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% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Lösung
\label{parzyl:section:teil1}}
\rhead{Lösung}
Zur Lösung der Helmholtz-Gleichung müssen erst die Lösungen der separierten
Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} bis \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
gefunden werden.
\subsection{Lösung der Schwingungsgleichung \eqref{parzyl:sep_dgl_3}}
\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
Die Lösung ist somit
\begin{equation}
i(z)
=
A\cos{
\left ( z
\sqrt{\lambda + \mu}
\right )}
+
B\sin{
\left ( z
\sqrt{\lambda + \mu}
\right )}.
\end{equation}
\subsection{Lösung der Weberschen Differentialgleichung}
Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
\begin{satz}
Die Funktionen
\begin{equation}
M_{k,m}(x) =
e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
{}_{1} F_{1}
(
{\textstyle \frac{1}{2}}
+ m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
\label{parzyl:eq:sol_diffEq_1}
\end{equation}
und damit auch die Linearkombinationen
\begin{equation}
W_{k,m}(x) = \frac{
\Gamma \left( -2m\right)
}{
\Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
}
M_{-k, m} \left(x\right)
+
\frac{
\Gamma \left( 2m\right)
}{
\Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
}
M_{k, -m} \left(x\right)
\label{parzyl:eq:sol_diffEq_2}
\end{equation}
sind Lösungen der Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2W}{d x^2} +
\biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
\label{parzyl:eq:whitDiffEq}
\end{equation}
\end{satz}
\begin{definition}
Die Differentialgleichung \ref{parzyl:eq:whitDiffEq} heisst Whittaker-Differentialgleichung. Die Funktionen \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_1} und \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_2} sind Teil der Familie der Whittaker-Funktionen.
\end{definition}
%\begin{definition}
% Die Funktionen
% \begin{equation*}
% M_{k,m}(x) =
% e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
% {}_{1} F_{1}
% (
% {\textstyle \frac{1}{2}}
% + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
% \end{equation*}
% und
% \begin{equation*}
% W_{k,m}(x) = \frac{
% \Gamma \left( -2m\right)
% }{
% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
% }
% M_{-k, m} \left(x\right)
% +
% \frac{
% \Gamma \left( 2m\right)
% }{
% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
% }
% M_{k, -m} \left(x\right)
% \end{equation*}
% gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
% der Whittaker Differentialgleichung
% \begin{equation}
% \frac{d^2W}{d x^2} +
% \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
% \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
% \end{equation}
%
%\end{definition}
Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
\begin{equation}
w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right)
\end{equation}
als Lösung hat.
Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus
\begin{equation}
\frac{d^2 w}{dx^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 - 2k\right) w = 0
\label{parzyl:eq:weberDiffEq}
\end{equation}
resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie
\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
$w$ als Lösung haben.
%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
%eine sondern zwei Lösungen.
%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
%\begin{align}
% w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
% w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
%\end{align}
%als Lösungen.
%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
%\begin{align}
% \label{parzyl:eq:solution_dgl}
% w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
% {}_{1} F_{1}
% (
% {\textstyle \frac{1}{4}}
% - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
% w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
% {}_{1} F_{1}
% ({\textstyle \frac{3}{4}}
% - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
%\end{align}
\subsection{Standardlösungen}
In der Literatur gibt es verschiedene Standardlösungen für
\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils
unterschiedlich geschrieben wird.
Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
\begin{equation}
D_n(x) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}x^2\right),
\end{equation}
welche die Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2D_n(x)}{dx^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2\right)D_n(x) = 0
\end{equation}
löst.
Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert
\begin{equation}
D_n(x) = \frac{
\Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
}{
\Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right)
}
M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right)
+
\frac{
\Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
}{
\Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
}
M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right).
\end{equation}
In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$
\begin{align}
U(a,x) &=
\cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
- \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
\label{parzyl:eq:Uaz}
\\
V(a,x) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
\sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
\right\}
\label{parzyl:eq:Vaz}
\end{align}
mit
\begin{align}
Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} -
{\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
{2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}}
e^{-x^2/4}
{}_{1} F_{1}
\left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}},
{\textstyle \frac{1}{2}} ;
{\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)\\
Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} -
{\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
{2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}}
x e^{-x^2/4}
{}_{1} F_{1}
\left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}},
{\textstyle \frac{3}{2}} ;
{\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)
\end{align}
der Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0
\end{equation}
beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch durch $D_n(z)$
ausgedrückt werden
\begin{align}
U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\
V(a,x) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
\left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(x) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
\end{align}
In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind
die Funktionen $D_n(x)$ und $V(a,x)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
\caption{$D_n(x)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
\label{parzyl:fig:dnz}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
\caption{$V(a,x)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
\label{parzyl:fig:Vnz}
\end{figure}
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