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% teil2.tex -- Umsetzung in C Programmen
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% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
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\section{Umsetzung
\label{0f1:section:teil2}}
\rhead{Umsetzung}
Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt, die in vollständiger Form auf Github \cite{0f1:code} zu finden sind. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.
Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Library in Python die Resultate geplottet.
\subsection{Potenzreihe
\label{0f1:subsection:potenzreihe}}
Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe
\begin{align}
\label{0f1:umsetzung:0f1:eq}
\mathstrut_0F_1(;c;z)
&=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{z^k}{(c)_k \cdot k!}
&=
\frac{1}{c}
+\frac{z^1}{(c+1) \cdot 1}
+ \cdots
+ \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}.
\end{align}
\lstinputlisting[style=C,float,caption={Potenzreihe.},label={0f1:listing:potenzreihe}, firstline=59]{papers/0f1/listings/potenzreihe.c}
\subsection{Kettenbruch
\label{0f1:subsection:kettenbruch}}
Eine weitere Variante zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ ist die Umsetzung als Kettenbruch.
Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe ist die schnellere Konvergenz.
\subsubsection{Grundlage}
Ein endlicher Kettenbruch \cite{0f1:wiki-kettenbruch} ist ein Bruch der Form
\begin{equation*}
a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}},
\end{equation*}
in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.
\subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche}
Will man einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ finden, braucht man dazu eine Relation der analytischer Funktion $f_i(z)$.
Nimmt man die Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
\begin{equation*}
f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},
\end{equation*}
wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant.
Ergibt sich folgender Zusammenhang:
\begin{equation*}
\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}.
\end{equation*}
Geht man einen Schritt weiter und nimmt für $g_i = \frac{f_i}{f_{i-1}}$ an, kommt man zur Formel
\begin{equation*}
g_i = \cfrac{1}{1+k_izg_{i+1}}.
\end{equation*}
Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich folgendes:
\begin{equation*}
g_1 = \cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+k_izg_2} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+k_2zg_3}} = \cdots
\end{equation*}
Repetiert man dies unendlich, erhält man einen Kettenbruch in der Form:
\begin{equation}
\label{0f1:math:rekursion:eq}
\cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+\cfrac{k_2z}{1+\cfrac{k_3z}{\cdots}}}}.
\end{equation}
\subsubsection{Rekursion für $\mathstrut_0F_1$}
Angewendet auf die Potenzreihe
\begin{equation}
\label{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq}
\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots
\end{equation}
kann durch Substitution bewiesen werden, dass
\begin{equation*}
\mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z)
\end{equation*}
eine Relation dazu ist.
Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft:
\begin{align*}
f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+i;z)\\
k_i =& \frac{1}{(c+i)(c+i-1)}
\end{align*}
und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man:
\begin{equation*}
\cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.
\end{equation*}
\subsubsection{Algorithmus}
Da mit obigen Formeln nur ein Verhältnis zwischen $ \frac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)}$ berechnet wurde, braucht es weitere Relationen um $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ zu erhalten.
So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch
\begin{equation}
\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},
\end{equation}
der als Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) umgesetzt wurde.
\lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}
\subsection{Rekursionsformel
\label{0f1:subsection:rekursionsformel}}
Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche \cite{0f1:kettenbrueche} zu finden.
\subsubsection{Herleitung}
Ein Näherungsbruch in der Form
\begin{align*}
\cfrac{A_k}{B_k} = a_k + \cfrac{b_{k + 1}}{a_{k + 1} + \cfrac{p}{q}}
\end{align*}
lässt sich zu
\begin{align*}
\cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}
\end{align*}
umformen.
Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A_k\\
B_k
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
b_{k+1} \cdot q\\
a_{k+1} \cdot q + p
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0& b_{k+1}\\
1& a_{k+1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
p \\
q
\end{pmatrix}.
%\label{0f1:math:rekursionsformel:herleitung}
\end{equation*}
ausdrücken.
Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
\begin{equation*}
\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}
\end{equation*}
an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
A_k\\
B_k
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1& a_0\\
0& 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0& b_1\\
1& a_1
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
0& b_{k-1}\\
1& a_{k-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_k\\
a_k
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix
\begin{equation}
\label{0f1:math:matrix:ende:eq}
\begin{pmatrix}
A_{k}\\
B_{k}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A_{k-2}& A_{k-1}\\
B_{k-2}& B_{k-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_k\\
a_k
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Und schlussendlich kann der Näherungsbruch
\[
\frac{A_k}{B_k}
\]
berechnet werden.
\subsubsection{Algorithmus}
Die Berechnung von $A_k, B_k$ gemäss \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben:
\begin{itemize}
\item Startbedingungen:
\begin{align*}
A_{-1} &= 0 & A_0 &= a_0 \\
B_{-1} &= 1 & B_0 &= 1
\end{align*}
\item Schritt $k\to k+1$:
\[
\begin{aligned}
\label{0f1:math:loesung:eq}
k &\rightarrow k + 1:
&
A_{k+1} &= A_{k-1} \cdot b_k + A_k \cdot a_k \\
&&
B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k
\end{aligned}
\]
\item
Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$.
\end{itemize}
Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung als Rekursionsformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.
%Code
\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c}
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