\documentclass[a4paper, twocolumn]{article} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} % \usepackage{bm} \numberwithin{equation}{section} \usepackage{array} \usepackage{parskip} \usepackage{booktabs} \usepackage[margin=2cm]{geometry} \usepackage{siunitx} \usepackage{xcolor} \usepackage[colorlinks = true, linkcolor = red!50!black, urlcolor = blue, citecolor = black, anchorcolor = blue]{hyperref} \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage{german} \newtheoremstyle{hsr-def}% {1em}% above {1em}% below {}% body {0pt}% indent {}% headfont { }% headpunkt { }% headspace {\textsc{\thmname{#1} \thmnumber{#2}.} \textbf{\thmnote{#3}}}% headspec \newtheoremstyle{hsr-sub}% {1em}% above {1em}% below {}% body {0pt}% indent {}% headfont { }% headpunkt { }% headspace {\textsl{\thmname{#1} \thmnumber{#2}.} \textbf{\thmnote{#3}}}% headspec \newtheoremstyle{hsr-unnum}% {1em}% above {1em}% below {}% body {0pt}% indent {}% headfont { }% headpunkt { }% headspace {\textsc{\thmname{#1}} \textbf{\thmnote{#3}}}% headspec \theoremstyle{hsr-def} \newtheorem{definition}{Definition}[section] \theoremstyle{hsr-sub} \newtheorem{result}{Folgerung}[definition] \newtheorem{example}{Beispiel}[definition] \theoremstyle{hsr-unnum} \newtheorem{remark}{Bemerkung}[definition] \newcommand{\dd}[1]{\ensuremath{\mathrm{d}#1}} \newcommand{\di}[1]{\,\dd{#1}} \newcommand{\deriv}[2]{\ensuremath{\frac{\dd{#1}}{\dd{#2}}}} \newcommand{\pderiv}[2]{\ensuremath{\frac{\partial #1}{\partial #2}}} \renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}} \newcommand{\uvec}[1]{\ensuremath{\vec{\hat{#1}}}} \newcommand{\unitsof}[1]{\ensuremath{\left[\,#1\,\right]}} \begin{document} \section{Einf\"uhrung} \begin{definition}[Fluid] Fl\"ussigkeiten und Gase werden under dem Oberbegriff \emph{Fluide} zusammengefasst. \end{definition} % \begin{description} % \item[Isotherm] % \item[Isobar] % \item[Isotrop] % \end{description} \begin{definition}[Druck und Schubspannung] F\"ur einfache F\"alle der Cauchy Spannugstensor kann zu zwei Skalare \(p\) und \(\tau\) vereinfacht werden, sie werden Dr\"uck bzw. Schubspannung genannt. \begin{align*} pA &= \vec{F}\cdot\uvec{n} = F_\perp & \tau A &= \vec{F}\cdot\uvec{T} = F_\parallel \stackrel{\text{statik}}{=} 0 \\ \unitsof{p} &= \si{\newton\per\square\metre} = \si{\pascal} \end{align*} \begin{result}[Gesetzt von Pascal] In ruhenden Fluiden \(\tau = 0\), somit ist die Kraft immer senkrecht. \end{result} \end{definition} \begin{definition}[Dichte] Ist die Masse pro Volumeneinheit. \[ \varrho = \frac{m}{V} \qquad \unitsof{\varrho} = \si{\kilo\gram\per\cubic\metre} \] \end{definition} \section{Hydrostatik} \begin{definition}[Schweredruck] \begin{equation} \label{eqn:hydrostatic-pressure} \dd{p} = \varrho \vec{g} \cdot \dd{\vec{y}} = - \varrho g \dd{y} \end{equation} \begin{result}[Hydrostatischer Druck] F\"ur Fl\"ussigkeiten, da die Dichte konstant ist folgt: \[ p = \varrho g h \] \end{result} \begin{result}[Schweredruck eines Gase] Angenommen dass, die Dichte nur von Druck abh\"angt (barotrop) \[ \varrho(p) = \varrho_0 \frac{p}{p_0} \] Die L\"osung von \eqref{eqn:hydrostatic-pressure} ergibt die \emph{Barometrische H\"ohenformel} f\"ur eine isotherme Atmosp\"are. \[ p(h) = p_0 \exp\left(-\frac{\varrho_0}{p_0} gh\right) \] \end{result} \end{definition} \begin{definition}[Gesetz von Boyle-Mariotte] % \label{def:boyle-mariotte} F\"ur ein ideales Gas gilt bei konstanter Temperatur \[ pV = (\text{konstant}) \] \begin{result} Die Dichte ist proportional zum Druck \[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{\varrho_1}{\varrho_2} \] \end{result} \end{definition} \begin{definition}[Kompressibilit\"at] Die Druckerh\"ohung \(\Delta p\) bewirkt in einem Fluid stets eine Volumenabname. Die relative Volumen\"anderung ist proportional zur Druck\"anderung \[ \Delta V / V = - \kappa \Delta p \] \begin{remark} Eine ideale Fl\"ussigkeit ist reibungsfrei und inkompressibel. \end{remark} \begin{remark} In einer idealen Fl\"ussigkeit ist die Dichte konstant. \end{remark} \end{definition} \begin{definition}[Statische Auftriebskraft] Auch als Archimedische Prinzip bekannt. \[ F_A = G_f = \varrho_f V_k g \qquad \uvec{F}_a = - \uvec{g} \] Der auftrieb eines in ein Fluid eingetauchen K\"orper ist gleich dem Gewicht des von ihm verdr\"angten Fluids. \end{definition} \subsection{Grenzfl\"acheneffekte} \begin{definition}[Oberfl\"achenspannung] Zwischen zwei Atomen oder Molek\"ulen tritt die \emph{Van der Waals}-Kraft. An der Oberfl\"ache der Fl\"ussigkeit ist der mittlere Abstand der Molek\"ule etwas gr\"osser als im Innern. Das bewirkt eine Parallel zur Oberfl\"ache gerichtete anzihende Kraft zwischen den Molek\"ulen. \[ \sigma = \frac{F}{\ell} \qquad \unitsof{\sigma} = \si{\newton\per\metre} \] \begin{remark} Die Oberfl\"achenspannung kann auch als \emph{spezifische Oberf\"achenenergie} bezeichnet werden. \[ \sigma = \frac{\Delta W}{\Delta A} = \frac{F\Delta s}{\ell \Delta s} = \frac{F}{\ell} \] Die \emph{Oberfl\"achenenergie} ist ein Ma{\ss} f\"ur die Energie, die zum Aufbrechen der chemischen Bindungen notwendig ist, wenn eine neue Oberfl\"ache einer Fl\"ussigkeit oder eines Festkörpers erzeugt wird. \end{remark} \begin{result}[Grenzfl\"achenspannung] Bei einer Vergr\"osserung der Grenzfl\"ache muss Arbeit geleistet werden, da die Grenzfl\"achenenergie vergr\"ossert wird. Es gibt dann auch die Grenzfl\"achenspannungen \( \sigma_\text{sl}, \sigma_\text{sg}, \sigma_\text{lg} \) (fl\"ussig = liquid, fest = solid, gas) die zwischen Festk\"orper und Fl\"ussigkeit wirken. \(\varphi\) ist dann der \emph{Kontaktwinkel}, und die Geometrie ergibt die Beziehung \[ \sigma_\text{sg} = \sigma_\text{sl} + \sigma_\text{lg} \cos \varphi \] \end{result} \begin{example}[Druck in Seifenblase] \[ p = \frac{2\sigma}{r} \] \end{example} \end{definition} \begin{definition}[Kapillarit\"at] Allgemein an die Grenze gilt: \[ F_\text{Oberfl\"ache} = F_{G,\text{Fl\"ussigkeit}} \] \begin{example}[In einem Rohr (Zylinder)] \[ 2\pi r\sigma = \varrho\pi r^2 hg \implies h = \frac{2\sigma}{\varrho g r} \] \end{example} \end{definition} \section{Hydrodynamik} \subsection{Einf\"uhrung} \begin{definition}[Kontinuit\"atsgleichung] \begin{equation} \label{eqn:continuity} \pderiv{}{t}\int_V \varrho \di{V} = \oint_{\partial V} \varrho \vec{v}\cdot\di{\vec{s}} \end{equation} \begin{result}[Ideales Fluid] Da die Dichte konstant ist (inkompressibel), man kann \eqref{eqn:continuity} durch \(\varrho\) teilen und folgt: \[ \dot{V} = \int_A \vec{v}\cdot\di{\vec{s}} = vA \qquad \unitsof{\dot{V}} = \si{\cubic\metre\per\second} \] \end{result} % \begin{remark}[Differentialform] % \[ % \nabla \cdot (\varrho \vec{v}) + \pderiv{\varrho}{t} = 0 % \] % \end{remark} \end{definition} \begin{definition}[Bernoulli Gleichung] Der Term \(\varrho v^2 / 2\) wird \emph{dynamische Druck} genannt. \[ p + \varrho g h + \frac{\varrho}{2} v^2 = (\text{Konstant}) \] \begin{remark} Bernoulli gilt f\"ur inkompressible Fluide, und gen\"ugt f\"ur Fl\"ussigkeite und Gase, sofern \(v \ll \) Schallgeschwidigkeit. \end{remark} \begin{result} \begin{gather*} p_1 + \varrho g h_1 + \frac{\varrho}{2} v_1^2 = p_2 + \varrho g h_2 + \frac{\varrho}{2} v_1^2 \\ \text{oder}\quad -\Delta p = \varrho g \Delta h + \frac{\varrho}{2} \Delta \left( v^2 \right) \end{gather*} \end{result} \begin{result} Wo die Geschwindigkeit am schnellsten ist, dort ist die Druck am tiefsten. \end{result} \end{definition} \subsection{Reale Str\"omungen} \begin{definition}[Newtonsche Reibungsgesetz] Die Proportionalit\"atskonstante \(\eta\) wird \emph{dynamische Viskosit\"at} oder \emph{Z\"ahingkeit} genannt. \begin{gather*} \tau = \eta \deriv{v}{z} \stackrel{!}{=} \frac{F_\parallel}{A} \\ \unitsof{\eta} = \si{\kilo\gram\per\metre\second} = \si{\newton\second\per\metre} = \si{\pascal\second} \end{gather*} \end{definition} \begin{definition}[Formel von Stokes] (Stokes'sche Reibung) Reibungskraft einer Kugel im \"Ol \[ F_R = 6\pi\eta Rv_0 \] \end{definition} \begin{definition}[Laminare Rohrstr\"omung] Lauten die Gleichgewichtsbedingungen f\"ur die Kr\"afte innerhalb des Zylinders. \begin{align*} F_\text{Res,Druck} - F_\text{Reib} & = 0 \\ \pi r^2 (p_1 - p_2) - 2\pi rl\tau &= 0 \end{align*} \begin{result}[Geschwindigkeitsverteilung] Innerhalb des Zylinders (\(r\) von \(0\) bis \(R\)) \[ v(r) = \frac{\Delta p}{4\eta\ell}\left(R^2-r^2\right) \] \end{result} \begin{result}[Gesetz von Hagen Poiseuille] \[ \dot{V} = \frac{\pi\Delta p R^4}{8\eta\ell} \] \end{result} \begin{remark} Bei einer Zunahme des Rohrradius wird nicht nur die zur Verf\"ugung stehende Querschnittsfl\"ache gr\"osser, sondern zugleich w\"achst in der Rohrmitte auch die maximale Geschwindigkeit. \end{remark} \end{definition} \subsection{Turbulente Str\"omung} \begin{definition}[Reynolds Zahl] Ist ein dimensionslose Koeffizient aus der \emph{Navier-Stokes} Gleichung, der das Verh\"altnis zwischen kinetischer Energie des Fluides und dessen innerer Reibung (proportional zur Viskosit\"at) beschreibt. \[ \mathcal{R} = \frac{E_k}{E_r} = \frac{\varrho}{\eta} v^*\ell^* %\frac{\Delta p}{\tau} \] \(v^*, \ell^*\) sind eine charakteristische L\"ange bzw. Geschwindigkeit. Sie sind dimensionslose Variablen f\"ur geometrische und physikalische Gr\"ossen. \begin{result}[Rohrstr\"omung] Wird bei der Str\"omung durch ein Rohr mit kreisf\"ormigem Querschnitt der Durchmesser \(d\) als charakteristische Abmessung gew\"ahlt, sot ist die Reynolds-Zahl \[ \mathcal{R} = \frac{\varrho v d}{\eta} \] \end{result} \begin{result}[Kritische \(\mathcal{R}\)] \end{result} \end{definition} \begin{definition}[Druckwiederstand] \end{definition} Druckdifferenz \[ \Delta p \propto \varrho \Delta v \cdot \bar{v} \] Schubspannung \[ \tau \propto \eta\frac{\Delta V}{\ell} \] Prandtl'sche Genzschicht \[ D = \sqrt{\frac{\eta\ell}{\varrho v}} \] Druckabfall laminar \[ \Delta p = 32\eta\ell \frac{v}{d^2} \] \(\lambda\) nach Blasius, \emph{turulent} \[ \lambda_\text{t} = \frac{0.316}{\sqrt[4]{\mathcal{R}}} \] \(\lambda\) nach Hagen-Poiseuille, \emph{laminar} \[ \lambda_\text{l} = \frac{64}{\mathcal{R}} \] Turbulente Rohrst\"omung, je nach turbulent oder laminares \(\lambda\) \[ \Delta p = \lambda \frac{\varrho\ell}{2d} v^2 \] \section*{Kapitel 6} Druckwiederstand \[ F_D = c_W \frac{\varrho}{2}v^2 A_\perp \] Auftriebskraft nach Kutta-Jukowski \[ F_A = \varrho v \ell \Gamma \] Zirkulation \[ \Gamma = \oint \vec{v} \di{\vec{l}} \] Induzierter Widerstand \[ F_W = \dot{c}_W \frac{\varrho}{2} v^2 A_\parallel \] Dynamischer Auftrieb \[ F_A = c_A \frac{\varrho}{2} v^2 A_\perp \] Gleitwinkel \[ \tan(\varphi) = \frac{F_W}{F_A} = \frac{c_W}{c_A} = \frac{v_V}{v_H} \] \begin{thebibliography}{2} \bibitem{hsr} \textsc{Hochschule f\"ur Technik Rapperswil (HSR)}. \textit{\texttt{Ph2HAT} Vorlesungen und die dazugeh\"orige Unterlagen,} Sourlier David, Fr\"uhlingssemester 2020, Rapperswil. \bibitem{bucher-ruh} \textsc{Arthur Ruh, Benno Bucher}. \textit{Physik 1: Mechanik, Fluide, W\"armelehre}. Vol I, HSR, 2014, Rapperswil. \bibitem{feynman1} \textsc{Richard Feynman}. \textit{Mainly Mechanics, radiation, and heat}. \textit{The Feynman Lectures on Physics}, Leighton, Sands, New Millenium Edition, Vol I, Basic Books, California Institute of Technology (Caltech). \bibitem{feynman2} \textsc{Richard Feynman}. \textit{Mainly electromagnetism and matter}. \textit{The Feynman Lectures on Physics}, Leighton, Sands, New Millenium Edition, Vol II, Basic Books, California Institute of Technology (Caltech). \end{thebibliography} \section*{License} { \tt Ph2HAT-ZF (c) by Naoki Pross \\\\ Ph2HAT-ZF is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 Unported License. \\\\ You should have received a copy of the license along with this work. If not, see \\\\ {\small\url{http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/}} } \end{document}