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% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
% Author: Réda Haddouche
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
\rhead{Einleitung}
Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischer Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischer Mathematiker Joseph Liouville.
Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt, welche für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen gilt, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie zum Beispiel mit dem Separationsansatz.
\begin{definition}
\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung
\[
\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
\]
und schreibt die Gleichung um in:
\begin{equation}
\label{eq:sturm-liouville-equation}
\frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0
\end{equation}
, diese Gleichung wird dann Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
\end{definition}
Alle homogenen, linearen, gewöhnlichen, Differentialgleichungen 2.Ordnung können in die Form der Gleichung~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} gebracht werden.
Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\label{eq:randbedingungen}
k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
\end{aligned}
\end{equation}
kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem.
Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also
\[
y(a) = y(b) = 0
\]
, so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung, und von einer Neumann-Randbedingung spricht man, wenn
\[
y'(a) = y'(b) = 0
\]
ist. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden.
Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{eq:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen.
Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst;
der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet.
Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren.
Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren.
Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar
\[
\lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y.
\]
Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y -
dies gilt für das Intervall (a,b).
Somit ergibt die Gleichung
\[
\int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0.
\]
Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet.
Es gibt zwei verschiedene Sturm-Liouville-Probleme: das reguläre Sturm-Liouville-Problem und das singuläre Sturm-Liouville-Problem.
Die Funktionen für das reguläre und das singuläre Sturm-Liouville-Problem sind nicht dieselben.
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%Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
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\subsection{Das reguläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden.
\begin{definition}
\label{def:reguläres_sturm-liouville-problem}
\index{regläres Sturm-Liouville-Problem}
Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
\begin{itemize}
\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein.
\item sowie müssen in einem Endlichen Intervall $[ \ a,b] \ $ integrierbar sein.
\item $p(x)^{-1}$ und $w(x)$ sind $>0$.
\item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
\end{itemize}
\end{definition}
Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis der Eigenfunktionen diese dennoch beschreiben zu können.
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%Kapitel mit "Das singuläre Sturm-Liouville-Problem"
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\subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}}
Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulären Problems nicht erfüllt sind.
\begin{definition}
\label{def:singulär_sturm-liouville-problem}
\index{singuläres Sturm-Liouville-Problem}
Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem,
\begin{itemize}
\item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder
\item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben.
\end{itemize}
\end{definition}
Allerdings kann auch nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
\begin{beispiel}
Das Randwertproblem
\[
\begin{aligned}
x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\
y(a) &= 0
\end{aligned}
\]
ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
Weil wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form bringt, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
\begin{itemize}
\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
\item Die Randbedingung bei $x = 0$ fehlt.
\end{itemize}
\end{beispiel}
Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung fundierte Ergebnisse hat.
Es ist schwierig, bestehende Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z.B. in der Lösungsfunktion liegen.
Das Spektrum besteht im singulärem Problem nicht mehr nur aus Eigenwerten, sondern kann auch einen stetigen Anteil enthalten.
Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin eine verallgemeinerte Eigenfunktionen.
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