[Formel von Stokes]
@@ -387,18 +405,17 @@ Bei einer Zunahme des Rohrradius wird nicht nur die zur Verf\"ugung stehende Que
\end{definition}
\begin{definition}[Prandtl'sche Grenzschicht]
-\(h\) ist die h\"ohe der Schicht in unmittelbarer N\"ahe einer Oberfl\"ache \(A = \ell b\) an ein Fluid, der vorbeistr\"omt, mitgezogen wird.
+\(D_\text{l}\) ist die Dicke der Schicht in unmittelbarer N\"ahe einer Oberfl\"ache mit L\"ange \(\ell\) an ein Fluid, der vorbeistr\"omt, der mitgezogen wird. Siehe Abb. \ref{fig:prandtl-boundary}.
\[
- h = \frac{\ell}{\sqrt{\mathcal{R}}} = \sqrt{\frac{\eta\ell}{\varrho v}}
+ D_\text{l} = \frac{\ell}{\sqrt{\mathcal{R}}} = \sqrt{\frac{\eta\ell}{\varrho v}}
\]
\begin{figure}[h] \centering
-\input{fig/prandtl-boundary.tex}
-\caption{Laminare Grenzschicht f\"ur eine Plattenstr\"omung}
+\input{fig/prandtl-boundary}
+\caption{Laminare Grenzschicht f\"ur eine Platte in einem Str\"omungsfeld mit Geschwindigkeit \(v_0\), und \(\ell \gg D_\text{l}\).}
+\label{fig:prandtl-boundary}
\end{figure}
\end{definition}
-\subsection{Turbulente Str\"omung}
-
\begin{definition}[Reynolds Zahl]
Ist ein dimensionslose Koeffizient aus der \emph{Navier-Stokes} Gleichung, der das Verh\"altnis zwischen kinetischer Energie des Fluides und dessen innerer Reibung (proportional zur Viskosit\"at) beschreibt.
\[
@@ -408,7 +425,7 @@ Ist ein dimensionslose Koeffizient aus der \emph{Navier-Stokes} Gleichung, der d
\(v^*, \ell^*\) sind eine charakteristische L\"ange bzw. Geschwindigkeit. Sie sind dimensionslose Variablen f\"ur geometrische und physikalische Gr\"ossen.
\begin{result}[Rohrstr\"omung]
-Wird bei der Str\"omung durch ein Rohr mit kreisf\"ormigem Querschnitt der Durchmesser \(d\) als charakteristische Abmessung gew\"ahlt, sot ist die Reynolds-Zahl
+Wird bei der Str\"omung durch ein Rohr mit kreisf\"ormigem Querschnitt der Durchmesser \(d\) als charakteristische Abmessung gew\"ahlt, somit ist die Reynolds-Zahl
\[
\mathcal{R} = \frac{\varrho v d}{\eta}
\]
@@ -417,14 +434,26 @@ Wird bei der Str\"omung durch ein Rohr mit kreisf\"ormigem Querschnitt der Durch
\end{definition}
\begin{definition}[Kritische Reynoldszahl \(\mathcal{R}_k\)]
+\begin{align*}
+ \mathcal{R} > \mathcal{R}_k
+ \quad&\implies\quad\text{Turbulent} \\
+ \mathcal{R} \leq \mathcal{R}_k
+ \quad&\implies\quad\text{Laminar}
+\end{align*}
+
+\begin{result}[Kritische Reynoldszahl f\"ur die Rohrstr\"omung]
+\[
+ \mathcal{R}_k = 2320
+\]
+\end{result}
\end{definition}
\begin{definition}[Reale Rohrstr\"omung]
Turbulente Rohrst\"omung, je nach turbulent oder laminares \(\lambda\)
-\[
+\begin{equation} \label{eqn:real-ductstream}
\Delta p = \lambda \frac{\varrho\ell}{2d} v^2
-\]
+\end{equation}
\begin{example}[Turbulente \(\lambda\) nach Blasius]
\[
@@ -440,7 +469,7 @@ Das ist tats\"achlich \eqref{eqn:hagen-poiseuille} umformuliert.
\end{example}
\end{definition}
-\subsection{Dynamischer Auftrieb}
+\subsection{Wiederstandkr\"afte}
\begin{definition}[Auftriebskraft nach Kutta-Jukowski] Dieser Auftrieb ist eine Folgerung vom \emph{Magnus Effekt}.
\[
F_A = \varrho v \ell \Gamma
@@ -460,8 +489,6 @@ Die Zirkulation ist eine makroskopische Gr\"osse und h\"ang vom Weg ab.
\]
\end{definition}
-\subsection{Tragfl\"ugel}
-
Induzierter Widerstand
\[
F_W = c_W^* \frac{\varrho}{2} v^2 A_\parallel
@@ -510,7 +537,7 @@ Der Avogadro-Zahl \(N_A\) entspricht Anzahl von Partikeln in eine Mole, und 1 Mo
\end{result}
\end{definition}
-\section{Ideale Gase}
+\subsection{Ideale Gase}
\begin{definition}[Universelle Gasgleichung f\"ur ideale Gase]
\begin{gather*}
pV = nRT = N_A k_B T = \text{ (konstant)} \\
@@ -541,7 +568,7 @@ wobei \(M\) ist die sogenannte Molmasse in \si{\kilo\gram\per\mole}.
\end{definition}
-\section*{Kapitel 9}
+\subsection*{Kapitel 9}
Gesetz von Dalton
\[
p = \sum_{i = 1}^n p_i
@@ -568,8 +595,8 @@ Mol-Masse eines Gas-Gemischs
M = \sum_{i = 1}^n q_i M_i
\]
-\subsection*{Reales Gas}
-Van der Waals-Korrektur
+\subsection{Reales Gas \fromlecture{9}}
+\begin{definition}[Van der Waals-Korrektur]
\[
p'V_m' = nRT
\qquad
@@ -578,23 +605,21 @@ Van der Waals-Korrektur
V_m' = V_m - b
\]
-\begin{figure}[h] \centering
- \input{fig/van-der-waals-maxwell-isotherm}
-\end{figure}
-
-Van der Waals-Gleichung
+\begin{result}[Van der Waals-Gleichung]
\[
\left(p + \frac{n^2 a}{V^2} \right)(V - nb) = nRT
\]
+\end{result}
-Van der Waals-Parameter
+\begin{result}[Van der Waals-Parameter]
\[
a = \frac{9}{8} R T_k V_{mk}
\qquad
b = \frac{V_{mk}}{3}
\]
+\end{result}
-Kritische Gr\"ossen
+\begin{result}[Kritische Gr\"ossen]
\[
V_{mk} = 3b
\qquad
@@ -602,8 +627,15 @@ Kritische Gr\"ossen
\qquad
p_k = \frac{a}{27b^2}
\]
+\end{result}
+\end{definition}
+
+
+\begin{figure}[h] \centering
+ \input{fig/van-der-waals-maxwell-isotherm}
+\end{figure}
-\section*{Kapitel 10}
+\subsection{Energie \fromlecture{10}}
\"Anderung innere Energie
\[
\Delta U = \Delta W + \Delta Q