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% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Eigenschaften
\label{parzyl:section:Eigenschaften}}
\rhead{Eigenschaften}
\subsection{Potenzreihenentwicklung
\label{parzyl:potenz}}
%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind,
%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen
$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$
und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
\begin{align}
w_1(\alpha,x)
&=
e^{-x^2/4} \,
{}_{1} F_{1}
(
\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
=
e^{-\frac{x^2}{4}}
\sum^{\infty}_{n=0}
\frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
&=
e^{-\frac{x^2}{4}}
\left (
1
+
\left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
+
\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}
+
\dots
\right )
\end{align}
und
\begin{align}
w_2(\alpha,x)
&=
xe^{-x^2/4} \,
{}_{1} F_{1}
(
{\textstyle \frac{1}{2}}
+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
=
xe^{-\frac{x^2}{4}}
\sum^{\infty}_{n=0}
\frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
&=
e^{-\frac{x^2}{4}}
\left (
x
+
\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
+
\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}
+
\dots
\right )
\end{align}
sind.
Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen.
Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden
und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
\begin{equation}
\alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
\end{equation}
und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
\begin{equation}
\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
\end{equation}
Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt
$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
\subsection{Ableitung}
Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$
können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt
\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden.
Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
\begin{equation}
\frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
\end{equation}
und
%\begin{equation}
% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
%\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
{}_{1} F_{1} (
{\textstyle \frac{3}{2}}
+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
\right)
\end{equation}
Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
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