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% chapter.tex -- Spezielle Funktionen definiert durch Integrale
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\chapter{Orthogonalität
\label{buch:chapter:orthogonalitaet}}
\lhead{Orthogonalität}
\rhead{}
In der linearen Algebra lernt man, dass orthonormierte Basen für die
Lösung vektorgeometrischer Probleme, bei denen auch das Skalarprodukt
involviert ist, besonders günstig sind.
Die Zerlegung eines Vektors in einer Basis verlangt normalerweise nach
der Lösung eines linearen Gleichungssystems, für orthonormierte
Basisvektoren beschränkt sie sich auf die Berechnung von Skalarprodukten.
Oft dienen spezielle Funktionen als Basis der Lösungen einer linearen
partiellen Differentialgleichung (siehe Kapitel~\ref{buch:chapter:pde}).
Die Randbedingungen müssen dazu in der gewählten Basis von Funktionen
zerlegt werden.
Fourier ist es gelungen, die Idee des Skalarproduktes und der Orthogonalität
auf Funktionen zu verallgemeinern und so zum Beispiel das Wärmeleitungsproblem
zu lösen.
Der Orthonormalisierungsprozess von Gram-Schmidt wird damit auch auf
Funktionen anwendbar
(Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen}),
der Nutzen führt aber noch viel weiter.
Da $K[x]$ ein Vektorraum ist, führt er von der Basis der Monome
$\{1,x,x^2,\dots,x^n\}$
auf orthonormierte Polynome.
Diese haben jedoch eine ganze Reihe weiterer nützlicher Eigenschaften.
So wird in Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:drei-term-rekursion}
gezeigt, dass sich die Werte aller Polynome einer solchen Familie mit
einer Rekursionsformel effizient berechnen lassen, die höchstens drei
Terme umfasst.
In Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues} werden
die Rodrigues-Formeln vorgeführt, die Polynome durch Anwendung eines
Differentialoperators hervorbringen.
In Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl}
schliesslich wird gezeigt, dass diese Polynome auch Eigenfunktionen
eines selbstadjungierten Operators sind.
Da man in der linearen Algebra auch lernt, dass die Eigenvektoren einer
symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind,
ist die Orthogonalität plötzlich nicht mehr überraschend.
Die Bessel-Funktionen von
Abschnitt~\ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel}
sind auch Eigenfunktionen eines Differentialoperators.
Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:bessel} findet das zugehörige
Skalarprodukt, welches andeutet, dass auch für andere Funktionenfamilien
eine entsprechende Konstruktion möglich ist.
Das in Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}
präsentierte Sturm-Liouville-Problem führt sie durch.
Das Kapitel schliesst mit dem
Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur}
über die Gauss-Quadratur, welche die Eigenschaften orthogonaler Polynome
für einen besonders effizienten numerischen Integrationsalgorithmus
ausnutzt.
\input{chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex}
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\input{chapters/070-orthogonalitaet/rodrigues.tex}
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\section*{Übungsaufgabe}
\rhead{Übungsaufgaben}
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