blob: e83b0834ed1272d9a4c58cf391ff89db04233f4e (
plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
|
Schreiben Sie die Funktion
\[
\arcsin x
=
x
+
\frac{1}{2} \frac{x^3}{5}
+
\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{x^5}{5}
+
\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\frac{x^7}{7}
+
\dots
+
\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot (2k-1)}{2\cdot4\cdot 6\cdot (2k)}
\frac{x^{2k+1}}{2k+1}
+
\dots
\]
mit Hilfe der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_2F_1$.
\begin{loesung}
Zunächst betrachten wir die Produkte
\[
p_k
=
\frac{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2k-1)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2k)}.
\]
Durch Kürzen mit $2^k$ erhalten wir Produkte im Zähler und im Nenner, deren
Faktoren in Einerschritten ansteigen:
\[
p_k
=
\frac{
\frac12\cdot
\bigl(
\frac12+1\bigr)\cdot\ldots\cdot\bigl(\frac12+k-1\bigr)
}{
1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k
}
=
\frac{(\frac12)_k}{(1)_k}
=
\frac{(\frac12)_k}{k!}
\]
Damit haben wir den ersten Faktor mit Pochhammer-Symbolen geschrieben.
Den Nenner können wir für den obligatorischen Nenner $k!$ verwenden,
der in einer hypergeometrischen Reihe vorkommt.
Den verbleibenden Teil muss jetzt in der Form $qz^k$ geschrieben werden,
wobei $q$ ein Quotient von Pochhammer-Symbolen sein muss.
Da die Potenzen von $x$ in Zweierschritten ansteigen, müssen wir als
Argument $z=x^2$ verwenden und einen gemeinsamen Faktor $x$ aus der
Funktion ausklammern.
Im Faktor $1/(2k+1)$ nimmt der Nenner in Zweierschritten zu, wir schreiben
ihn daher zunächst als
\[
\frac{1}{2k+1}
=
\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac12+k}
=
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac32+k-1}.
\]
Den zweiten Bruch können wir jetzt als Quotiente von Pochhammer-Symbolen
schreiben, nämlich
\begin{align*}
\frac{1}{\frac32+k-1}
&=
\frac{
\frac32
\cdot
\bigl(\frac32+1)
\cdot
\bigl(\frac32+2)
\cdots
\bigl(\frac32+k-2)
\phantom{
\mathstrut
\cdot
\bigl(\frac32+k-1)
}
}{
\frac32
\cdot
\bigl(\frac32+1)
\cdot
\bigl(\frac32+2)
\cdots
\bigl(\frac32+k-2)
\cdot
\bigl(\frac32+k-1)
}
\\
&=
2
\frac{
\frac12
\cdot
\frac32
\cdot
\bigl(\frac32+1)
\cdot
\bigl(\frac32+2)
\cdots
\bigl(\frac32+k-2)
\phantom{
\mathstrut
\cdot
\bigl(\frac32+k-1)
}
}{
\phantom{
\frac12
\cdot
\mathstrut
}
\frac32
\cdot
\bigl(\frac32+1)
\cdot
\bigl(\frac32+2)
\cdots
\bigl(\frac32+k-2)
\cdot
\bigl(\frac32+k-1)
}
\\
&=
2\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k}.
\end{align*}
Damit wird die Reihe
\[
\arcsin x
=
x
\sum_{k=0}^\infty
\frac{(\frac12)_k}{(1)_k}
\cdot
\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k}
\cdot
(x^2)^k
=
x
\sum_{k=0}^\infty
\frac{(\frac12)_k(\frac12)_k}{(\frac32)_k}
\cdot
\frac{(x^2)^k}{k!}
=
x\,
\mathstrut_2F_1\biggl(
\begin{matrix}
\frac12,\frac12\\ \frac32
\end{matrix}
;x^2
\biggr).
\qedhere
\]
\end{loesung}
|
