\documentclass[a4paper, twocolumn]{article} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} % \usepackage{bm} \numberwithin{equation}{section} \usepackage{float} \usepackage{array} \usepackage{parskip} \usepackage{booktabs} \usepackage[margin=2cm]{geometry} \usepackage{siunitx} % horrible units for fluiddynamics \DeclareSIUnit{\kilopond}{kp} \DeclareSIUnit{\at}{at} \DeclareSIUnit{\ata}{ata} \DeclareSIUnit{\atu}{at\"u} \DeclareSIUnit{\atm}{atm} \DeclareSIUnit{\torr}{Torr} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{calc} \usetikzlibrary{patterns} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.15} \usepgfplotslibrary{external} \tikzexternalize[prefix=fig/] \usepackage{xcolor} \usepackage[colorlinks = true, linkcolor = red!50!black, urlcolor = blue, citecolor = black, anchorcolor = blue]{hyperref} \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{german} \newtheoremstyle{hsr-def}% {1em}% above {1em}% below {}% body {0pt}% indent {}% headfont { }% headpunkt { }% headspace {\textsc{\thmname{#1} \thmnumber{#2}.} \textbf{\thmnote{#3}}}% headspec \newtheoremstyle{hsr-sub}% {1em}% above {1em}% below {}% body {0pt}% indent {}% headfont { }% headpunkt { }% headspace {\textsl{\thmname{#1} \thmnumber{#2}.} \textbf{\thmnote{#3}}}% headspec \newtheoremstyle{hsr-unnum}% {1em}% above {1em}% below {}% body {0pt}% indent {}% headfont { }% headpunkt { }% headspace {\textsc{\thmname{#1}} \textbf{\thmnote{#3}}}% headspec \theoremstyle{hsr-def} \newtheorem{definition}{Definition}[section] \theoremstyle{hsr-sub} \newtheorem{result}{Folgerung}[definition] \newtheorem{example}{Beispiel}[definition] % \theoremstyle{hsr-unnum} \newtheorem{remark}{Bemerkung}[definition] \newcommand{\dd}[1]{\ensuremath{\mathrm{d}#1}} \newcommand{\di}[1]{\,\dd{#1}} \newcommand{\deriv}[2]{\ensuremath{\frac{\dd{#1}}{\dd{#2}}}} \newcommand{\pderiv}[2]{\ensuremath{\frac{\partial #1}{\partial #2}}} \renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}} \newcommand{\uvec}[1]{\ensuremath{\vec{\hat{#1}}}} \newcommand{\unitsof}[1]{\ensuremath{\left[\,#1\,\right]}} \newcommand{\fromlecture}[1]{\textcolor{red!70!black}{\small\texttt{K.#1}}} \begin{document} \section{Fluide Einf\"uhrung} \begin{definition}[Fluid] Fl\"ussigkeiten und Gase werden under dem Oberbegriff \emph{Fluide} zusammengefasst. \end{definition} % \begin{description} % \item[Isotherm] % \item[Isobar] % \item[Isotrop] % \end{description} \begin{definition}[Druck und Schubspannung] F\"ur einfache F\"alle der Cauchy Spannugstensor kann zu zwei Skalare \(p\) und \(\tau\) vereinfacht werden, sie werden Dr\"uck bzw. Schubspannung genannt. \begin{align*} pA &= \vec{F}\cdot\uvec{n} = F_\perp & \tau A &= \vec{F}\cdot\uvec{T} = F_\parallel \stackrel{\text{statik}}{=} 0 \\ \unitsof{p} &= \si{\newton\per\square\metre} = \si{\pascal} \end{align*} \begin{result}[Gesetzt von Pascal] In ruhenden Fluiden \(\tau = 0\), somit ist die Kraft immer senkrecht. \end{result} \begin{table}[h] \centering \begin{tabular}{p{.3\linewidth} >{\(}l<{\)}} \toprule Name & \text{Einheit} \\ \midrule Kilopond & \SI{1}{\kilopond} = g\,\si{\newton} \approx \SI{9.81}{\newton} \\ Technische\newline Atmosph\"are & \begin{aligned} \SI{1}{\at} &= \SI{1}{\kilopond\per\square\centi\metre} \\ &\approx \SI{0.98}{\bar} \end{aligned} \\ Physikalische\newline Atmosph\"are & \SI{1}{\atm} = \SI{101325}{\pascal} \\ Torr & \SI{1}{\torr} = \SI{1/760}{\atm} \\ Bar & \begin{aligned} \SI{1}{\bar} &= \SI{1e5}{\pascal}\\ &\approx \SI{750}{\torr} \end{aligned} \\ \bottomrule \end{tabular} \caption{Einheiten des Drucks} \end{table} \end{definition} \begin{definition}[Dichte] Ist die Masse pro Volumeneinheit. \[ \varrho = \frac{m}{V} \qquad \unitsof{\varrho} = \si{\kilo\gram\per\cubic\metre} \] \end{definition} \section{Hydrostatik \fromlecture{1-2}} \begin{definition}[Schweredruck] \begin{equation} \label{eqn:hydrostatic-pressure} \dd{p} = \varrho \vec{g} \cdot \dd{\vec{y}} = - \varrho g \dd{y} \end{equation} \begin{result}[Hydrostatischer Druck] F\"ur Fl\"ussigkeiten, da die Dichte konstant ist folgt: \[ p = \varrho g h \] \end{result} \begin{result}[Schweredruck eines Gase] Angenommen dass, die Dichte nur von Druck abh\"angt (barotrop) \[ \varrho(p) = \varrho_0 \frac{p}{p_0} \] Die L\"osung von \eqref{eqn:hydrostatic-pressure} ergibt die \emph{Barometrische H\"ohenformel} f\"ur eine isotherme Atmosp\"are. \[ p(h) = p_0 \exp\left(-\frac{\varrho_0}{p_0} gh\right) \] \end{result} \end{definition} \begin{definition}[Gesetz von Boyle-Mariotte] % \label{def:boyle-mariotte} F\"ur ein ideales Gas gilt bei konstanter Temperatur \[ pV = (\text{konstant}) \] \begin{result} Die Dichte ist proportional zum Druck \[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{\varrho_1}{\varrho_2} \] \end{result} \end{definition} \begin{definition}[Kompressibilit\"at] Die Druckerh\"ohung \(\Delta p\) bewirkt in einem Fluid stets eine Volumenabname. Die relative Volumen\"anderung ist proportional zur Druck\"anderung \[ \Delta V / V = - \kappa \Delta p \] \begin{remark} Eine ideale Fl\"ussigkeit ist reibungsfrei und inkompressibel. \end{remark} \begin{remark} In einer idealen Fl\"ussigkeit ist die Dichte konstant. \end{remark} \end{definition} \begin{definition}[Statische Auftriebskraft] Auch als Archimedische Prinzip bekannt. \[ F_A = G_f = \varrho_f V_k g \qquad \uvec{F}_a = - \uvec{g} \] Der auftrieb eines in ein Fluid eingetauchen K\"orper ist gleich dem Gewicht des von ihm verdr\"angten Fluids. \end{definition} \subsection{Grenzfl\"acheneffekte} \begin{definition}[Oberfl\"achenspannung] Zwischen zwei Atomen oder Molek\"ulen tritt die \emph{Van der Waals}-Kraft. An der Oberfl\"ache der Fl\"ussigkeit ist der mittlere Abstand der Molek\"ule etwas gr\"osser als im Innern. Das bewirkt eine Parallel zur Oberfl\"ache gerichtete anzihende Kraft zwischen den Molek\"ulen. \[ \sigma = \frac{F}{\ell} \qquad \unitsof{\sigma} = \si{\newton\per\metre} \] \begin{remark} Die Oberfl\"achenspannung kann auch als \emph{spezifische Oberf\"achenenergie} bezeichnet werden. \[ \sigma = \frac{\Delta W}{\Delta A} = \frac{F\Delta s}{\ell \Delta s} = \frac{F}{\ell} \] Die \emph{Oberfl\"achenenergie} ist ein Ma{\ss} f\"ur die Energie, die zum Aufbrechen der chemischen Bindungen notwendig ist, wenn eine neue Oberfl\"ache einer Fl\"ussigkeit oder eines Festkörpers erzeugt wird. \end{remark} \begin{result}[Grenzfl\"achenspannung] Bei einer Vergr\"osserung der Grenzfl\"ache muss Arbeit geleistet werden, da die Grenzfl\"achenenergie vergr\"ossert wird. Es gibt dann auch die Grenzfl\"achenspannungen \( \sigma_\text{sl}, \sigma_\text{sg}, \sigma_\text{lg} \) (fl\"ussig = liquid, fest = solid, gas) die zwischen Festk\"orper und Fl\"ussigkeit wirken. \(\varphi\) ist dann der \emph{Kontaktwinkel}, und die Geometrie ergibt die Beziehung \[ \sigma_\text{sg} = \sigma_\text{sl} + \sigma_\text{lg} \cos \varphi \] \end{result} \begin{example}[Druck in Seifenblase] \[ p = \frac{2\sigma}{r} \] \end{example} \end{definition} \begin{definition}[Kapillarit\"at] Allgemein an die Grenze gilt: \[ F_\text{Oberfl\"ache} = F_{G,\text{Fl\"ussigkeit}} \] \begin{result}[In einem Rohr (Zylinder)] \[ 2\pi r\sigma = \varrho\pi r^2 hg \implies h = \frac{2\sigma}{\varrho g r} \] \end{result} \end{definition} \section{Hydrodynamik} \subsection{Einf\"uhrung \fromlecture{3-4}} \begin{definition}[Kontinuit\"atsgleichung] \begin{equation} \label{eqn:continuity} \pderiv{}{t}\int_V \varrho \di{V} = \oint_{\partial V} \varrho \vec{v}\cdot\di{\vec{s}} \end{equation} \begin{result}[Ideales Fluid] Da die Dichte konstant ist (inkompressibel), man kann \eqref{eqn:continuity} durch \(\varrho\) teilen und folgt: \[ \dot{V} = \int_A \vec{v}\cdot\di{\vec{s}} = vA \qquad \unitsof{\dot{V}} = \si{\cubic\metre\per\second} \] \end{result} % \begin{remark}[Differentialform] % \[ % \nabla \cdot (\varrho \vec{v}) + \pderiv{\varrho}{t} = 0 % \] % \end{remark} \end{definition} \begin{definition}[Bernoulli Gleichung] Der Term \(\varrho v^2 / 2\) wird \emph{dynamische Druck} genannt. \[ p + \varrho g h + \frac{\varrho}{2} v^2 = (\text{Konstant}) \] \begin{figure}[h] \centering \resizebox{.9\linewidth}{!}{% \input{fig/bernoulli}% } \caption{Schematische Darstellung f\"ur die Bernoulli Gleichung} \end{figure} \begin{remark} Bernoulli gilt f\"ur inkompressible Fluide, und gen\"ugt f\"ur Fl\"ussigkeite und Gase, sofern \(v \ll \) Schallgeschwidigkeit. \end{remark} \begin{result} \begin{gather*} p_1 + \varrho g h_1 + \frac{\varrho}{2} v_1^2 = p_2 + \varrho g h_2 + \frac{\varrho}{2} v_1^2 \\ \text{oder}\quad -\Delta p = \varrho g \Delta h + \frac{\varrho}{2} \Delta \left( v^2 \right) \end{gather*} \end{result} \begin{result} Wo die Geschwindigkeit am schnellsten ist, dort ist die Druck am tiefsten. \end{result} \end{definition} \subsection{Reale Str\"omungen \fromlecture{5-6}} \begin{definition}[Newton'sche Reibungsgesetz] Die Proportionalit\"atskonstante \(\eta\) wird \emph{dynamische Viskosit\"at} oder \emph{Z\"ahingkeit} genannt. \begin{gather*} \tau = \eta \deriv{v}{z} \stackrel{!}{=} \frac{F_\parallel}{A} \\ \unitsof{\eta} = \si{\kilo\gram\per\metre\second} = \si{\newton\second\per\metre} = \si{\pascal\second} \end{gather*} \begin{result}[Bernoulli Gleichung bei Newton'scher Reibung] \[ p_1 + \varrho g h_1 + \frac{\varrho}{2} v_1^2 = p_2 + \varrho g h_2 + \frac{\varrho}{2} v_1^2 + p_\text{v} \] In der Praxis wird der Druckverlust \(p_\text{v}\) oft als Verlusth\"ohe \(h_\text{v}\) angegeben, d.h. diejenige H\"ohe, um die der Zufluss angehoben werden muss, um an Ausfluss aus der Stromr\"ohre denselben Druck wie im reibungsfreien Fall zu erzeugen. \[ p_\text{v} = \varrho g h_\text{v} \] \end{result} \end{definition} \begin{definition}[Formel von Stokes] (Stokes'sche Reibung) Reibungskraft einer Kugel im \"Ol \[ F_R = 6\pi\eta Rv_0 \] \end{definition} \begin{definition}[Laminare Rohrstr\"omung] Lauten die Gleichgewichtsbedingungen f\"ur die Kr\"afte innerhalb des Zylinders. \begin{align*} F_\text{Res,Druck} - F_\text{Reib} & = 0 \\ \pi r^2 (p_1 - p_2) - 2\pi rl\tau &= 0 \end{align*} \begin{result}[Geschwindigkeitsverteilung] Innerhalb des Zylinders (\(r\) von \(0\) bis \(R\)) \[ v(r) = \frac{\Delta p}{4\eta\ell}\left(R^2-r^2\right) \] \end{result} \begin{result}[Gesetz von Hagen Poiseuille] \begin{equation} \label{eqn:hagen-poiseuille} \dot{V} = \frac{\pi\Delta p R^4}{8\eta\ell} \end{equation} \end{result} \begin{result}[Druckabfall] Wenn man in \eqref{eqn:hagen-poiseuille} \(\dot{V} = \pi R^2 v\) einsetzt, folgt: \[ \Delta p = 32\eta\ell \frac{v}{d^2} \] \end{result} \begin{remark} Bei einer Zunahme des Rohrradius wird nicht nur die zur Verf\"ugung stehende Querschnittsfl\"ache gr\"osser, sondern zugleich w\"achst in der Rohrmitte auch die maximale Geschwindigkeit. \end{remark} \end{definition} \begin{definition}[Prandtl'sche Grenzschicht] \(D_\text{l}\) ist die Dicke der Schicht in unmittelbarer N\"ahe einer Oberfl\"ache mit L\"ange \(\ell\) an ein Fluid, der vorbeistr\"omt, der mitgezogen wird. Siehe Abb. \ref{fig:prandtl-boundary}. \[ D_\text{l} = \frac{\ell}{\sqrt{\mathcal{R}}} = \sqrt{\frac{\eta\ell}{\varrho v}} \] \begin{figure}[h] \centering \input{fig/prandtl-boundary} \caption{Laminare Grenzschicht f\"ur eine Platte in einem Str\"omungsfeld mit Geschwindigkeit \(v_0\), und \(\ell \gg D_\text{l}\).} \label{fig:prandtl-boundary} \end{figure} \end{definition} \begin{definition}[Reynolds Zahl] Ist ein dimensionslose Koeffizient aus der \emph{Navier-Stokes} Gleichung, der das Verh\"altnis zwischen kinetischer Energie des Fluides und dessen innerer Reibung (proportional zur Viskosit\"at) beschreibt. \[ \mathcal{R} = \frac{E_k}{E_r} = \frac{\varrho}{\eta} v^*\ell^* %\frac{\Delta p}{\tau} \] \(v^*, \ell^*\) sind eine charakteristische L\"ange bzw. Geschwindigkeit. Sie sind dimensionslose Variablen f\"ur geometrische und physikalische Gr\"ossen. \begin{result}[Rohrstr\"omung] Wird bei der Str\"omung durch ein Rohr mit kreisf\"ormigem Querschnitt der Durchmesser \(d\) als charakteristische Abmessung gew\"ahlt, somit ist die Reynolds-Zahl \[ \mathcal{R} = \frac{\varrho v d}{\eta} \] \end{result} \end{definition} \begin{definition}[Kritische Reynoldszahl \(\mathcal{R}_k\)] \begin{align*} \mathcal{R} > \mathcal{R}_k \quad&\implies\quad\text{Turbulent} \\ \mathcal{R} \leq \mathcal{R}_k \quad&\implies\quad\text{Laminar} \end{align*} \begin{result}[Kritische Reynoldszahl f\"ur die Rohrstr\"omung] \[ \mathcal{R}_k = 2320 \] \end{result} \end{definition} \begin{definition}[Reale Rohrstr\"omung] Turbulente Rohrst\"omung, je nach turbulent oder laminares \(\lambda\) \begin{equation} \label{eqn:real-ductstream} \Delta p = \lambda \frac{\varrho\ell}{2d} v^2 \end{equation} \begin{example}[Turbulente \(\lambda\) nach Blasius] \[ \lambda_\text{t} = \frac{0.316}{\sqrt[4]{\mathcal{R}}} \] \end{example} \begin{example}[Laminare \(\lambda\) nach Hagen-Poiseuille] Das ist tats\"achlich \eqref{eqn:hagen-poiseuille} umformuliert. \[ \lambda_\text{l} = \frac{64}{\mathcal{R}} \] \end{example} \end{definition} \subsection{Wiederstandkr\"afte} \begin{definition}[Auftriebskraft nach Kutta-Jukowski] Dieser Auftrieb ist eine Folgerung vom \emph{Magnus Effekt}. \[ F_A = \varrho v \ell \Gamma \] \end{definition} \begin{definition}[Druckwiederstand] \[ F_D = c_W \frac{\varrho}{2}v^2 A_\perp \] \end{definition} \begin{definition}[Zirkulation] Ist ein Mass f\"ur die Wirbelst\"arke. Die Zirkulation ist eine makroskopische Gr\"osse und h\"ang vom Weg ab. \[ \Gamma = \oint \vec{v} \di{\vec{l}} \] \end{definition} Induzierter Widerstand \[ F_W = c_W^* \frac{\varrho}{2} v^2 A_\parallel \] Dynamischer Auftrieb \[ F_A = c_A \frac{\varrho}{2} v^2 A_\perp \] Gleitwinkel \[ \tan(\varphi) = \frac{F_W}{F_A} = \frac{c_W}{c_A} = \frac{v_V}{v_H} \] \section{W\"armelehre Einf\"uhrung} \begin{definition}[Absolute Temperatur] \[ T = \vartheta + \SI{273.15}{\kelvin} = \vartheta - \vartheta_0 \] \end{definition} \begin{definition}[Stoffmenge] Hier \emph{Partikel} steht f\"ur Molek\"ule, Atome oder Ionen. \[ \SI{1}{\mole} = N_A \text{ Partikeln} = \SI{6.022e23}{\per\mole} \] Der Avogadro-Zahl \(N_A\) entspricht Anzahl von Partikeln in eine Mole, und 1 Mol ist als der Anzahl von Atome \textsuperscript{12}C in \SI{0.012}{\kilo\gram} definiert worden. \end{definition} \subsection{Fl\"ussgkeiten und Festk\"orpern} \begin{definition}[Thermische Ausdehnung] \begin{align*} \Delta \ell &= \alpha\ell\Delta T \\ \Delta A &= \beta A \Delta T & \beta \approx 2\alpha \\ \Delta V &= \gamma V \Delta T & \gamma \approx 3\alpha \end{align*} \begin{remark}[Anomalie des Wassers] Bei der Temperatur \SI{4}{\celsius} verschwindet sein Volumenausdehnungskoeffizient. Ebenfalls ungew\"ohnlich ist, dass die Dichte des festen Zustandes kleiner ist als die des fl\"ussigen Zustanges. \end{remark} \begin{result}[Termische Spannung] \[ \sigma = E\varepsilon = E\frac{\Delta \ell}{\ell} = E \alpha \Delta T \] \end{result} \end{definition} \subsection{Ideale Gase} \begin{definition}[Universelle Gasgleichung f\"ur ideale Gase] \begin{gather*} pV = nRT = N_A k_B T = \text{ (konstant)} \\ \text{oder} \quad \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \end{gather*} \begin{itemize} \item \(R = N_A k_B = \SI{8.313}{\joule\per\mole\per\kelvin}\) ist die Universelle Gaskonstante \item \(k_B = \SI{1.381e-23}{\joule\per\kelvin}\) ist die Boltzmann-Konstante. \end{itemize} \end{definition} \begin{definition}[Molzahl] \[ n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A} \] wobei \(M\) ist die sogenannte Molmasse in \si{\kilo\gram\per\mole}. \begin{result}[Spezifische Gaskonstante \(R_s\)] \[ pV = \frac{m}{M} RT = m R_s T \] \end{result} \begin{result}[Dichte eines Gases] \[ \varrho = \frac{m}{V} = \frac{M}{V_m} = \frac{pM}{RT} \] \end{result} \end{definition} \subsection*{Kapitel 9} Gesetz von Dalton \[ p = \sum_{i = 1}^n p_i \] Volumen-Konzentration \[ q_i = \frac{V_i}{V} \] \[ q_i = \frac{n_i}{n} \] Massen-Konzentration \[ \mu_i = \frac{m_i}{m} \] \[ \mu_i = \frac{M_i}{M} q_i \] Mol-Masse eines Gas-Gemischs \[ M = \sum_{i = 1}^n q_i M_i \] \subsection{Reales Gas \fromlecture{9}} \begin{definition}[Van der Waals-Korrektur] \[ p'V_m' = nRT \qquad p' = p + \frac{a}{V_m^2} \quad V_m' = V_m - b \] \begin{result}[Van der Waals-Gleichung] \[ \left(p + \frac{n^2 a}{V^2} \right)(V - nb) = nRT \] \end{result} \begin{result}[Van der Waals-Parameter] \[ a = \frac{9}{8} R T_k V_{mk} \qquad b = \frac{V_{mk}}{3} \] \end{result} \begin{result}[Kritische Gr\"ossen] \[ V_{mk} = 3b \qquad T_k = \frac{8a}{27Rb} \qquad p_k = \frac{a}{27b^2} \] \end{result} \end{definition} \begin{figure}[h] \centering \input{fig/van-der-waals-maxwell-isotherm} \end{figure} \subsection{Energie \fromlecture{10}} \"Anderung innere Energie \[ \Delta U = \Delta W + \Delta Q \] Mechanische Arbeit von einem Gas \[ \Delta W = p \Delta V \] Schmelz-/Erstarrungs-W\"arme \[ Q_f = q_f m \] Verdampfungs-/Kondensations-W\"arme \[ Q_s = q_s m \] W\"armekapazit\"at \[ Q = cm\Delta T = n C_m \Delta T = C \Delta T \] W\"arme-Bilanz \[ 0 = \sum_{i = 1}^n \Delta Q_i + \Delta Q_{f_i} + \Delta Q_{s_i} \] \begin{thebibliography}{2} \bibitem{hsr} \textsc{Hochschule f\"ur Technik Rapperswil (HSR)}. \textit{\texttt{Ph2HAT} Vorlesungen und die dazugeh\"orige Unterlagen,} Sourlier David, Fr\"uhlingssemester 2020, Rapperswil. \bibitem{bucher-ruh} \textsc{Arthur Ruh, Benno Bucher}. \textit{Physik 1: Mechanik, Fluide, W\"armelehre}. Vol I, HSR, 2014, Rapperswil. \bibitem{feynman1} \textsc{Richard Feynman}. \textit{Mainly Mechanics, radiation, and heat}. \textit{The Feynman Lectures on Physics}, Leighton, Sands, New Millenium Edition, Vol I, Basic Books, California Institute of Technology (Caltech). \bibitem{feynman2} \textsc{Richard Feynman}. \textit{Mainly electromagnetism and matter}. \textit{The Feynman Lectures on Physics}, Leighton, Sands, New Millenium Edition, Vol II, Basic Books, California Institute of Technology (Caltech). \end{thebibliography} \section*{License} { \tt Ph2HAT-ZF (c) by Naoki Pross \\\\ Ph2HAT-ZF is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 Unported License. \\\\ You should have received a copy of the license along with this work. If not, see \\\\ {\small\url{http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/}} } \end{document}