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diff --git a/fig/prandtl-boundary.tex b/fig/prandtl-boundary.tex new file mode 100644 index 0000000..90e3657 --- /dev/null +++ b/fig/prandtl-boundary.tex @@ -0,0 +1,37 @@ +\begin{tikzpicture} + \pgfmathsetmacro{\k}{.8} + \pgfmathsetmacro{\lpos}{.5} + \pgfmathsetmacro{\l}{5} + \pgfmathsetmacro{\vpos}{2} + + % block + \draw[fill] (\lpos,0) rectangle ++(\l,-.2); + \draw[<->] (\lpos,-.4) -- node[midway, below] {\(\ell\)} ++(\l,0); + + % boundary line and area + \fill [domain=0:\l, variable=\t, smooth, red!10] + (\lpos,0) + -- plot ({\lpos + \t},{\k*sqrt(\t)}) + -- (\lpos + \l,0) + -- cycle; + + \draw[domain=0:\l, variable=\t, smooth, thick, red] (0,0) + plot ({\lpos + \t},{\k*sqrt(\t)}); + + % height + \pgfmathsetmacro{\h}{\k*sqrt(\l)} + \draw[<->] (\lpos,0) ++(\l,0) -- node[midway, right] {\(h\)} ++(0,\h); + + % velocity vectors + \draw[dashed] (\vpos,0) -- ++(0,2); + \draw[->, thick] (\vpos, 1.5) -- node[at start, anchor=east, left] {\(v_0\)} ++(1,0); + \draw[->, thick] (\vpos, 0.5) -- node[at start, anchor=east, left] {\(v_x\)} ++(.3,0); + + % text + \node at (4,.5) {mitgezogen}; + \node at (4,2) {keine Wirkung}; + + % axis + \draw[->] (-.5,0) -- (\l + 1.5,0) node[anchor=west] {\(x\)}; + \draw[->] (0,-.5) -- (0,2.5) node[anchor=south] {\(y\)}; +\end{tikzpicture} diff --git a/fig/van-der-waals-maxwell-isotherm.tex b/fig/van-der-waals-maxwell-isotherm.tex new file mode 100644 index 0000000..f938d78 --- /dev/null +++ b/fig/van-der-waals-maxwell-isotherm.tex @@ -0,0 +1,29 @@ +\begin{tikzpicture} +\pgfmathsetmacro{\a}{8000} +\pgfmathsetmacro{\b}{.9} +\pgfmathsetmacro{\R}{8.313} +\pgfmathsetmacro{\n}{1} +\pgfmathsetmacro{\T}{247} +\pgfmathsetmacro{\dT}{30} + +\begin{axis}[ + width = \linewidth, + height = 6cm, + ylabel = Druck \(p(V)\), + xlabel = Volumen \(V\), + ytick = {0}, xtick = {1}, + yticklabels = {0}, + xticklabels = {}, + ymax = 1000, + samples = 200, + domain = 1:15, + ] + + \pgfplotsinvokeforeach{0,1,2,...,6}{ + \addplot[gray, variable=\V] + {(\n*\R*(\T+#1*\dT))/(\V-\n*\b)-(\n^2*\a)/(\V^2)}; + } + + \addplot[thick,red]{0}; +\end{axis} +\end{tikzpicture} diff --git a/ph2hat_zf.pdf b/ph2hat_zf.pdf Binary files differindex 6f3e03c..e973c60 100644 --- a/ph2hat_zf.pdf +++ b/ph2hat_zf.pdf diff --git a/ph2hat_zf.tex b/ph2hat_zf.tex index 943dfae..f86e63d 100644 --- a/ph2hat_zf.tex +++ b/ph2hat_zf.tex @@ -7,6 +7,7 @@ \numberwithin{equation}{section} +\usepackage{float} \usepackage{array} \usepackage{parskip} \usepackage{booktabs} @@ -14,6 +15,22 @@ \usepackage[margin=2cm]{geometry} \usepackage{siunitx} +% horrible units for fluiddynamics +\DeclareSIUnit{\kilopond}{kp} + +\DeclareSIUnit{\at}{at} +\DeclareSIUnit{\ata}{ata} +\DeclareSIUnit{\atu}{at\"u} +\DeclareSIUnit{\atm}{atm} + +\DeclareSIUnit{\torr}{Torr} + + +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{calc} + +\usepackage{pgfplots} +\pgfplotsset{compat=1.15} \usepackage{xcolor} \usepackage[colorlinks = true, @@ -63,7 +80,7 @@ \newtheorem{result}{Folgerung}[definition] \newtheorem{example}{Beispiel}[definition] -\theoremstyle{hsr-unnum} +% \theoremstyle{hsr-unnum} \newtheorem{remark}{Bemerkung}[definition] @@ -111,6 +128,27 @@ F\"ur einfache F\"alle der Cauchy Spannugstensor kann zu zwei Skalare \(p\) und \begin{result}[Gesetzt von Pascal] In ruhenden Fluiden \(\tau = 0\), somit ist die Kraft immer senkrecht. \end{result} + +\begin{table}[h] \centering +\begin{tabular}{p{.3\linewidth} >{\(}l<{\)}} + \toprule + Name & \text{Einheit} \\ + \midrule + Kilopond & \SI{1}{\kilopond} = g\,\si{\newton} \approx \SI{9.81}{\newton} \\ + Technische\newline Atmosph\"are & \begin{aligned} + \SI{1}{\at} &= \SI{1}{\kilopond\per\square\centi\metre} \\ + &\approx \SI{0.98}{\bar} + \end{aligned} \\ + Physikalische\newline Atmosph\"are & \SI{1}{\atm} = \SI{101325}{\pascal} \\ + Torr & \SI{1}{\torr} = \SI{1/760}{\atm} \\ + Bar & \begin{aligned} + \SI{1}{\bar} &= \SI{1e5}{\pascal}\\ + &\approx \SI{750}{\torr} + \end{aligned} \\ + \bottomrule +\end{tabular} +\caption{Einheiten des Drucks} +\end{table} \end{definition} \begin{definition}[Dichte] Ist die Masse pro Volumeneinheit. @@ -232,11 +270,11 @@ Allgemein an die Grenze gilt: \[ F_\text{Oberfl\"ache} = F_{G,\text{Fl\"ussigkeit}} \] -\begin{example}[In einem Rohr (Zylinder)] +\begin{result}[In einem Rohr (Zylinder)] \[ 2\pi r\sigma = \varrho\pi r^2 hg \implies h = \frac{2\sigma}{\varrho g r} \] -\end{example} +\end{result} \end{definition} \section{Hydrodynamik} @@ -325,8 +363,15 @@ Innerhalb des Zylinders (\(r\) von \(0\) bis \(R\)) \end{result} \begin{result}[Gesetz von Hagen Poiseuille] -\[ +\begin{equation} \label{eqn:hagen-poiseuille} \dot{V} = \frac{\pi\Delta p R^4}{8\eta\ell} +\end{equation} +\end{result} + +\begin{result}[Druckabfall] +Wenn man in \eqref{eqn:hagen-poiseuille} \(\dot{V} = \pi R^2 v\) einsetzt, folgt: +\[ + \Delta p = 32\eta\ell \frac{v}{d^2} \] \end{result} @@ -335,6 +380,17 @@ Bei einer Zunahme des Rohrradius wird nicht nur die zur Verf\"ugung stehende Que \end{remark} \end{definition} +\begin{definition}[Prandtl'sche Grenzschicht] +\(h\) ist die h\"ohe der Schicht in unmittelbarer N\"ahe einer Oberfl\"ache \(A = \ell b\) an ein Fluid, der vorbeistr\"omt, mitgezogen wird. +\[ + h = \frac{\ell}{\sqrt{\mathcal{R}}} = \sqrt{\frac{\eta\ell}{\varrho v}} +\] +\begin{figure}[h] \centering +\input{fig/prandtl-boundary.tex} +\caption{Laminare Grenzschicht f\"ur eine Plattenstr\"omung} +\end{figure} +\end{definition} + \subsection{Turbulente Str\"omung} \begin{definition}[Reynolds Zahl] @@ -352,70 +408,56 @@ Wird bei der Str\"omung durch ein Rohr mit kreisf\"ormigem Querschnitt der Durch \] \end{result} -\begin{result}[Kritische \(\mathcal{R}\)] - -\end{result} -\end{definition} - -\begin{definition}[Druckwiederstand] \end{definition} +\begin{definition}[Kritische Reynoldszahl \(\mathcal{R}_k\)] -Druckdifferenz -\[ - \Delta p \propto \varrho \Delta v \cdot \bar{v} -\] - -Schubspannung -\[ - \tau \propto \eta\frac{\Delta V}{\ell} -\] - - -Prandtl'sche Genzschicht -\[ - D = \sqrt{\frac{\eta\ell}{\varrho v}} -\] +\end{definition} -Druckabfall laminar +\begin{definition}[Reale Rohrstr\"omung] +Turbulente Rohrst\"omung, je nach turbulent oder laminares \(\lambda\) \[ - \Delta p = 32\eta\ell \frac{v}{d^2} + \Delta p = \lambda \frac{\varrho\ell}{2d} v^2 \] -\(\lambda\) nach Blasius, \emph{turulent} +\begin{example}[Turbulente \(\lambda\) nach Blasius] \[ \lambda_\text{t} = \frac{0.316}{\sqrt[4]{\mathcal{R}}} \] +\end{example} -\(\lambda\) nach Hagen-Poiseuille, \emph{laminar} +\begin{example}[Laminare \(\lambda\) nach Hagen-Poiseuille] +Das ist tats\"achlich \eqref{eqn:hagen-poiseuille} umformuliert. \[ \lambda_\text{l} = \frac{64}{\mathcal{R}} \] +\end{example} +\end{definition} -Turbulente Rohrst\"omung, je nach turbulent oder laminares \(\lambda\) +\subsection{Dynamischer Auftrieb} +\begin{definition}[Auftriebskraft nach Kutta-Jukowski] Dieser Auftrieb ist eine Folgerung vom \emph{Magnus Effekt}. \[ - \Delta p = \lambda \frac{\varrho\ell}{2d} v^2 + F_A = \varrho v \ell \Gamma \] +\end{definition} -\section*{Kapitel 6} -Druckwiederstand +\begin{definition}[Druckwiederstand] \[ F_D = c_W \frac{\varrho}{2}v^2 A_\perp \] +\end{definition} -Auftriebskraft nach Kutta-Jukowski -\[ - F_A = \varrho v \ell \Gamma -\] - -Zirkulation +\begin{definition}[Zirkulation] \[ \Gamma = \oint \vec{v} \di{\vec{l}} \] +\end{definition} + +\subsection{Tragfl\"ugel} Induzierter Widerstand \[ - F_W = \dot{c}_W \frac{\varrho}{2} v^2 A_\parallel + F_W = c_W^* \frac{\varrho}{2} v^2 A_\parallel \] Dynamischer Auftrieb @@ -428,47 +470,69 @@ Gleitwinkel \tan(\varphi) = \frac{F_W}{F_A} = \frac{c_W}{c_A} = \frac{v_V}{v_H} \] -\section*{Kapitel 7} -Absolute Temperatur +\section{W\"armelehre Einf\"uhrung} +\begin{definition}[Absolute Temperatur] \[ T = \vartheta + \SI{273.15}{\kelvin} = \vartheta - \vartheta_0 \] +\end{definition} -Stoffmenge +\begin{definition}[Stoffmenge] +Hier \emph{Partikel} steht f\"ur Molek\"ule, Atome oder Ionen. \[ - \SI{1}{\mole} = N_A \text{ Molek\"ule} = \SI{6.022e23}{\per\mole} + \SI{1}{\mole} = N_A \text{ Partikeln} = \SI{6.022e23}{\per\mole} \] +Der Avogadro-Zahl \(N_A\) entspricht Anzahl von Partikeln in eine Mole, und 1 Mol ist als der Anzahl von Atome \textsuperscript{12}C in \SI{0.012}{\kilo\gram} definiert worden. +\end{definition} -Ausdehnung +\subsection{Fl\"ussgkeiten und Festk\"orpern} +\begin{definition}[Thermische Ausdehnung] \begin{align*} \Delta \ell &= \alpha\ell\Delta T \\ \Delta A &= \beta A \Delta T & \beta \approx 2\alpha \\ \Delta V &= \gamma V \Delta T & \gamma \approx 3\alpha \end{align*} -Termische Spannung +\begin{remark}[Anomalie des Wassers] Bei der Temperatur \SI{4}{\celsius} verschwindet sein Volumenausdehnungskoeffizient. Ebenfalls ungew\"ohnlich ist, dass die Dichte des festen Zustandes kleiner ist als die des fl\"ussigen Zustanges. +\end{remark} + +\begin{result}[Termische Spannung] \[ - \sigma = E \alpha \Delta T + \sigma = E\varepsilon = E\frac{\Delta \ell}{\ell} = E \alpha \Delta T \] +\end{result} +\end{definition} + +\section{Ideale Gase} +\begin{definition}[Universelle Gasgleichung f\"ur ideale Gase] +\begin{gather*} + pV = nRT = N_A k_B T = \text{ (konstant)} \\ + \text{oder} \quad \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} +\end{gather*} +\begin{itemize} + \item \(R = N_A k_B = \SI{8.313}{\joule\per\mole\per\kelvin}\) ist die Universelle Gaskonstante + \item \(k_B = \SI{1.381e-23}{\joule\per\kelvin}\) ist die Boltzmann-Konstante. +\end{itemize} +\end{definition} -\section*{Kapitel 8} -Universelle Gasgleichung f\"ur ideale Gase +\begin{definition}[Molzahl] \[ - pV = nRT = N_A k T = \text{ (konstant)} + n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A} \] +wobei \(M\) ist die sogenannte Molmasse in \si{\kilo\gram\per\mole}. +\begin{result}[Spezifische Gaskonstante \(R_s\)] \[ - \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} + pV = \frac{m}{M} RT = m R_s T \] +\end{result} -Molzahl +\begin{result}[Dichte eines Gases] \[ - n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A} + \varrho = \frac{m}{V} = \frac{M}{V_m} = \frac{pM}{RT} \] +\end{result} +\end{definition} -Dichte eines Gases -\[ - \rho = \frac{m}{V} = \frac{M}{V_m} = \frac{pM}{RT} -\] \section*{Kapitel 9} Gesetz von Dalton @@ -507,6 +571,10 @@ Van der Waals-Korrektur V_m' = V_m - b \] +\begin{figure}[h] \centering + \input{fig/van-der-waals-maxwell-isotherm} +\end{figure} + Van der Waals-Gleichung \[ \left(p + \frac{n^2 a}{V^2} \right)(V - nb) = nRT |