\documentclass[a4paper]{article} % % Packages % %% styling for this document \usepackage{tex/docstyle} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{dsfont} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{multicol} \usepackage{booktabs} \usepackage{colortbl} \usepackage{array} \usepackage{enumitem} \usepackage{parskip} \usepackage{polyglossia} \setmainlanguage[variant=swiss]{german} % % Metadata % \title{} \author{ Naoki Pross%\footnote{University of Applied Sciences of Eastern Switzerland} } \date{} % % Document % \renewcommand{\P}[1]{\mathrm{P}(#1)} \newcommand{\given}{\,|\,} \newcommand{\E}[1]{\mathrm{E}(#1)} \newcommand{\Var}[1]{\mathrm{Var}(#1)} \newcommand{\Cov}[1]{\mathrm{Cov}(#1)} \DeclareMathOperator{\med}{\mathrm{med}} \begin{document} {\bfseries \huge \noindent Formelblatt --- Wahrscheinlichkeit und Statistik } \vspace{5mm} \renewcommand{\arraystretch}{2} \aboverulesep=0pt \belowrulesep=0pt \rowcolors{3}{lightgray!20}{white} \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{% | >{\columncolor{black}\cellcolor{black}}p{3mm} m{10.5cm} X | } \hline & \textbf{Produktregel} \newline \(k\) Positionen m\"ussen unabh\"angig von einadner markiert werden, wobai \(n_i\) verschiedene Markierungen zur Verf\"ugung stehen. & \(\displaystyle n_1 n_2\cdots n_k = \prod_{i=1}^k n_i \) \\ & \textbf{Permutation} \newline Auf wie viele Arten lassen sich \(n\) verschiedene Objekte anordnen? & \(\displaystyle P_n = n(n-1)(n-2)\cdots1 = n! \) \\ & \textbf{Kombination} \newline Auf wie vielen Arten kann man \(k\) aus \(n\) verschiedenen Objekte ausw\"ahlen? & \(\displaystyle C_n^k = {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) \\ \multirow{-7}{*}{\centering \rotatebox[origin = c]{90}{ \textcolor{white}{\bfseries Kombinatorik} } } & \textbf{Variation} \newline Auf wie viele Arten kann man \(k\) mal unter \(n\) verschiedenen Objekten ausw\"ahlen? & \(\displaystyle V_{n,k} = n^k \) \\ \hline \end{tabularx} \vspace{3mm} \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{% | >{\cellcolor{black}}p{3mm} m{5cm} X | } \hline & \textbf{Ereignis} & \( \Omega = (\text{sicheres Ereignis}) \quad \emptyset = (\text{unm\"ogliches Ereignis}) \quad A,B \subseteq \Omega \) \newline \( A \cap B = (A \text{ und } B) \quad A \cup B = (A \text{ oder } B) \quad \bar{A} = \Omega \setminus A = (\text{nicht } A) \) \\[5pt] & \textbf{Wahrscheinlichkeit} & \(\displaystyle \mathrm{P}: \Omega \to [0;1] \quad \P{\emptyset} = 0 \quad \P{\Omega} = 1 \quad \P{\bar{A}} = 1 - \P{A} \) \newline \(A\) und \(B\) unabh\"angig \(\iff \P{A \cap B} = \P{A}\cdot\P{B}\) \\[5pt] & \textbf{Bedingte Wahrscheinlichkeit} \newline Wahrscheinlichkeit von \(A\) wenn \(B\) bereits eingetreten ist & \(\displaystyle \P{A \given B} = \frac{\P{A \cap B}}{\P{B}} \stackrel{\text{\footnotesize unabh.}}{=} \P{A} \qquad \P{\bar{A} \given B} = 1 - \P{A \given B} \) \\[5pt] & \textbf{Totale Wahrscheinlichkeit} & \(\displaystyle \P{A} = \sum_i \P{A \given B_i} \qquad A \subset \bigcup_i B_i \) \\[8pt] & \textbf{Satz von Bayes} & \( \P{A \given B} \cdot \P{B} = \P{B \given A} \cdot \P{A} = \P{A \cap B} \) \\[5pt] %% TODO: fix this dimexpr & \multicolumn{2}{p{\dimexpr\linewidth-12mm} | }{ \textbf{Experimente} \newline In einem Laplace Experiment haben alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit. In einem Bernoulli Experiment es gibt nur 2 Ereignisse \(A\) und \(\bar{A}\) mit Wahrscheinlichkeiten \(p\) und \(1-p\). } \\[5pt] & \textbf{Zufallsvariable} & \( X : \Omega \to U \subseteq \mathbb{R} \quad \text{Ereignisse} \subset \Omega \,\text{ wie }\, \{ X = k \}, \{ X \leq x \}, \{ X > x \} \) \\[5pt] & \textbf{Erwartungswert} & \(\displaystyle \E{X} = \sum_{x \in U} x\cdot \P{X = x} \qquad \E{X + Y} = \E{X} + \E{Y} \) \newline \( \E{\lambda X} = \lambda \E{X} \qquad \E{XY} \stackrel{\text{\footnotesize unabh.}}{=} \E{X}\E{Y} \) \\[5pt] & \textbf{Varianz} \newline Mass f\"ur Streuung der Werte % \newline Quadratische Abweichung & \(\Var{X} = \E{(X - \E{X})^2} = \E{X^2} - \E{X}^2\) \newline \( \Var{\lambda X} = \lambda^2 \Var{X} \qquad \Var{X + Y} \stackrel{\text{\footnotesize unabh.}}{=} \Var{X} + \Var{Y} \) \\[5pt] & \textbf{Covarianz} & \(\Cov{X,Y} = \E{XY} - \E{X}\E{Y} \stackrel{\text{\footnotesize unabh.}}{=} 0\) \\[5pt] \multirow{-21}{*}{\centering \rotatebox[origin = c]{90}{ \textcolor{white}{\bfseries Wahrscheinlichkeit} } } & \textbf{Satz von Tschebyscheff} & \\[5pt] \hline \end{tabularx} \vspace{3mm} \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{% | >{\cellcolor{black}}p{3mm} m{4.5cm} X | } \hline & \textbf{Verteilungsfunktion} & ZV ist verteilt \(X \sim \mathcal{V}\) mit \(F : \mathbb{R} \to [0,1]\) monoton steigend \newline \( F(x) = \P{X \leq x} \qquad F(x\to\infty) = 1\) \qquad \(F(x\to-\infty) = 0 \) \\[8pt] & \textbf{Median} & \(\displaystyle \med X = \inf \left\{ x : F(x) = 0.5 \right\} \) \\[4pt] & \textbf{Dichtefunktion} & \(\displaystyle \varphi(x) = \frac{dF}{dx} \qquad \P{a \leq X \leq b} = \int_a^b \varphi \,dx \qquad 1 = \int_\mathbb{R} \varphi \,dx \) \\[8pt] & \textbf{Erwartungswert} & \(\displaystyle \E{X} = \int_\mathbb{R} x \varphi(x) \,dx \qquad \E{X^n} = \int_\mathbb{R} x^n \varphi(x) \, dx \) \\[8pt] & \textbf{Variablentransformation} & \(\displaystyle Y = g(X) \qquad \varphi_Y = \frac{\varphi_X}{g'} \circ g^{-1} \) \\[8pt] & \textbf{Standardisierung} & \(\displaystyle X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma) \qquad Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1) \) \\[8pt] \multirow{-9}{*}{\centering \rotatebox[origin = c]{90}{ \textcolor{white}{\bfseries W'keitsverteliung} } } & \textbf{Rechenregeln} & \\[8pt] \hline \end{tabularx} \vspace{3mm} { \noindent \renewcommand{\arraystretch}{2.1} \begin{tabularx}{\linewidth}{% | >{\cellcolor{black}}p{3mm} m{4.5cm} X c c c | } \hline & \bfseries Name & \(X \sim\) & \(\varphi(x) \text{ oder } \P{X = k}\) & \(\E{X}\) & \(\Var{X}\) \\[5pt] \hline & \textbf{Gleichverteilung} \newline Laplace Experimente & \(\displaystyle \mathcal{U}(a,b)\) & \(\displaystyle \frac{1}{b-a} \cdot \mathds{1}_{[a,b]} \) & \(\displaystyle \frac{a + b}{2}\) & \(\displaystyle \frac{(b - a)^2}{12} \) \\[5pt] & \textbf{Exponentialverteilung} \newline Halbwertszeit \(t_\frac{1}{2} = \log(2)/a\) & \(\displaystyle \mathcal{E}(a)\) & \(\displaystyle ae^{-ax} \cdot \mathds{1}_{[0,\infty)} \) & \(\displaystyle \frac{1}{a}\) & \(\displaystyle \frac{1}{a^2}\) \\[5pt] & \textbf{Normalverteilung} \newline Viele unabh. ZV & \(\displaystyle \mathcal{N}(\mu, \sigma)\) & \(\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-(x-\mu)^2 / 2\sigma^2} \) & \(\displaystyle \mu\) & \(\displaystyle \sigma^2 \) \\[5pt] & \textbf{Potenzverteilung} \newline Pareto Verteilung & \(\displaystyle \mathrm{Pow}(x_\textrm{m}, \alpha)\) & % \(\displaystyle \frac{\alpha - 1}{x_\textrm{m}} \left( % \frac{x}{x_\textrm{m}} % \right)^{-\alpha} \mathds{1}_{[x_\textrm{m},\infty)}\) & \(\displaystyle x_\textrm{m} \cdot \frac{\alpha - 1}{\alpha - 2}\) & % \(\displaystyle \left( % \frac{\alpha - 1}{\alpha - 3} - \left( % \frac{\alpha - 1}{\alpha - 2} % \right)^2 % \right) x_\textrm{m}^2\) \\[5pt] & \textbf{Chi--Quadrat V.} \newline F\"ur das \(\chi^2\) Test & \(\displaystyle \mathcal{X}^2(k)\) & & & \\[5pt] \hline & \textbf{Geometrische V.} & \(\displaystyle \mathcal{G}(p)\) & \(\displaystyle p(1-p)^k \) & \(\displaystyle \frac{1}{p}\) & \(\displaystyle \frac{1-p}{p^2}\) \\[5pt] & \textbf{Hypergeometrische V.} & \(\displaystyle \mathcal{H}(N,R,n)\) & \({R \choose k}{N-R \choose n-k} / {N \choose n} \) & \(\displaystyle \frac{nR}{N}\) & \(\displaystyle \frac{nR}{N} \left(1 - \frac{R}{N}\right) \frac{N - n}{N - 1}\) \\[5pt] & \textbf{Poissonverteilung} \newline Seltener Ereignisse & \(\displaystyle \mathcal{P}(\lambda)\) & \(\displaystyle \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \) & \(\displaystyle \lambda\) & \(\displaystyle \lambda\) \\[5pt] \multirow{-12}{*}{\centering \rotatebox[origin = c]{90}{ \textcolor{white}{\bfseries Katalog von W'keitsverteliungen} } } & \textbf{Binomialverteilung} \newline Bernoulli Experimente \newline & \(\displaystyle \mathcal{B}(n,p)\) & \(\displaystyle {n \choose k} p^k (1 - p)^{n - k} \) & \(\displaystyle np\) & \(\displaystyle np(1 - p) \) \\[5pt] %% TODO: fix this dimexpr and manual cell color & \multicolumn{5}{p{\dimexpr\linewidth-12mm} | }{ % \cellcolor{lightgray!20} \cellcolor{white} F\"ur grosse \(n\) wird \(\mathcal{B}(n,p)\) \(\displaystyle \approx \mathcal{N}\left(\mu = np, \sigma = \sqrt{np(1-p)}\right) \) und f\"ur kleine \(p\) (selten) ist \(\displaystyle \approx \mathcal{P}\left(\lambda = np\right) \). } \\[4pt] \hline \end{tabularx} } \vspace{3mm} \noindent \setlength{\parskip}{55pt} \begin{tabularx}{\linewidth}{% | >{\cellcolor{black}}p{3mm} m{4.5cm} X | } \hline & \textbf{Regression} \newline Lineares Modell & \(\displaystyle \text{ZV } X, Y \qquad y \approx ax + b \qquad a = \frac{\Cov{X,Y}}{\Var{X}} \qquad b = \E{Y} - a\E{X} \) \\ & \textbf{Regressionskoeffizient} & \(\displaystyle r = \frac{\Cov{X,Y}}{\sqrt{\Var{X}\Var{Y}}} \qquad r^2 \approx 1 \implies \text{gute Approx.} \) \\ &&\\ &&\\ &&\\ &&\\ \multirow{-5}{*}{\centering \rotatebox[origin = c]{90}{ \textcolor{white}{\bfseries Sch\"atzen} } } & \textbf{} & \\ \hline \end{tabularx} \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{% | >{\cellcolor{black}}p{3mm} m{4.5cm} X | } \hline &&\\ &&\\ &&\\ &&\\ \multirow{-5}{*}{\centering \rotatebox[origin = c]{90}{ \textcolor{white}{\bfseries Hypotesentesten} } } & \textbf{} & \\ \hline \end{tabularx} \end{document}