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\section{Vektoroperationen\label{clifford:section:Vektoroperationen}}
\rhead{Vektoroperationen}
Das grundsätzliche Ziel der geometrischen Algebra ist, die lineare Algebra zu einer Algebra mit Multiplikation zu erweitern und dieses Produkt dann geometrisch interpretieren, um geometrische Probleme lösen zu können.
\subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}}
Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren
\begin{align*}
\textbf{a}
&=
\begin{pmatrix}
a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n
\end{pmatrix}
=
a_1 \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{pmatrix}
+
a_2\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0
\end{pmatrix} + \dots
+
a_n\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
\end{pmatrix},\\
\intertext{oder auch als}
&=
a_1\textbf{e}_1
+
a_2\textbf{e}_2
+
\dots + a_n\textbf{e}_n
=
\sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i
\quad
a_i \in \mathbb{R}
, \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n
\end{align*}
dargestellt werden.
Diese Basisvektoren werden so gewählt, dass sie orthonormiert sind.
\begin{beispiel}
Eine Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$ könnte wie folgt aussehen
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
42 \\ 2 \\ 1291 \\ 4
\end{pmatrix}
=
42 \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+
2 \begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+
1291
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+
4 \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
=
42\textbf{e}_1
+
2\textbf{e}_2
+
1291\textbf{e}_3
+
4\textbf{e}_4.
\end{equation*}
Dieses Beispiel ist für einen vierdimensionalen Vektor, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden.
\end{beispiel}
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