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% funktionenraum.tex
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Funktionenraum}
\vspace{-15pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Supremum-Norm}
Vektorraum
\[
C([a,b])
=
\{f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\;|\; \text{$f$ stetig}\}
\]
\only<2->{wird Banachraum }%
mit der Norm
\(\displaystyle
\|f\|
=
\|f\|_{\infty}
=
\sup_{x\in[a,b]} |f(x)|
\)
\end{block}
\uncover<3->{%
\begin{block}{$L^1$-Norm}
Vektorraum
\[
L^1([a,b])
=
\{f\colon[a,b]\;|\;\text{$f$ integrierbar}\}
\]
\only<4->{wird Banachraum }%
mit der Norm
\[
\|f\|_1
=
\int_a^b |f(x)|\,dx
\]
\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\uncover<5->{%
\begin{block}{$L^2$-Norm}
Vektorraum
\[
L^2([a,b])
=
\{f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\;|\; \|f\|_2^2<\infty\}
\]
mit Skalarprodukt
\begin{align*}
\langle f,g\rangle
&=
\int_a^b \overline{f}(x)g(x)\,dx
\\
\|f\|_2^2
&=
\int_a^b |f(x)|^2\,dx
\end{align*}
\uncover<6->{ist ein Banachraum}
\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
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