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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index cc1c5b9..0e106c9 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -592,7 +592,14 @@ Sie wird auch $C=A^{-1}$ geschrieben. Die Definition der inversen Matrix stellt sicher, dass $AA^{-1}=E$ gilt, daraus folgt aber noch nicht, dass auch $A^{-1}A=E$ ist. -Die Eigenschaften der Matrizenmultiplikation stellen jedoch sicher, +Diese Eigenschaft kann man jedoch wie folgt erhalten. +Sei $C$ die inverse Matrix von $A$, also $AC=E$. +Sei weiter $D$ die inverse Matrix von $C$, also $CD=E$. +Dann ist zunächst $A=AE=A(CD)=(AC)D=ED=D$ und weiter +$CA=CD=E$. +Mit der Bezeichnung $C=A^{-1}$ erhalten wir also auch $A^{-1}A=E$. + +Die Eigenschaften der Matrizenmultiplikation stellen sicher, dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Struktur bilden, die man Gruppe nennt, die in Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} genauer untersucht wird. |