1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
|
%
% permutationsmatrizen.tex -- Permutationsmatrizen
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
\section{Permutationsmatrizen
\label{buch:section:permutationsmatrizen}}
\rhead{Permutationsmatrizen}
Die Eigenschaft, dass eine Vertauschung das Vorzeichen kehrt, ist
eine wohlebekannte Eigenschaft der Determinanten.
In diesem Abschnitt soll daher eine Darstellung von Permutationen
als Matrizen gezeigt werden und die Verbindung zwischen dem
Vorzeichen einer Permutation und der Determinanten hergestellt
werden.
\subsection{Matrizen}
Gegeben sei jetzt eine Permutation $\sigma\in S_n$.
Aus $\sigma$ lässt sich eine lineare Abbildung $\Bbbk^n\to\Bbbk^n$
konstruieren, die die Standardbasisvektoren permutiert, also
\[
f_{\sigma}\colon
\Bbbk^n \to \Bbbk^n
:
\left\{
\begin{aligned}
e_1&\mapsto e_{\sigma(1)} \\
e_2&\mapsto e_{\sigma(2)} \\
\vdots&\\
e_n&\mapsto e_{\sigma(n)}
\end{aligned}
\right.
\]
Die Matrix $P_\sigma$ der linearen Abbildung $f_{\sigma}$ hat in Spalte $i$
genau eine $1$ in der Zeile $\sigma(i)$, also
\[
(P_\sigma)_{ij} = \delta_{j\sigma(i)}.
\]
\begin{beispiel}
Die zur Permutation
\[
\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6\\
2&1&3&5&6&4
\end{pmatrix}
\]
gehörige lineare Abbildung $f_\sigma$ hat die Matrix
\[
A_\sigma
=
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&0&1\\
0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&1&0
\end{pmatrix}
\qedhere
\]
\end{beispiel}
\begin{definition}
Eine Permutationsmatrix ist eine Matrix $P\in M_n(\Bbbk)$
derart, die in jeder Zeile und Spalte genau eine $1$ enhalten,
während alle anderen Matrixelemente $0$ sind.
\end{definition}
Es ist klar, dass aus einer Permutationsmatrix auch die Permutation
der Standardbasisvektoren abgelesen werden kann.
Die Verknüpfung von Permutationen wird zur Matrixmultiplikation
von Permutationsmatrizen, die Zuordnung $\sigma\mapsto P_\sigma$
ist also ein Homomorphismus
$
S_n \to M_n(\Bbbk^n),
$
es ist $P_{\sigma_1\sigma_2}=P_{\sigma_1}P_{\sigma_2}$.
\subsection{Transpositionen}
Transpositionen sind Permutationen, die genau zwei Elemente von $[n]$
vertauschen.
Wir ermitteln jetzt die Permutationsmatrix der Transposition $\tau=\tau_{ij}$
\[
P_{\tau_{ij}}
=
\begin{pmatrix}
1& & & & & & & & \\
&\ddots& & & & & & & \\
& &1& & & & & & \\
& & &0 &\dots&1 & & & \\
& & &\vdots& &\vdots& & & \\
& & &1 &\dots&0 & & & \\
& & & & & &1& & \\
& & & & & & &\ddots& \\
& & & & & & & &1
\end{pmatrix}
\qedhere
\]
Die Permutation $\sigma$ mit dem Zyklus $1\to 2\to\dots\to l-1\to l\to 1$
der Länge $l$ kann aus aufeinanderfolgenden Transpositionen zusammengesetzt
werden, die zugehörigen Permutationsmatrizen sind
\begin{align*}
P_\sigma
&=
P_{\tau_{12}}
P_{\tau_{23}}
P_{\tau_{34}}\dots
P_{\tau_{l-2,l-1}}
P_{\tau_{l-1,l}}
\\
&=
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&\dots\\
1&0&0&0&\dots\\
0&0&1&0&\dots\\
0&0&0&1&\dots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0&0&\dots\\
0&0&1&0&\dots\\
0&1&0&0&\dots\\
0&0&0&1&\dots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0&0&\dots\\
0&1&0&0&\dots\\
0&0&0&1&\dots\\
0&0&1&0&\dots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}
\dots
\\
&=
\begin{pmatrix}
0&0&1&0&\dots\\
1&0&0&0&\dots\\
0&1&0&0&\dots\\
0&0&0&1&\dots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0&0&\dots\\
0&1&0&0&\dots\\
0&0&0&1&\dots\\
0&0&1&0&\dots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}
\dots
\\
&=
\begin{pmatrix}
0&0&0&1&\dots\\
1&0&0&0&\dots\\
0&1&0&0&\dots\\
0&0&1&0&\dots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}
\\
&\vdots\\
&=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&\dots&0&1\\
1&0&0&0&\dots&0&0\\
0&1&0&0&\dots&0&0\\
0&0&1&0&\dots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&\dots&1&0
\end{pmatrix}
\end{align*}
\subsection{Determinante und Vorzeichen}
Die Transpositionen haben Permutationsmatrizen, die aus der Einheitsmatrix
entstehen, indem genau zwei Zeilen vertauscht werden.
Die Determinante einer solchen Permutationsmatrix ist
\[
\det P_{\tau} = - \det E = -1 = \operatorname{sgn}(\tau).
\]
Nach der Produktregel für die Determinante folgt für eine Darstellung
der Permutation $\sigma=\tau_1\dots\tau_l$ als Produkt von Transpositionen,
dass
\[
\det P_{\sigma}
=
\det P_{\tau_1} \dots \det P_{\tau_l}
=
(-1)^l
=
\operatorname{sgn}(\sigma).
\]
Das Vorzeichen einer Permutation ist also identisch mit der Determinante
der zugehörigen Permutationsmatrix.
|
