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-rw-r--r--fig/prandtl-boundary.tex37
-rw-r--r--fig/van-der-waals-maxwell-isotherm.tex29
-rw-r--r--ph2hat_zf.pdfbin87479 -> 107154 bytes
-rw-r--r--ph2hat_zf.tex182
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diff --git a/fig/prandtl-boundary.tex b/fig/prandtl-boundary.tex
new file mode 100644
index 0000000..90e3657
--- /dev/null
+++ b/fig/prandtl-boundary.tex
@@ -0,0 +1,37 @@
+\begin{tikzpicture}
+ \pgfmathsetmacro{\k}{.8}
+ \pgfmathsetmacro{\lpos}{.5}
+ \pgfmathsetmacro{\l}{5}
+ \pgfmathsetmacro{\vpos}{2}
+
+ % block
+ \draw[fill] (\lpos,0) rectangle ++(\l,-.2);
+ \draw[<->] (\lpos,-.4) -- node[midway, below] {\(\ell\)} ++(\l,0);
+
+ % boundary line and area
+ \fill [domain=0:\l, variable=\t, smooth, red!10]
+ (\lpos,0)
+ -- plot ({\lpos + \t},{\k*sqrt(\t)})
+ -- (\lpos + \l,0)
+ -- cycle;
+
+ \draw[domain=0:\l, variable=\t, smooth, thick, red] (0,0)
+ plot ({\lpos + \t},{\k*sqrt(\t)});
+
+ % height
+ \pgfmathsetmacro{\h}{\k*sqrt(\l)}
+ \draw[<->] (\lpos,0) ++(\l,0) -- node[midway, right] {\(h\)} ++(0,\h);
+
+ % velocity vectors
+ \draw[dashed] (\vpos,0) -- ++(0,2);
+ \draw[->, thick] (\vpos, 1.5) -- node[at start, anchor=east, left] {\(v_0\)} ++(1,0);
+ \draw[->, thick] (\vpos, 0.5) -- node[at start, anchor=east, left] {\(v_x\)} ++(.3,0);
+
+ % text
+ \node at (4,.5) {mitgezogen};
+ \node at (4,2) {keine Wirkung};
+
+ % axis
+ \draw[->] (-.5,0) -- (\l + 1.5,0) node[anchor=west] {\(x\)};
+ \draw[->] (0,-.5) -- (0,2.5) node[anchor=south] {\(y\)};
+\end{tikzpicture}
diff --git a/fig/van-der-waals-maxwell-isotherm.tex b/fig/van-der-waals-maxwell-isotherm.tex
new file mode 100644
index 0000000..f938d78
--- /dev/null
+++ b/fig/van-der-waals-maxwell-isotherm.tex
@@ -0,0 +1,29 @@
+\begin{tikzpicture}
+\pgfmathsetmacro{\a}{8000}
+\pgfmathsetmacro{\b}{.9}
+\pgfmathsetmacro{\R}{8.313}
+\pgfmathsetmacro{\n}{1}
+\pgfmathsetmacro{\T}{247}
+\pgfmathsetmacro{\dT}{30}
+
+\begin{axis}[
+ width = \linewidth,
+ height = 6cm,
+ ylabel = Druck \(p(V)\),
+ xlabel = Volumen \(V\),
+ ytick = {0}, xtick = {1},
+ yticklabels = {0},
+ xticklabels = {},
+ ymax = 1000,
+ samples = 200,
+ domain = 1:15,
+ ]
+
+ \pgfplotsinvokeforeach{0,1,2,...,6}{
+ \addplot[gray, variable=\V]
+ {(\n*\R*(\T+#1*\dT))/(\V-\n*\b)-(\n^2*\a)/(\V^2)};
+ }
+
+ \addplot[thick,red]{0};
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
diff --git a/ph2hat_zf.pdf b/ph2hat_zf.pdf
index 6f3e03c..e973c60 100644
--- a/ph2hat_zf.pdf
+++ b/ph2hat_zf.pdf
Binary files differ
diff --git a/ph2hat_zf.tex b/ph2hat_zf.tex
index 943dfae..f86e63d 100644
--- a/ph2hat_zf.tex
+++ b/ph2hat_zf.tex
@@ -7,6 +7,7 @@
\numberwithin{equation}{section}
+\usepackage{float}
\usepackage{array}
\usepackage{parskip}
\usepackage{booktabs}
@@ -14,6 +15,22 @@
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{siunitx}
+% horrible units for fluiddynamics
+\DeclareSIUnit{\kilopond}{kp}
+
+\DeclareSIUnit{\at}{at}
+\DeclareSIUnit{\ata}{ata}
+\DeclareSIUnit{\atu}{at\"u}
+\DeclareSIUnit{\atm}{atm}
+
+\DeclareSIUnit{\torr}{Torr}
+
+
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.15}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[colorlinks = true,
@@ -63,7 +80,7 @@
\newtheorem{result}{Folgerung}[definition]
\newtheorem{example}{Beispiel}[definition]
-\theoremstyle{hsr-unnum}
+% \theoremstyle{hsr-unnum}
\newtheorem{remark}{Bemerkung}[definition]
@@ -111,6 +128,27 @@ F\"ur einfache F\"alle der Cauchy Spannugstensor kann zu zwei Skalare \(p\) und
\begin{result}[Gesetzt von Pascal]
In ruhenden Fluiden \(\tau = 0\), somit ist die Kraft immer senkrecht.
\end{result}
+
+\begin{table}[h] \centering
+\begin{tabular}{p{.3\linewidth} >{\(}l<{\)}}
+ \toprule
+ Name & \text{Einheit} \\
+ \midrule
+ Kilopond & \SI{1}{\kilopond} = g\,\si{\newton} \approx \SI{9.81}{\newton} \\
+ Technische\newline Atmosph\"are & \begin{aligned}
+ \SI{1}{\at} &= \SI{1}{\kilopond\per\square\centi\metre} \\
+ &\approx \SI{0.98}{\bar}
+ \end{aligned} \\
+ Physikalische\newline Atmosph\"are & \SI{1}{\atm} = \SI{101325}{\pascal} \\
+ Torr & \SI{1}{\torr} = \SI{1/760}{\atm} \\
+ Bar & \begin{aligned}
+ \SI{1}{\bar} &= \SI{1e5}{\pascal}\\
+ &\approx \SI{750}{\torr}
+ \end{aligned} \\
+ \bottomrule
+\end{tabular}
+\caption{Einheiten des Drucks}
+\end{table}
\end{definition}
\begin{definition}[Dichte] Ist die Masse pro Volumeneinheit.
@@ -232,11 +270,11 @@ Allgemein an die Grenze gilt:
\[
F_\text{Oberfl\"ache} = F_{G,\text{Fl\"ussigkeit}}
\]
-\begin{example}[In einem Rohr (Zylinder)]
+\begin{result}[In einem Rohr (Zylinder)]
\[
2\pi r\sigma = \varrho\pi r^2 hg \implies h = \frac{2\sigma}{\varrho g r}
\]
-\end{example}
+\end{result}
\end{definition}
\section{Hydrodynamik}
@@ -325,8 +363,15 @@ Innerhalb des Zylinders (\(r\) von \(0\) bis \(R\))
\end{result}
\begin{result}[Gesetz von Hagen Poiseuille]
-\[
+\begin{equation} \label{eqn:hagen-poiseuille}
\dot{V} = \frac{\pi\Delta p R^4}{8\eta\ell}
+\end{equation}
+\end{result}
+
+\begin{result}[Druckabfall]
+Wenn man in \eqref{eqn:hagen-poiseuille} \(\dot{V} = \pi R^2 v\) einsetzt, folgt:
+\[
+ \Delta p = 32\eta\ell \frac{v}{d^2}
\]
\end{result}
@@ -335,6 +380,17 @@ Bei einer Zunahme des Rohrradius wird nicht nur die zur Verf\"ugung stehende Que
\end{remark}
\end{definition}
+\begin{definition}[Prandtl'sche Grenzschicht]
+\(h\) ist die h\"ohe der Schicht in unmittelbarer N\"ahe einer Oberfl\"ache \(A = \ell b\) an ein Fluid, der vorbeistr\"omt, mitgezogen wird.
+\[
+ h = \frac{\ell}{\sqrt{\mathcal{R}}} = \sqrt{\frac{\eta\ell}{\varrho v}}
+\]
+\begin{figure}[h] \centering
+\input{fig/prandtl-boundary.tex}
+\caption{Laminare Grenzschicht f\"ur eine Plattenstr\"omung}
+\end{figure}
+\end{definition}
+
\subsection{Turbulente Str\"omung}
\begin{definition}[Reynolds Zahl]
@@ -352,70 +408,56 @@ Wird bei der Str\"omung durch ein Rohr mit kreisf\"ormigem Querschnitt der Durch
\]
\end{result}
-\begin{result}[Kritische \(\mathcal{R}\)]
-
-\end{result}
-\end{definition}
-
-\begin{definition}[Druckwiederstand]
\end{definition}
+\begin{definition}[Kritische Reynoldszahl \(\mathcal{R}_k\)]
-Druckdifferenz
-\[
- \Delta p \propto \varrho \Delta v \cdot \bar{v}
-\]
-
-Schubspannung
-\[
- \tau \propto \eta\frac{\Delta V}{\ell}
-\]
-
-
-Prandtl'sche Genzschicht
-\[
- D = \sqrt{\frac{\eta\ell}{\varrho v}}
-\]
+\end{definition}
-Druckabfall laminar
+\begin{definition}[Reale Rohrstr\"omung]
+Turbulente Rohrst\"omung, je nach turbulent oder laminares \(\lambda\)
\[
- \Delta p = 32\eta\ell \frac{v}{d^2}
+ \Delta p = \lambda \frac{\varrho\ell}{2d} v^2
\]
-\(\lambda\) nach Blasius, \emph{turulent}
+\begin{example}[Turbulente \(\lambda\) nach Blasius]
\[
\lambda_\text{t} = \frac{0.316}{\sqrt[4]{\mathcal{R}}}
\]
+\end{example}
-\(\lambda\) nach Hagen-Poiseuille, \emph{laminar}
+\begin{example}[Laminare \(\lambda\) nach Hagen-Poiseuille]
+Das ist tats\"achlich \eqref{eqn:hagen-poiseuille} umformuliert.
\[
\lambda_\text{l} = \frac{64}{\mathcal{R}}
\]
+\end{example}
+\end{definition}
-Turbulente Rohrst\"omung, je nach turbulent oder laminares \(\lambda\)
+\subsection{Dynamischer Auftrieb}
+\begin{definition}[Auftriebskraft nach Kutta-Jukowski] Dieser Auftrieb ist eine Folgerung vom \emph{Magnus Effekt}.
\[
- \Delta p = \lambda \frac{\varrho\ell}{2d} v^2
+ F_A = \varrho v \ell \Gamma
\]
+\end{definition}
-\section*{Kapitel 6}
-Druckwiederstand
+\begin{definition}[Druckwiederstand]
\[
F_D = c_W \frac{\varrho}{2}v^2 A_\perp
\]
+\end{definition}
-Auftriebskraft nach Kutta-Jukowski
-\[
- F_A = \varrho v \ell \Gamma
-\]
-
-Zirkulation
+\begin{definition}[Zirkulation]
\[
\Gamma = \oint \vec{v} \di{\vec{l}}
\]
+\end{definition}
+
+\subsection{Tragfl\"ugel}
Induzierter Widerstand
\[
- F_W = \dot{c}_W \frac{\varrho}{2} v^2 A_\parallel
+ F_W = c_W^* \frac{\varrho}{2} v^2 A_\parallel
\]
Dynamischer Auftrieb
@@ -428,47 +470,69 @@ Gleitwinkel
\tan(\varphi) = \frac{F_W}{F_A} = \frac{c_W}{c_A} = \frac{v_V}{v_H}
\]
-\section*{Kapitel 7}
-Absolute Temperatur
+\section{W\"armelehre Einf\"uhrung}
+\begin{definition}[Absolute Temperatur]
\[
T = \vartheta + \SI{273.15}{\kelvin} = \vartheta - \vartheta_0
\]
+\end{definition}
-Stoffmenge
+\begin{definition}[Stoffmenge]
+Hier \emph{Partikel} steht f\"ur Molek\"ule, Atome oder Ionen.
\[
- \SI{1}{\mole} = N_A \text{ Molek\"ule} = \SI{6.022e23}{\per\mole}
+ \SI{1}{\mole} = N_A \text{ Partikeln} = \SI{6.022e23}{\per\mole}
\]
+Der Avogadro-Zahl \(N_A\) entspricht Anzahl von Partikeln in eine Mole, und 1 Mol ist als der Anzahl von Atome \textsuperscript{12}C in \SI{0.012}{\kilo\gram} definiert worden.
+\end{definition}
-Ausdehnung
+\subsection{Fl\"ussgkeiten und Festk\"orpern}
+\begin{definition}[Thermische Ausdehnung]
\begin{align*}
\Delta \ell &= \alpha\ell\Delta T \\
\Delta A &= \beta A \Delta T & \beta \approx 2\alpha \\
\Delta V &= \gamma V \Delta T & \gamma \approx 3\alpha
\end{align*}
-Termische Spannung
+\begin{remark}[Anomalie des Wassers] Bei der Temperatur \SI{4}{\celsius} verschwindet sein Volumenausdehnungskoeffizient. Ebenfalls ungew\"ohnlich ist, dass die Dichte des festen Zustandes kleiner ist als die des fl\"ussigen Zustanges.
+\end{remark}
+
+\begin{result}[Termische Spannung]
\[
- \sigma = E \alpha \Delta T
+ \sigma = E\varepsilon = E\frac{\Delta \ell}{\ell} = E \alpha \Delta T
\]
+\end{result}
+\end{definition}
+
+\section{Ideale Gase}
+\begin{definition}[Universelle Gasgleichung f\"ur ideale Gase]
+\begin{gather*}
+ pV = nRT = N_A k_B T = \text{ (konstant)} \\
+ \text{oder} \quad \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}
+\end{gather*}
+\begin{itemize}
+ \item \(R = N_A k_B = \SI{8.313}{\joule\per\mole\per\kelvin}\) ist die Universelle Gaskonstante
+ \item \(k_B = \SI{1.381e-23}{\joule\per\kelvin}\) ist die Boltzmann-Konstante.
+\end{itemize}
+\end{definition}
-\section*{Kapitel 8}
-Universelle Gasgleichung f\"ur ideale Gase
+\begin{definition}[Molzahl]
\[
- pV = nRT = N_A k T = \text{ (konstant)}
+ n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}
\]
+wobei \(M\) ist die sogenannte Molmasse in \si{\kilo\gram\per\mole}.
+\begin{result}[Spezifische Gaskonstante \(R_s\)]
\[
- \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}
+ pV = \frac{m}{M} RT = m R_s T
\]
+\end{result}
-Molzahl
+\begin{result}[Dichte eines Gases]
\[
- n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}
+ \varrho = \frac{m}{V} = \frac{M}{V_m} = \frac{pM}{RT}
\]
+\end{result}
+\end{definition}
-Dichte eines Gases
-\[
- \rho = \frac{m}{V} = \frac{M}{V_m} = \frac{pM}{RT}
-\]
\section*{Kapitel 9}
Gesetz von Dalton
@@ -507,6 +571,10 @@ Van der Waals-Korrektur
V_m' = V_m - b
\]
+\begin{figure}[h] \centering
+ \input{fig/van-der-waals-maxwell-isotherm}
+\end{figure}
+
Van der Waals-Gleichung
\[
\left(p + \frac{n^2 a}{V^2} \right)(V - nb) = nRT
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