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% n-zu-1.tex -- Umwandlend einer DGL n-ter Ordnung in ein System 1. Ordnung
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
% Erstellt durch Roy Seitz
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% !TeX spellcheck = de_CH
\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Reicht $1.$ Ordnung?}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Beispiel: DGL 3.~Ordnung} \vspace*{-1ex}
\begin{align*}
x^{(3)} + a_2 \ddot x + a_1 \dot x + a_0 x = 0 \\
\Rightarrow
x^{(3)} = -a_2 \ddot x - a_1 \dot x - a_0 x
\end{align*}
\end{block}
\begin{block}{Ziel: Nur noch 1.~Ableitungen}
Einführen neuer Variablen:
\begin{align*}
x_0 &\coloneqq x &
x_1 &\coloneqq \dot x &
x_2 &\coloneqq \ddot x
\end{align*}
System von Gleichungen 1.~Ordnung
\begin{align*}
\dot x_0 &= x_1 \\
\dot x_1 &= x_2 \\
\dot x_2 &= -a_2 x_2 - a_1 x_1 - a_0 x_0
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Als Vektor-Gleichung} \vspace*{-1ex}
\begin{align*}
\frac{d}{dt}
\begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-a_0 & -a_1 & -a_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
\end{align*}
Geht für jede lineare Differentialgleichung!
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup
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