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% definitionen.tex -- Definition für das Kapitel über Polynome
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\section{Definitionen
\label{buch:section:polynome:definitionen}}
\rhead{Definitionen}
In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende Definitionen für das
Rechnen mit Polynomen zusammen.

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% Skalare
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\subsection{Skalare
\label{buch:subsection:polynome:skalare}}
Wie schon in der Einleitung angedeutet sind Polynome nur dann sinnvoll,
wenn man mit den Koeffizienten gewisse Rechenoperationen durchführen kann.
Wir brauchen mindestens die Möglichkeit, Koeffizienten zu addieren.
Wenn wir uns vorstellen, dass wir $X$ durch eine Zahl ersetzen können,
dann brauchen wir zusätzlich die Möglichkeit, einen Koeffizienten mit einer
Zahl zu multiplizieren.

Die Struktur, die wir hier beschrieben haben, hängt davon ab, was wir uns
unter einer ``Zahl'' vorstellen.
Wir bezeichnen die Menge, aus der die ``Zahlen'' kommen können mit $R$ und
nennen sie die Menge der Skalare.
\index{Skalar}%
Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$
in das Polynom einsetzen kann, dann muss es möglich sein, in $R$ zu
Multiplizieren und zu Addieren, und es müssen die üblichen Rechenregeln
der Algebra gelten, $R$ muss also ein Ring sein.
\index{Ring}%
Wir werden im folgenden meistens voraussetzen, dass $R$ sogar kommutativ
ist und eine $1$ hat.

\begin{definition}
Sei $R$ ein Ring.
Die Menge
\[
R[X]
=
\{
p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1X+a_0\;|\; a_k\in R, n\in\mathbb{N}
\}
\]
heisst die Menge der {\em Polynome} mit Koeffizienten in $R$
oder
{\em Polynome über} $R$.
\index{Polynome über $R$}%
Polynome können addiert werden, indem Koeffizienten mit gleichem Index
addiert werden:
\begin{align*}
p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0\\
q(X) &= b_nX^n + b_{n-1}X^{n-1} + \dots + b_1X + b_0\\
p(X)+q(X)
&=
(a_n+b_n)X^n
+
(a_{n-1}+b_{n-1})X^{n-1}
+
\dots
+
(a_1+b_1)X
+
(a_0+b_0)
\end{align*}
Die Multiplikation ist durch die Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung}
definiert.
\end{definition}

Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der
\index{Polynom!normiert}%
\index{normiertes Polynom}%
\index{Polynom!monisch}%
\index{normiertes Polynom}
höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynomus $1$ ist,
also $a_n=1$.
\index{Leitkoeffizient}%
Wenn man in $R$ durch $a_n$ dividieren kann, dann kann man aus dem Polynom
$p(X)=a_nX^n+\dots$ mit Leitkoeffizient $a_n$ das normierte Polynom
\[
\frac{1}{a_n}p(X) = \frac{1}{a_n}(a_nX^n + \dots + a_0)=
X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n}
\]
machen.
Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert.

Die Tatsache, dass zwei  Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen,
verkompliziert die Beschreibung der Rechenoperationen ein wenig.
Wir werden daher im Folgenden oft für ein Polynom
\[
p(X)
=
a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1X+a_0
\]
annehmen, dass alle Koeffizienten $a_{n+1},a_{n+2},\dots$ implizit mit
Wert $0$ definiert sind.
Wir werden uns also erlauben,
\[
p(X)
=
\sum_{k}a_kX^k
=
\sum_{k=0}^\infty a_kX^k
\]
zu schreiben, wobei in der ersten Form das Summenzeichen bedeuten soll,
dass nur über diejenigen Indizes $k$ summiert wird, für die $a_k$
definiert ist.
\label{summenzeichenkonvention}

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% Abschnitt über Polynomring Definition
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\subsection{Der Polynomring
\label{buch:subsection:polynome:ring}}
Die Menge $R[X]$ aller Polynome über $R$ wird zu einem Ring, wenn man die
Rechenoperationen Addition und Multiplikation so definiert, wie man das
in der Schule gelernt hat.
Die Summe von zwei Polynomen
\begin{align*}
p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0\\
q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0
\end{align*}
ist
\[
p(X)+q(X)
=
\sum_{k} (a_k+b_k)X^k,
\]
wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme
summiert wird, für die mindestens einer der Summanden von $0$
verschieden ist.

Für das Produkt verwenden wir die Definition
\[
p(X)q(X)
=
\sum_{k}\sum_{l} a_kb_l X^{k+l},
\]
die natürlich mit Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung}
gleichbedeutend ist.
Die Polynom-Multiplikation und Addition sind nur eine natürliche
Erweiterung der Rechenregeln, die man schon in der Schule lernt,
es ist daher nicht überraschend, dass die bekannten Rechenregeln
auch für Polynome gelten.
Das Distributivgesetz
\[
p(X)(u(X)+v(X)) = p(X)u(X) + p(X)v(X)
\qquad
(p(X)+q(X)) u(X) = p(X)u(X) + q(X)u(X)
\]
zum Beispiel sagt ja nichts anderes, als dass man ausmultiplizieren
kann.
Oder die Assoziativgesetze
\begin{align*}
p(X)+q(X)+r(X)
&=
(p(X)+q(X))+r(X)
=
p(X)+(q(X)+r(X))
\\
p(X)q(X)r(X)
&=
(p(X)q(X))r(X)
=
p(X)(q(X)r(X))
\end{align*}
für die Multiplikation besagt, das es keine Rolle spielt, in welcher
Reihenfolge man die Additionen oder Multiplikationen ausführt.

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% Der Grad eines Polynoms
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\subsection{Grad
\label{buch:subsection:polynome:grad}}

\begin{definition}
Der {\em Grad} eines Polynoms $p(X)$ ist die höchste Potenz von $X$, die im
Polynom vorkommt.
Das Polynom
\[
p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots a_1X + a_0
\]
hat den Grad $n$, wenn $a_n\ne 0$ ist.
Der Grad von $p$ wird mit $\deg p$ bezeichnet.
Konstante Polynome $p(X)=a_0$ mit $a_0\ne 0$ hat den Grad $0$.
Der Grad des Nullpolynoms $p(X)=0$ ist definiert als
$-\infty$.
\end{definition}

Der Grad eines Polynoms ist sinnvoll in dem Sinn, dass er sich mit
den Rechenoperationen gut verträgt.
Damit lässt sich weiter unten auch die spezielle Wahl des Grades
des Nullpolynoms begründen.
Es gelten nämlich die folgenden Rechenregeln.

\begin{lemma}
\label{lemma:rechenregelnfuerpolynomgrad}
Sind $p$ und $q$ Polynome mit Koeffizienten in $R$ und $0\ne \lambda\in R$,
dann gilt
\begin{align}
\deg(pq) &\le \deg p + \deg q
\label{buch:eqn:polynome:gradsumme}
\\
\deg(p+q) &\le \max(\deg p, \deg q)
\label{buch:eqn:polynome:gradprodukt}
\\
\deg(\lambda p) &\le \deg p
\label{buch:eqn:polynome:gradskalar}
\end{align}
\end{lemma}

Die Formel \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} ist eigentlich
ein Spezialfall von \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}.
Die Zahl $\lambda\in R$ kann man als Polynom vom Grad $0$ betrachten,
wofür natürlich \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme} gilt, also
$\deg(\lambda p) \le \deg\lambda + \deg p$.

\begin{proof}[Beweis]
Wir schreiben die Polynome wieder in der Form
\begin{align*}
p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0&&\Rightarrow&\deg p&=n\\
q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0&&\Rightarrow&\deg q&=m.
\end{align*}
Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht weiter oben
sein als die grössere von den beiden Zahlen $n$ und $m$ angibt, dies
beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}.
Ebenso kann der höchste Koeffizient im Produkt nach der
Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht weiter oben als bei
$n+m$ liegen, dies beweist
beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
Es könnte aber passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
dass der Grad kleiner ist.
Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser
als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was
\eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist.
\end{proof}

Etwas enttäuschend an diesen Rechenregeln ist, dass der Grad eines
Produktes nicht exakt die Summe der Grade hat.
Der Grund ist natürlich, dass es in gewissen Ringen $R$ passieren kann,
dass das Produkt $a_n\cdot b_m=0$ ist.
Zum Beispiel ist im Ring der $2\times 2$ Matrizen das Produkt der Elemente
\begin{equation}
a_n = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
\quad\text{und}\quad
b_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}
\qquad\Rightarrow\qquad
a_nb_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
\label{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel}
\end{equation}
Diese unangehme Situation tritt immer ein, wenn es von Null verschiedene
Elemente gibt, deren Produkt $0$ ist.
In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen Fall also nicht
einfach ausschliessen.
In den Zahlenmengen wie $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ passiert
das natürlich nie.

\begin{definition}
Ein Ring $R$ heisst {\em nullteilerfrei}, wenn für zwei Elemente
$a,b\in R$ aus $ab=0$ immer geschlossen werden kann, dass
$a=0$ oder $b=0$.
Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst Nullteiler,
wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $ab=0$.
\index{Nullteiler}
\index{nullteilerfrei}
\end{definition}

Die beiden Matrizen in
\eqref{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel}
sind Nullteiler im Ring $M_2(\mathbb{Z})$ der $2\times 2$-Matrizen.
Der Matrizenring $M_2(\mathbb{Z})$ ist also nicht nullteilerfrei.

In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad
jetzt exakt:

\begin{lemma}
Sei $R$ ein nullteilerfreier Ring und $p$ und $q$ Polynome über $R$
und $0\ne \lambda\in R$.
Dann gilt
\begin{align}
\deg(pq) &= \deg p + \deg q
\label{buch:eqn:polynome:gradsummeexakt}
\\
\deg(p+q) &\le \max(\deg p, \deg q)
\label{buch:eqn:polynome:gradproduktexakt}
\\
\deg(\lambda p) &= \deg p
\label{buch:eqn:polynome:gradskalarexakt}
\end{align}
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis]
Der Fall, dass der höchste Koeffizient verschwindet, weil $a_n$, $b_m$
oder $\lambda$ Nullteiler sind, kann unter den gegebenen Voraussetzungen
nicht eintreten, daher werden die in
Lemma~\ref{lemma:rechenregelnfuerpolynomgrad} gefunden Ungleichungen
für Produkte exakt.
\end{proof}

Die Gleichung
\eqref{buch:eqn:polynome:gradskalarexakt}
kann im Fall $\lambda=0$ natürlich nicht gelten.
Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus
\eqref{buch:eqn:polynome:gradsummeexakt}, dass
\[
\begin{aligned}
\lambda&\ne 0  &&\Rightarrow& \deg (\lambda p) &= \deg\lambda + \deg p = 0+\deg p
\\
\lambda&=0     &&\Rightarrow& \deg (0 p) &= \deg 0 + \deg p = \deg 0
\end{aligned}
\]
Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn die ``Zahl'' $\deg 0$ die Eigenschaft besitzt, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt,
wenn man irgend eine Zahl $\deg p$ hinzuaddiert. Wenn also
\[\deg 0 + \deg p = \deg 0 \qquad \forall \deg p \in \mathbb Z\]
gilt.
So eine Zahl gibt es in den ganzen Zahlen nicht.
Wenn man zu einer ganzen Zahl eine andere ganze Zahl hinzuaddiert, ändert sich fast immer etwas.
Man muss daher $\deg 0 = -\infty$ setzen und festlegen, dass
$-\infty + n = -\infty$ für beliebige ganze Zahlen $n$ gilt.

\begin{definition}
\label{buch:def:definitionen:polynomfilterung}
Die Polynome vom Grad $\le n$ mit Koeffizienten in $R$
bilden die Teilmenge
\[
R^{(n)}[X]
=
\{ p\in R[X]\;|\; \deg p \le n\}.
\]
Die Mengen $R^{(n)}[X]$ bilden eine {\em Filtrierung} des Polynomrings
$R[X]$, d.~h.~sie sind ineinander geschachtelt
\[
\arraycolsep=4pt
\begin{array}{ccccccccccccccc}
R^{(-\infty)}[X] & \subset
	& R^{(0)}[X] & \subset
		& R^{(1)}[X] & \subset & \dots & \subset
			& R^{(k)}[X] & \subset
				& R^{(k+1)}[X] & \subset & \dots & \subset
					& R[X]\\[3pt]
\bigg\| &
	&\bigg\| &
		&\bigg\| & & &
			&&
				&& & &
					&
\\[3pt]
\{0\} & \subset
	& R & \subset
		& \{a_1X+a_0\;|a_k\in R\} & \subset & \dots &
\end{array}
\]
und ihre Vereinigung ist $R[X]$.
\end{definition}

Die Formeln für den Grad können wir auch mit den Mengen $R^{(k)}[X]$
ausdrücken:
\begin{align*}
\deg (p+q) &\le \max(\deg p, \deg q)
&&\Rightarrow&
R^{(k)}+R^{(l)}
&\subset R^{(\max(k,l))}
=
R^{(k)}[X] \cup R^{(l)}[X].
\\
\deg (p\cdot q)&=\deg p+\deg q
&&\Rightarrow&
R^{(k)}[X] \cdot R^{(l)}[X]
&=
R^{(k+l)}[X].
\end{align*}


%
% Abschnitt über Teilbarkeit
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\subsection{Teilbarkeit
\label{buch:subsection:polynome:teilbarkeit}}
XXX TODO

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% Abschnitt über formale Potenzreihen
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\subsection{Formale Potenzreihen
\label{buch:subsection:polynome:potenzreihen}}
XXX TODO