% Naoki Pross 2017
%
% Estratto dai corsi presso la Scuola delle Arti e Mestieri di
% Bellinzona.

\section{L'amplificatore Operazionale (\texttt{op-amp})}

%% TODO: schema opamp

\begin{center}
\begin{tabular}{ l r r l}
    & Ideale & Reale \\
    \hline \\
    Amplificazione di tensione & $\infty$ & $10^4 \div 10^8$ \\
    Resistenza d'ingresso\footnotemark[1] & $\infty$ & $10^5 \div 10^{15}$ & $\Omega$ \\
    Resistenza d'uscita\footnotemark[2] & $0$ & $20 \div 500$ & $\Omega$ \\
    Banda passante & $0\div\infty$ & $0\div 50$ & MHz \\
\end{tabular}
\end{center}
\footnotetext[1]{Resistenza tra l'ingresso e la massa}
\footnotetext[2]{Resistenza interna del generatore}

$$ A_{db} = 20\cdot\log (G) $$
$$ A_{db} = 20\cdot\log \Big (\frac{U_u}{U_i}\Big)$$
$$ G = 10^\frac{A_{db}}{20} $$

\section{\texttt{op-amp} funzionamento ad anello chiuso}

L'op-amp utilizzato ad anello aperto (open loop) non presenta un
comportamento lineare a causa dell'elevato guadagno ($A_{ol}$). Inoltre
($A_{ol}$) \`e dipendente dalla temperatura, quindi pu\`o presentare una
considerevole variazione. Pertanto la configurazione ad anello aperto
non pu\`o essere usata per circuiti amplificatori o attenuatori.
Occore in questi casi inserire l'op-amp in una rete di \emph{retroazione
negativa} (o controreazione) che consenta di limitare il guadagno
complessivo e rendere la risposta del circuito \emph{lineare} per
escursioni relativamente ampie di $V_{in}$, definito dal progettista e
indipendente da $A_{ol}$

In zona di funzionamento lineare si considera $U_d = 0$ V per $-V_{sat}
< V_o < V_{sat}$, quindi $A_{ol} = \infty$.

%% TODO: schema opamp Ud

\subsection{Amplificatore Invertente}
Considerando il circuito seguente:
%% TODO: schema invertente
Se $V_d = 0$ l'ingresso inverente \`e a massa virtuale. Pertanto 
$$i = \frac{V_i}{R_A} \qquad e \qquad i_F = \frac{V_o}{R_F}$$
Se nell'ingresso invertente non scorre corrente ($i_- = 0$) possiamo
asserire che $i = i_F$, quindi
$$ - \frac{V_o}{R_F} = \frac{V_i}{R_A} \implies V_o = V_i \cdot\frac{R_F}{R_A}$$
$$ A_V = \frac{V_o}{V_i} \implies A_V = -\frac{R_F}{R_A} $$

La resistenza d'ingresso ($R_{in}$) del circuito risulter\`a pari ad
$R_A$. \`E importante notare, che collegando un carico $R_L$ la corrente
d'uscita dell'op-amp risulter\`a $i_o = i_F + i_L$. Bisogna quindi
scegliere $R_A, R_F$ e $R_L$ tali da non superare la corrente massima in
uscita dell'op-amp.
%% TODO: schema correnti

\subsection{Sommatore invertente}
Aggiungendo un ingresso al circuito invertente con un rispettivo
resistore, si ottiene un dispositivo in grado di effettuare la somma,
cambiata di segno dei segnali in entrata.
%% TODO: schema sommatore

La relazione di $V_1$ e $V_2$ con l'uscita $V_o$ pu\`o essere calcolata
in modo analogo a quanto fatto per l'amplificatore invertente.
Considerando nulla $i_-$ possiamo quindi dire che $i_f = i_1 + i_2$, con
$i_1 = \frac{V_1}{R_1}$ e $i_2 = \frac{V_2}{R_2}$. Pertanto
$$ V_o = R_F\cdot i_F = -R_F\cdot\Big (\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}\Big )$$
Nel caso paricolare in cui $R_F = R_1 = R_2$ si ottiene 
$V_o = - (V_1 + V_2)$. Senza carico $i_o = i_F = i_1 + i_2$.

\subsection{Amplificatore non invertente}
La configurazione invertente presenta una $R_{in}$ relativamente ridotta;
inoltre, in certi casi, l'inversione di fase pu\`o costituire un
problema. La configurazione seguente (non invertente) ovvia agli
inconvenienti menzionati.
%% TODO: schema non invertente

Il segnarle viene applicato all'ingresso non invertente, cos\`i da
ottenere un guadagno $A_V$ positivo. Se $i_- = 0$ allora $i_f = i$
pertanto $V_- = V_o\frac{R_A}{R_F + R_A}$ considerando il cortocircuito
virtuale fra gli ingressi si ha $V_- = V_i$ quindi
$$ V_o = V_+\cdot\frac{R_A+R_F}{R_A} = V_i\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )$$
$$ A_V = \frac{V_o}{V_i} = \frac{R_A + R_F}{R_A} = 1+\frac{R_F}{R_A}$$

\subsection{Inseguitore di tensione (buffer)}
Un inconveniente piuttosto frequente in elettronica \`e costituito
dall'attenuazione che nasce fra due circuiti, l'uno con elevata
resistenza d'uscita, l'altro con ridotta resistenza d'ingresso: occorre
introdurre un buffer che funzioni come \emph{adattatore d'impedenza},
eliminando questo problema. Il circuito seguente risponde a questa
esigenza.
%% TODO: circuito buffer

Esso infatti presenta un guadagno unitario, elevatissima resistenza
d'ingresso e bassissima resistenza d'uscita.
$$ V_o = V_- = V_i \implies A_V = \frac{V_o}{V_i} = 1 $$

\subsection{Sommatore non invertente}
Il circuito seguente fornisce in uscita, una tensione pari alla somma
dei segnali d'ingresso.
%% TODO: schema sommatore non inv.

Esso pu\`o essere visto come un applicazione dell'amplificatore non
invertente. Grazie a Millman possiamo calcolare la tensione
sull'ingresso non invertente.
$$ V_+ = \frac{\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}
\qquad se \quad R_1 = R_2 \implies V_+ = \frac{V_1+V_2}{2}$$

Dall'amplificatore non invertente sappiamo che:
$$ V_o = V_+\cdot\frac{R_A+R_F}{R_A} = V_i\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )$$
In maniera pi\`u generale:
\begin{align*}
    V_o &= \frac{\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )\\
        &= \Big (\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}\Big )\cdot\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )\\
        &= \frac{V_1\cdot R_2+ V_2\cdot R_1}{\cancel{R_1\cdot R_2}}\cdot\frac{\cancel{R_1\cdot R_2}}{R_1+R_2}\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )\\\\
        &= \Big (V_1\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}+V_2\cdot\frac{R_1}{R_1+R_2}\Big )\cdot\Big (1+\frac{R_F}{R_A}\Big )\\
\end{align*}

\subsection{Amplificatore differenziale}