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diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex
index 4d4d351..0deaf3c 100644
--- a/buch/papers/kra/anwendung.tex
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -1,45 +1,40 @@
-\section{Anwendungen \label{kra:section:anwendung}}
-\rhead{Anwendungen}
+\section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}}
+\rhead{Anwendung}
 \newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
 
 Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter.
-Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können.
+Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
 
 \subsection{Feder-Masse-System}
-Die Einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
-Es besteht aus einer Masse $m$ welche reibungsfrei gelagert ist und einer Feder mit der Federkonstante $k$.
+Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
+Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist.
 Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
 Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass
 
 \begin{equation*}
     k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}
 \end{equation*}
-Die funktion die diese Differentialgleichung löst ist die harmonische Schwingung
+Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung
 \begin{equation}
     x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
 \end{equation}
-
-
 \begin{figure}
     \input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex}
     \caption{Einfaches Feder-Masse-System.}
     \label{kra:fig:simple_mass_spring}
 \end{figure}
-
 \begin{figure}
     \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex}
     \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.}
     \label{kra:fig:multi_mass_spring}
 \end{figure}
 
-
 \subsection{Hamilton-Funktion}
 Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
-Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten
+Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten
 $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
 Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
 Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
-
 \begin{equation}
     \label{kra:harmonischer_oszillator}
     \begin{split}
@@ -47,7 +42,6 @@ Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_s
         &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
     \end{split}
 \end{equation}
-
 Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
 \begin{equation}
     \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung}
@@ -55,17 +49,13 @@ Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
     \qquad
     \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}
 \end{equation}
-
 daraus folgt
-
 \[
     \dot{q} = \frac{p}{m}
     \qquad
     \dot{p} = -kq
 \]
-
 in Matrixschreibweise erhalten wir also
-
 \[
     \begin{pmatrix}
         \dot{q} \\
@@ -81,11 +71,9 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also
         p
     \end{pmatrix}
 \]
-
 Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen.
 Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
 Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
-
 \begin{align*}
     \begin{split}
         T   &= T_1 + T_2 \\
@@ -97,16 +85,13 @@ Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der
         &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
     \end{split}
 \end{align*}
-
 Die Hamilton-Funktion ist also
-
 \begin{align*}
     \begin{split}
         \mathcal{H}     &= T + V \\
         &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
     \end{split}
 \end{align*}
-
 Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
 \begin{align*}
     \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}  & = \dot{q_k}
@@ -127,9 +112,7 @@ Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
     \end{alignedat}
     \right.
 \end{align*}
-
 In Matrixschreibweise erhalten wir
-
 \begin{equation}
     \label{kra:hamilton:multispringmass}
     \begin{pmatrix}
@@ -171,7 +154,7 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
 \end{equation}
 
 \subsection{Phasenraum}
-Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen System durch einen Punkt.
+Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt.
 Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
 
 \subsubsection{Harmonischer Oszillator}
@@ -181,7 +164,6 @@ Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillat
 \end{equation*}
 die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$.
 Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$.
-
 \begin{figure}
     \input{papers/kra/images/phase_space.tex}
     \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.}
@@ -191,7 +173,6 @@ Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien
 \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
 Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
 wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
-
 Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
 \begin{equation}
     \dt
@@ -211,9 +192,7 @@ Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$
         P
     \end{pmatrix}
 \end{equation}
-
 Mit einsetzten folgt
-
 \begin{align*}
     \dot{Q} = AQ + BP \\
     \dot{P} = CQ + DP
@@ -227,9 +206,7 @@ Mit einsetzten folgt
         &= C  + DU - UA - UBU
     \end{split}
 \end{equation}
+was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt.
 
-was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} führt.
-
-
-\subsection{Fazit}
-% @TODO
+% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots?
+% @TODO Fazit ?
diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex
index 1a347a8..cde2e66 100644
--- a/buch/papers/kra/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex
@@ -1,14 +1,14 @@
 \section{Einleitung} \label{kra:section:einleitung}
 \rhead{Einleitung}
-Die riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichunge erster Ordnung der form
+Die riccatische Differentialgleichung ist eine nicht lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form
 \begin{equation}
-    \label{kra:riccati}
-    y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
+    \label{kra:equation:riccati}
+    y' = f(x)y + g(x)y^2 + h(x)
 \end{equation}
-Sie ist bennant nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Verringerung der Ordnung von Gleichungen entwickelte.
-Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichugen der Form
+Sie ist benannt nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste.
+Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichungen der Form
 \begin{equation}
-    \label{kra:matrixriccati}
-    \dot{U}(t) = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) % +Q ?
+    \label{kra:equation:matrixriccati}
+    \dot{X}(t) = C + DX(t) - X(t)A -X(t)BX(t)
 \end{equation}
-bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse ähnlichkeit aufweisen.
\ No newline at end of file
+bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:ethz} \cite{kra:riccati}.
diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex
index ece0f15..4e0da1c 100644
--- a/buch/papers/kra/loesung.tex
+++ b/buch/papers/kra/loesung.tex
@@ -1,11 +1,53 @@
 \section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung}
 \rhead{Lösungsmethoden}
-% @TODO Lösung normal riccati
-Lösung der Riccatischen Differentialgleichung \ref{kra:riccati}.
 
+\subsection{Riccatische Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
+Eine allgemeine analytische Lösung der Riccati Differentialgleichung ist nicht möglich.
+Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und so eine analytische Lösung gefunden werden kann.
+Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen.
 
+\subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten}
+Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}.
+\begin{equation}
+    y' = fy^2 + gy + h 
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h
+\end{equation}
+\begin{equation} \label{kra:equation:case1_int}
+    \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung}
+Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
+Wir wählen als Substitution
+\begin{equation} \label{kra:equation:substitution}
+    z = \frac{1}{y - y_p} 
+\end{equation}
+durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt
+\begin{equation}
+    y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution}
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z'
+\end{equation}
+mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt 
+\begin{equation}
+    y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x)
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
+\end{equation}
+was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt.
+\begin{equation}
+    z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
+\end{equation}
+Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden.
+Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}.
+
+\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
 % Lösung matrix riccati
-Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
 \begin{equation}
     \label{kra:matrixriccati-solution}
     \begin{pmatrix}
@@ -28,7 +70,6 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir na
         U_0(t)
     \end{pmatrix}
 \end{equation}
-
 \begin{equation}
     U(t) =
     \begin{pmatrix}
@@ -39,9 +80,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir na
     \end{pmatrix}
     ^{-1}
 \end{equation}
-
-wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
-
+wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist.
 \begin{equation}
     \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
 \end{equation}
diff --git a/buch/papers/kra/references.bib b/buch/papers/kra/references.bib
index 7f972ec..a9a8ede 100644
--- a/buch/papers/kra/references.bib
+++ b/buch/papers/kra/references.bib
@@ -4,6 +4,19 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
+@misc{kra:riccati,
+title = {Riccatische Differentialgleichung},
+url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung},
+date   = {2022-05-26}
+}
+
+@misc{kra:ethz,
+author = {Ch. Roduner},
+title = {Die-Riccati-Gleichung},
+url = {https://www.imrtweb.ethz.ch/users/geering/Riccati.pdf},
+date   = {2022-05-26}
+}
+
 @online{kra:hamilton,
   title = {Hamilton-Funktion},
   url   = {https://de.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Funktion},
@@ -28,3 +41,5 @@
   url    = {https://pagespro.isae-supaero.fr/IMG/pdf/introKalman_e_151211.pdf},
   date   = {2022-05-26}
 }
+
+