erster Entwurf Kapitel Funktionentheorie

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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..891f488
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,12 @@
+#
+# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 8
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+	chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex			\
+	chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex
new file mode 100644
index 0000000..89d906c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex
@@ -0,0 +1,145 @@
+%
+% analytisch.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Analytische Funktionen
+\label{buch:funktionentheorie:section:analytisch}}
+\rhead{Analytische Funktionen}
+Holomorphe Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie auch immer
+eine konvergente Reihenentwicklung haben, sie sind also analytisch.
+
+\subsection{Definition}
+\index{Taylor-Reihe}%
+\index{Exponentialfunktion}%
+Die Taylor-Reihenentwicklung der Exponentialfunktion ermöglicht deren
+effiziente Berechnung.
+Es ist aber nicht selbstverständlich, dass die Taylor-Reihe überhaupt
+gegen die Funktion konvergiert, aus deren Ableitungen sie gebildet
+worden ist, wie das folgende Beispiel illustriert.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.pdf}
+\caption{Beispiel einer beliebig oft stetig differenzierbaren Funktion,
+deren Ableitungen in $x=0$ alle verschwinden.
+Die zugehörige Taylor-Reihe ist die Nullfunktion, sie hat nichts mit der
+Funktion zu tun.
+\label{buch:funktionentheorie:fig:nonanalytic}}
+\end{figure}
+
+\begin{beispiel}
+Wir betrachten die Funktion
+\[
+f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}
+:
+x \mapsto
+\begin{cases}
+e^{-1/x^2}&\qquad x\ne 0\\
+0&\qquad x=0.
+\end{cases}
+\]
+Der Graph $y=f(x)$ ist in Abbildung~\ref{buch:funktionentheorie:fig:nonanalytic}
+dargestellt.
+
+Die ersten zwei Ableitungen der Funktion $f$ sind
+\begin{align*}
+f'(x) &= \frac{2e^{-1/x^2}}{x^3} = \frac{2}{x^3}\cdot f(x)
+\\
+f''(x) &= \frac{(4-6x^2) e^{-1/x^2}}{x^6} = \frac{4-6x^2}{x^6}\cdot f(x)
+\\
+&\dots
+\end{align*}
+Man kann vermuten, dass alle
+Ableitungen Funktionen der Form
+\begin{equation}
+F(x) = \frac{p(x)}{x^n} \cdot f(x),
+\label{buch:funktionentheorie:eqn:nonanalytic:form}
+\end{equation}
+sind,
+wobei $p(x)$ ein Polynom ist.
+Leitet man eine solche Funktion nach $x$ ab, erhält man
+\begin{align*}
+\frac{d}{dx} F(x)
+&=
+\frac{\frac{d}{dx}(p(x)f(x)) x^n - nx^{n-1}p(x)f(x)}{x^{2n}}
+\\
+&=
+\frac{p'(x)f(x) + p(x)f'(x) - nx^{n-1}p(x)f(x)}{x^{2n}} 
+\\
+&=
+\frac{p'(x) + p(x)(2/x^3) - nx^{n-1}p(x)}{x^{2n}} \cdot f(x)
+\\
+&=
+\frac{x^3p'(x)+2p(x)-nx^{n-1}p(x)}{x^{2n+3}}\cdot f(x).
+\end{align*}
+Dies ist wieder eine Funktion der
+Form~\eqref{buch:funktionentheorie:eqn:nonanalytic:form}.
+
+Der Faktor $f(x)=e^{-1/x^2}$ von $F(x)$ geht für $x\to 0$ exponentiell
+schnell gegen $0$, schneller als der Nenner $x^n$ gegen $0$ gehen
+kann. 
+Der Grenzwert $x\to 0$ einer Funktion der 
+Form~\eqref{buch:funktionentheorie:eqn:nonanalytic:form}
+ist daher immer
+\[
+\lim_{x\to 0}  F(x) =0.
+\]
+Damit ist gezeigt, dass alle Ableitungen $f^{(n)}(0)=0$ sind.
+Die Taylorreihe von $f(x)$ ist daher die Nullfunktion.
+\end{beispiel}
+
+Die Klasse der Funktionen, die sich durch ihre Taylor-Reihe darstellen
+lassen, zeichnet sich also durch besondere Eigenschaften aus, die in
+der folgenden Definition zusammengefasst werden.
+
+\index{analytisch in einem Punkt}%
+\index{analytisch}%
+\begin{definition}
+Eine auf einem offenen Intervall $I\subset \mathbb {R}$ definierte Funktion
+$f\colon U\to\mathbb{R}$ heisst {\em analytisch im Punkt  $x_0\in I$}, wenn
+es eine in einer Umgebung von $x_0$ konvergente Potenzreihe
+\[
+\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k = f(x)
+\]
+gibt.
+Sie heisst {\em analytisch}, wenn sie analytisch ist in jedem Punkt von $I$.
+\end{definition}
+
+Es ist wohlbekannt aus der elementaren Theorie der Potenzreihen, dass
+eine analytische Funktion beliebig oft differenzierbar ist und dass
+die Potenzreihe im Punkt $x_0$ die Taylor-Reihe sein muss.
+Ausserdem sidn Summen, Differenzen und Produkte von analytischen Funktionen
+wieder analytisch.
+
+Für eine komplexe Funktion lässt sich der Begriff der
+analytischen Funktion genau gleich definieren.
+
+\begin{definition}
+Eine in einer offenen Teilmenge $U\subset \mathbb{C}$ definierte Funktion
+$f\colon U\to\mathbb{C}$ heisst {\em analytisch im Punkt $z_0\in U$}, wenn
+es eine in einer Umgebung von $z_0$ konvergente Potenzreihe
+\[
+\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0) = f(z)
+\]
+gibt.
+Sie heisst {\em analytisch}, wenn sie analytisch ist in jedem Punkt von $U$.
+\end{definition}
+
+Die Verwendung einer offenen Teilmenge $U\subset\mathbb{C}$ ist wesentlich,
+denn die Funktion $f\colon z\mapsto \overline{z}$ kann in jedem Punkt
+$x_0\in\mathbb{R}$
+der reellen Achse $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ durch die Potenzreihe 
+$f(x) = x_0 + (x-x_0)$ dargestellt werden.
+Es gibt aber keine Potenzreihe, die $f(z)$ in einer offenen Teilmenge
+von $\mathbb{C}$ gegen $f(z)=\overline{z}$ konvergiert.
+
+%
+% Der Konvergenzradius einer Potenzreihe
+%
+\subsection{Konvergenzradius
+\label{buch:funktionentheorie:subsection:konvergenzradius}}
+
+% XXX auf dem Rand des Konvergenzkreises gibt es immer eine Singularität
+
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex
new file mode 100644
index 0000000..21d8dcf
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex
@@ -0,0 +1,732 @@
+%
+% cauchy.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Cauchy-Integral
+\label{buch:funktionentheorie:section:cauchy}}
+\rhead{Cauchy-Integral}
+
+%
+% Wegintegrale und die Cauchy-Formel
+%
+\subsection{Wegintegrale\label{subsection:wegintegrale}}
+Das Finden einer Stammfunktion, die Integration, ist die Grundtechnik,
+\index{Stammfunktion}%
+mit der man den Übergang von lokaler Information in Form von Ableitungen,
+zu globaler Information über reelle Funktionen vollzieht.
+Sie liefert aus der Steigung zwischen zwei Punkten $x_0$ und $x$ den
+Funktionswert mittels
+\[
+f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^xf'(\xi)\,d\xi.
+\]
+Bei einer reellen Funktion gibt es nur eine Richtung, entlang der man
+integrieren könnte.
+
+Auch in der komplexen Ebene erwarten wir eine Formel
+\[
+f(z) = f(z_0) + \int_{z_0}^z f'(\zeta)\,d\zeta.
+\]
+In der komplexen Ebene gibt es aber beliebig viele Wege, mit denen die
+Punkte $z_0$ und $z$ verbunden werden können.
+Der Wert von $f(z)$ muss also durch Integration entlang eines speziell
+gewählten Weges $\gamma$
+\[
+f(z) = f(z_0) + \int_{\gamma} f'(\zeta)\,d\zeta
+\]
+bestimmt werden.
+Es muss also zunächst geklärt werden, wie ein solches Wegintegral
+überhaupt zu verstehen und zu berechnen ist.
+Dann gilt es zu untersuchen, inwieweit diese Konstruktion unabhängig
+von der Wahl des Weges ist.
+Für komplex differenzierbare Funktionen wird sich eine sehr erfolgreiche
+Theorie ergeben.
+
+%
+% Wegintegrale
+%
+\subsubsection{Definition des Wegintegrals}
+Ein Weg in der komplexen Ebene ist eine Abbildung
+\index{Abbildung}%
+\[
+\gamma\colon [a,b]\to\mathbb C: t\mapsto \gamma(t).
+\]
+Wir verlangen für unsere Zwecke zusätzlich, dass $\gamma$ differenzierbar
+ist.
+Dann können wir für jede beliebige Funktion das Wegintegral definieren.
+
+\begin{definition}
+Sei $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C$ ein Weg in $\mathbb C$ und $f(z)$
+eine stetige komplexe Funktion, dann heisst
+\[
+\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_a^bf(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt
+\]
+das {\em Wegintegral} von $f(z)$ entlang der Kurve $\gamma$.
+\index{Wegintegral}
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Man berechne das Wegintegral der Funktion $f(z)=z^n$ entlang des
+Weges
+$\gamma(t)=1+t+it^2$
+für $t\in[0,1]$.
+
+Die Definition besagt
+\begin{align*}
+\int_\gamma f(z)\,dz
+&=
+\int_0^1 f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt
+=
+\int_0^1 \gamma(t)^n \gamma'(t)\,dt
+=
+\int_0^1 \frac{d}{dt}\frac{\gamma(t)^{n+1}}{n+1}\,dt
+\\
+&=
+\biggl[\frac{\gamma(t)^{n+1}}{n+1}\biggr]_0^1
+=
+\frac{(2+i)^{n+1}}{n+1}-\frac{1^{n+1}}{n+1}
+=
+\frac{(2+i)^{n+1}-1}{n+1}.
+\end{align*}
+Man stellt in diesem Beispiel auch fest, dass das Integral offenbar
+unabhängig ist von der Wahl des Weges, es kommt einzig auf die
+beiden Endpunkte an:
+\[
+\int_\gamma z^n \,dz = \frac1{n+1}\bigl(\gamma(1)^{n+1}-\gamma(0)^{n+1}\bigr).
+\]
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Wir berechnen als Beispiel das Wegintegral der Funktion $f(z)=1/z$ entlang
+eines Halbkreises von $1$ zu $-1$.
+Es gibt zwei verschiedene solche Halbkreise:
+\begin{equation*}
+\begin{aligned}
+\gamma_+(t)&=e^{it},&t&\in[0,\pi]
+\\
+\gamma_-(t)&=e^{-it},&t&\in[0,\pi]
+\end{aligned}
+\end{equation*}
+Wir finden für die Wegintegrale
+\begin{align*}
+\int_{\gamma_+}\frac1z\,dz
+&=
+\int_0^\pi \frac1{e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int_0^\pi\,dt=i\pi,
+\\
+\int_{\gamma_-}\frac1z\,dz
+&=
+-\int_0^\pi \frac1{e^{-it}}ie^{-it}\,dt=-i\int_0^\pi\,dt=-i\pi.
+\end{align*}
+Das Wegintegral zwischen $1$ und $-1$ hängt also mindestens für diese
+spezielle Funktion $f(z)=1/z$ von der Wahl des Weges ab.
+\end{beispiel}
+
+Wie Wahl der Parametrisierung der Kurve hat keinen Einfluss auf den
+Wert des Wegintegrals.
+
+\begin{satz}
+Seien $\gamma_1(t), t\in[a,b],$ und $\gamma_2(s),s\in[c,d]$
+verschiedene Parametrisierungen
+\index{Parametrisierung}%
+der gleichen Kurve, es gebe also eine Funktion $t(s)$ derart, dass
+$\gamma_1(t(s))=\gamma_2(s)$.
+Dann ist
+\[
+\int_{\gamma_1}f(z)\,dz
+=
+\int_{\gamma_2}f(z)\,dz.
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir verwenden die Definition des Wegintegrals
+\begin{align*}
+\int_{\gamma_1} f(z)\,dz
+&=
+\int_a^b f(\gamma_1(t))\,\gamma_1'(t)\,dt
+=
+\int_c^d f(\gamma_1(t(s))\,\underbrace{\gamma_1'(t(s)) t'(s)}_{\displaystyle
+=\frac{d}{ds}\gamma_1(t(s))}\,ds
+\\
+&=
+\int_c^d f(\gamma_2(s)\,\gamma_2'(s)\,ds
+=
+\int_{\gamma_2}f(z)\,dz.
+\end{align*}
+Beim zweiten Gleichheitszeichen haben wir die Formel für die
+Variablentransformation $t=t(s)$ in einem Integral verwendet.
+\index{Variablentransformation}%
+\end{proof}
+
+Wir erwarten, dass das Wegintegral ähnlich wie das Integral reeller
+Funktionen eine Art ``Umkehroperation'' zur Ableitung ist.
+Wir untersuchen daher den Fall, dass $f(z)$ eine komplexe Stammfunktion $F(z)$
+hat, also $f(z)=F'(z)$.
+Wir berechnen das Wegintegral entlang des Weges $\gamma$:
+\begin{align*}
+\int_{\gamma}f(z)\,dz
+&=
+\int_a^bf(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt
+=
+\int_a^bF'(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt
+=
+\int_a^b\frac{d}{dt}F(\gamma(t))\,dt
+=
+F(\gamma(a))-F(\gamma(b))
+\end{align*}
+Dies ist genau die Formel, die man als den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
+kennt.
+Trotzdem ist die Situation hier etwas anders.
+In der reellen Infinitesimalrechnung war die Existenz einer Stammfunktion
+durch das Integral gesichert, man konnte mit
+\[
+F(x)=\int_a^xf(\xi)\,d\xi
+\]
+immer eine Stammfunktion angeben.
+Im komplexen Fall können wir natürlich auch versuchen, eine Stammfunktion
+mit Hilfe von
+\[
+F(z)=\int_{\gamma_z} f(\zeta)\,d\zeta
+\]
+zu definieren.
+Dabei muss allerdings $\gamma_z$ ein Weg sein, der im Punkt $z$ endet,
+und wir wissen noch nicht einmal, ob die Wahl des Weges eine Rolle
+spielt.
+Bevor wir also sicher sein können, dass eine Stammfunktion existiert,
+müssen wir zeigen, dass das Wegintegral einer komplex differenzierbaren
+Funktion zwischen zwei Punkten nicht von der Wahl des Weges abhängt,
+der die beiden Punkte verbindet.
+Dazu ist notwendig, geschlossene Wege genauer zu betrachten.
+
+%
+% Wegintegrale führen auf analytische Funktionen
+%
+\subsubsection{Wegintegrale führen auf analytische Funktionen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.pdf}
+\caption{Pfad und Konvergenzradius für den Nachweis, dass Wegintegrale
+auf analytische Funktionen führen (Satz~\ref{komplex:integralanalytisch}).
+\label{komplex:integralanalytischpfad}}
+\end{figure}
+Mit Wegintegralen kann man aus stetigen Funktionen neue Funktionen
+konstruieren.
+Die folgende Konstruktion liefert überraschenderweise immer
+analytische Funktionen.
+\begin{satz}
+\label{komplex:integralanalytisch}
+Sei $\gamma\colon [a,b]\to\mathbb C$ ein Weg in $\mathbb C$, der nicht
+durch den Nullpunkt verläuft, und $g$ eine stetige Funktion
+auf $\gamma([a,b])$ (Abbildung~\ref{komplex:integralanalytischpfad}).
+Dann ist die Funktion
+\[
+f(z) = \frac1{2\pi i}\int_\gamma \frac{g(x)}{x-z}\,dx
+\]
+in einer Umgebung des Nullpunktes analytisch:
+\[
+f(z) = \sum_{k=0}^\infty c_k z^k,\qquad
+\text{mit\quad}
+c_k=\frac1{2\pi i}\int_\gamma \frac{g(x)}{x^{k+1}}\,dx.
+\]
+Der Konvergenzradius $\varrho$ dieser Reihe ist der minimale Abstand der
+Kurve $\gamma$ vom Nullpunkt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst schreiben wir
+\begin{equation}
+\frac{1}{x-z}
+=
+\frac1x\cdot \frac{1}{1-\displaystyle\frac{z}{x}}
+=
+\frac1x\cdot \sum_{k=0}^\infty \biggl(\frac{z}{x}\biggr)^k
+=
+\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{x^{k+1}}.
+\label{komplex:georeihe}
+\end{equation}
+Damit können wir jetzt die Funktion $f(z)$ berechnen:
+\begin{align*}
+f(z)
+&=
+\frac1{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{g(x)}{x-z}\,dx
+=
+\frac1{2\pi i} \int_{\gamma} \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{x^{k+1}}g(x)\,dx
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\underbrace{\biggl(\frac1{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{g(x)}{x^{k+1}}\,dx\biggr)}_{\displaystyle =c_k}
+z^k
+=
+\sum_{k=0}^\infty c_kz^k.
+\end{align*}
+Wir müssen uns noch die Konvergenz dieser Reihen überlegen.
+Wenn $z<\varrho$ ist, dann ist
+\[
+\biggl|\frac{z}{x}\biggr| 
+=
+\frac{|z|}{|x|}
+<1,
+\]
+so dass die geometrische Reihe \eqref{komplex:georeihe} konvergent ist,
+daraus lesen wir ab, dass der Konvergenzradius mindestens $\varrho$
+ist.
+Grösser kann er allerdings auch nicht sein, da für $|z|\ge \varrho$
+das Integral nicht mehr definiert sein muss.
+Nimmt man nämlich einen Punkt von $g([a,b])$ für $z$ wird der Integrand
+unendlich gross.
+\end{proof}
+
+Der Satz~\ref{komplex:integralanalytisch} ist nur für Potenzreihen
+im Punkt $0$ formuliert, was im Wesentlichen durch die
+Umformung~\eqref{komplex:georeihe} bedingt war.
+Man kann dies aber auch als Potenzreihe
+\[
+\frac1{x-z}
+=
+\frac1{x-z_0-(z-z_0)}
+=
+\frac1{x-z_0}\cdot\frac1{1-\displaystyle\frac{z-z_0}{x-z_0}}
+=
+\frac1{x-z_0}\sum_{k=0}^\infty\biggl(\frac{z-z_0}{x-z_0}\biggr)^k
+=
+\sum_{k=0}^\infty\frac1{(x-z_0)^{k+1}}(z-z_0)^k
+\]
+im Punkt $z_0$ ausdrücken.
+Man bekommt dann die Potenzreihe
+\[
+f(z) = \sum_{k=1}^\infty c_k(z-z_0)^k,\qquad
+\text{mit}\quad
+c_k=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma\frac{g(x)}{(x-z_0)^{k+1}}\,dx
+\]
+für das Wegintegral.
+
+\subsubsection{Laurent-Reihen}
+\label{sssec:LaurentReihen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.pdf}
+\caption{Pfad zur Herleitung der Laurent-Reihe einer Funktion $f(z)$
+mit einer Singularität $z_0$.
+\label{komplex:laurentpfad}}
+\end{figure}%
+\index{Laurent-Reihe}%
+In Satz~\ref{komplex:integralanalytisch} konnten wir eine Potenzreihe für
+solche $z$ konstruieren, deren Betrag kleiner ist als der kleinste Abstand
+der Kurve $\gamma$ vom Ursprung.
+Dies war notwendig, weil in~\eqref{komplex:georeihe} die geometrische Reihe
+nur konvergiert, wenn der Quotient $<1$ ist.
+Wenn die Funktion $f(z)$ jedoch eine Singularität im Punkt $z_0$ hat, dann
+kann es nicht möglich sein, die Funktion mit einer Potenzreihe zu
+beschreiben.
+
+Wir verwenden daher den speziellen Pfad in Abbildung~\ref{komplex:laurentpfad}.
+Er führt in einem grossen Kreis $\gamma_1$ um den Punkt $z_0$ herum,
+dann folgt ein zur $x$-Achse paralleler Abschnitt, der bis zum kleinen
+Kreis $\gamma_2$ führt.
+Nach Durchlaufen des kleinen Kreises $\gamma_2$ im Uhrzeigersinn folgt wieder
+ein zur $x$-Achse paralleles Stück zurück zum grossen Kreis.
+Da die geraden Stücke zweimal in entgegegengesetzer Richtung durchlaufen
+werden, heben sie sich weg.
+Ein Wegintegral entlang $\gamma$ zerfällt daher in eine Differenz
+\[
+\oint_\gamma\dots\,dz
+=
+\oint_{\gamma_1}\dots\,dz
+-
+\oint_{\gamma_2}\dots\,dz
+\]
+von Wegintegralen entlang $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
+
+Der äussere Pfad $\gamma_1$ gibt wie in Satz~\ref{komplex:integralanalytisch}
+Anlass zu einer Potenzreihe in $(z-z_0)$.
+Der innere Pfad $\gamma_2$ kann aber nicht so behandelt werden, da $z$ immer
+weiter von $z_0$ entfernt als die Punkte auf $\gamma_2$.
+Allerdings ist $|x/z| < 1$ für Punkte auf $\gamma_2$, wir müssen daher
+die geometrische Reihe auf $x/z$ anwenden:
+\begin{align*}
+\frac{1}{x-z}
+&=
+\frac{1}{x-z_0-(z-z_0)}
+=
+\frac{1}{z-z_0}
+\cdot
+\frac{1}{\displaystyle\frac{x-z_0}{z-z_0}-1}
+=
+-\sum_{k=0}^\infty \frac{(x-z_0)^k}{(z-z_0)^{k+1}}.
+\end{align*}
+Das Integral entlang der Kurve $\gamma_2$ kann also als Reihe in $1/(z-z_0)$
+entwickelt werden:
+\begin{align*}
+f_2(z)
+&=
+\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2} \frac{g(x)}{x-z}\,dx
+=
+\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2}\sum_{k=0}^\infty
+\frac{(x-z_0)^k}{(z-z_0)^{k+1}}\,dx
+\\
+&=
+\sum_{k=0}^\infty
+\biggl(
+\underbrace{\frac1{2\pi i}\int_{\gamma_2} (x-z_0)^kg(x)\,dx
+}_{\displaystyle =d_{k+1}}
+\biggr)
+\frac1{(z-z_0)^{k+1}}
+=\sum_{k=1}^\infty \frac{d_k}{(z-z_0)^k}.
+\end{align*}
+Zusammen mit der vom Integral entlang $\gamma_1$ herrührenden Reihe finden
+wir den Satz
+\begin{satz}
+\label{komplex:laurentreihe}
+Ist $g(z)$ eine entlang der Kurve $\gamma$ wie in
+Abbildung~\ref{komplex:laurentpfad} definierte stetige Funktion, dann gilt
+\[
+f(z)=\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(x)}{x-z}\,dx
+=
+\sum_{k=0}^{\infty} c_k(z-z_0)^k-\sum_{k=1}^\infty \frac{d_k}{(z-z_0)^k},
+\]
+wobei die Koeffizienten $c_k$ und $d_k$ gegeben sind durch
+\[
+\begin{aligned}
+c_k&=\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma_1} \frac{g(x)}{x-z_0}\,dx
+&&
+\text{und}
+&
+d_k&=\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma_2} g(x)x^{k-1}\,dx.
+\end{aligned}
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{definition}
+Eine Reihe der Form
+\[
+\sum_{k=-\infty}^\infty a_k(z-z_0)^k
+\]
+heisst {\em Laurent-Reihe }
+im Punkt $z_0$.
+\end{definition}
+
+
+%
+% Geschlossene Wege
+%
+\subsubsection{Geschlossene Wege}
+\begin{definition}
+Ein Weg $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C$ heisst {\em geschlossen}, wenn
+$\gamma(a)=\gamma(b)$.
+\index{geschlossener Weg}
+Das Integral entlang eines geschlossenen Weges hängt nicht von der
+Parametrisierung ab und wird zur Verdeutlichung mit
+\[
+\int_{\gamma}f(z)\,dz
+=
+\oint_{\gamma}f(z)\,dz
+\]
+bezeichnet.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Wir berechnen das Integral von $f(z)=z^n$ entlang des Einheitskreises,
+den wir mit $\gamma(t)=e^{it},t\in[0,2\pi]$ parametrisieren.
+Die Definition liefert:
+\begin{align*}
+\oint_{\gamma}f(z)\,dz
+&=
+\int_0^{2\pi}e^{int}ie^{it}\,dt
+=
+i\int_0^{2\pi}e^{i(n+1)t}\,dt
+\end{align*}
+Für $n=-1$ ist dies das Integral einer konstanten Funktion, also
+\[
+\oint_{\gamma}\frac1z\,dz=2\pi i.
+\]
+Für $n\ne -1$ kann man eine Stammfunktion von $e^{i(n+1)t}$
+verwenden:
+\[
+\oint_{\gamma}f(z)\,dz
+=
+i\left[\frac1{i(n+1)}e^{i(n+1)t}\right]_0^{2\pi}
+=0,
+\]
+weil $e^{i(n+1)t}$ periodisch ist mit Periode $2\pi$.
+\end{beispiel}
+Das Beispiel zeigt, dass ein Wegintegral der Potenzfunktionen,
+aller Polynome und schliesslich aller konvergenten Potenzreihen
+über einen geschlossenen Weg verschwinden.
+Es zeigt aber auch, dass das Wegintegral über einen geschlossenen
+Weg nicht zu verschwinden braucht, wie das Beispiel $f(z)=1/z$
+zeigt.
+Letztere Funktion unterscheidet sich von den Potenzfunktionen allerdings
+dadurch, dass sie im Nullpunkt nicht definiert ist.
+
+\begin{satz}
+Sei $f(z)$ eine in einem zusammenhängenden Gebiet $\Omega\subset\mathbb C$
+definierte komplexe Funktion, für die das Wegintegral über jeden
+geschlossenen Weg verschwindet.
+Dann hat $f(z)$ eine komplexe Stammfunktion $F(z)$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir wählen einen beliebigen Punkt $z_0\in\Omega$ definieren die
+komplexe Stammfunktion mit Hilfe des Wegintegrals
+\[
+F(z)=\int_{\gamma_z} f(\zeta)\,d\zeta,
+\]
+wobei $\gamma_z$ ein beliebiger Weg ist, der $z_0$ mit $z$ verbindet.
+
+Wir müssen uns davon überzeugen, dass die Wahl des Weges keinen Einfluss
+auf $F(z)$ hat.
+Dazu seien $\gamma_1$ und $\gamma_2$ zwei verschiedene Wege, die
+$z_0$ mit $z$ verbinden.
+Da die Parametrisierung der Wege keinen Einfluss auf das Wegintegral haben,
+nehmen wir an, dass beide Wege auf dem Intervall $[0,1]$ definiert sind.
+
+Jetzt konstruieren wir einen geschlossene Weg $\gamma$ durch die
+Definition:
+\[
+\gamma\colon[0,2]\to\mathbb C:t\mapsto
+\begin{cases}
+\gamma_1(t)&\qquad 0\le t\le 1\\
+\gamma_2(2-t)&\qquad 1\le t\le 2
+\end{cases}
+\]
+Der Weg $\gamma$ besteht aus $\gamma_1$ und dem in umgekehrter Richtung
+durchlaufenen Weg $\gamma_2$, denn an der Stelle $t=1$ passen die
+beiden Teilwege nahtlos zusammen: $\gamma_1(1)=\gamma_2(1)=\gamma_2(2-1)$.
+Wegen $\gamma(2)=\gamma_2(2-2)=\gamma_2(0)=\gamma_1(0)$ ist der
+Weg geschlossen.
+Nach Voraussetzung ist verschwindet das Wegintegral über $\gamma$.
+Es folgt
+\begin{align*}
+0
+&=
+\int_{\gamma}f(z)\,dz
+\\
+&=
+\int_0^1 f(\gamma_1(t))\gamma_1'(t)\,dt
++ \int_1^2f(\gamma_2(2-t))\frac{d}{dt}\gamma_2(2-t)\,dt
+\\
+&=
+\int_0^1 f(\gamma_1(t))\gamma_1'(t)\,dt
+- \int_1^2f(\gamma_2(2-t))\gamma_2'(2-t)\,dt
+\\
+&=
+\int_0^1 f(\gamma_1(t))\gamma_1'(t)\,dt
+- \int_0^1f(\gamma_2(s))\gamma_2'(s)\,ds
+\\
+&=
+\int_{\gamma_1}f(z)\,dz - \int_{\gamma_2}f(z)\,dz
+\\
+\Rightarrow\qquad
+\int_{\gamma_2}f(z)\,dz&=\int_{\gamma_1}f(z)\,dz.
+\end{align*}
+Da die Wahl des Weges keine Rolle spielt, ist $F(z)$ wohldefiniert.
+\end{proof}
+
+Die Bedingung des eben bewiesenen Satzes ist nicht wirklich nützlich,
+sie ist kaum nachprüfbar.
+Es braucht also zusätzliche Anstrengungen um genügend viele
+Funktionen zu finden, welche die Eigenschaft haben, dass Wegintegrale
+über geschlossene Wege verschwinden.
+Wir zielen dabei auf den folgenden Satz hin:
+\begin{satz}[Cauchy]
+Ist $f(z)$ eine in einem Gebiet $\Omega\subset\mathbb C$ definierte
+komplex differenzierbare Funktion, und ist $\gamma$ ein im Gebiet
+$\Omega$ auf einen Punkt zusammenziehbarer geschlossener Weg, dann gilt
+\[
+\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0.
+\]
+Ist insbesondere $\Omega$ {\em einfach zusammenhängend}
+\index{einfach zusammenhangend@einfach zusammenhängend}%
+\index{zusammenziehbar}%
+(d.~h.~jeder geschlossene Weg lässt sich in einen Punkt zusammenziehen),
+dann verschwindet das Wegintegral von $f(z)$ über jeden geschlossenen
+Weg in $\Omega$.
+\index{einfach zusammenhangend@einfach zusammenhängend}
+\end{satz}
+
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir verwenden für den folgenden Beweis den Satz von Green über
+\index{Green, Satz von}%
+Wegintegrale in der Ebene.
+Er besagt, dass für einen geschlossenen Weg $\gamma$ der in der Ebene
+das Gebiet $D$ berandet, und zwei Funktionen $L(x,y)$ und $M(x,y)$, gilt
+\[
+\oint_\gamma(L\,dx + M\,dy)
+=
+\int_D \biggl(\frac{\partial M}{\partial x}
+-\frac{\partial L}{\partial y}\biggr)\,dx\,dy.
+\]
+Wir berechnen jetzt das Integral einer komplex differenzierbaren Funktion
+$f(z)$
+\begin{align*}
+\oint_\gamma f(z)\,dz
+&=
+\int (u(x,y)+iv(x,y))(\dot x(t)+i\dot y(t))\,dt
+\\
+&=
+\int u(x,y)\dot x(t) -v(x,y)\dot y(t)\,dt
++
+i \int u(x,y)\dot y(t)+v(x,y)\dot x(t)\,dt
+\\
+&=\oint_\gamma(u\,dx - v\,dy) + i\oint_\gamma(v\,dx + u\,dy)
+\\
+&=
+\int_D
+\underbrace{-\frac{\partial v}{\partial x}}_{\displaystyle=\frac{\partial u}{\partial y}}
+-\frac{\partial u}{\partial y}
+\,dx\,dy
++i
+\int_D
+\underbrace{\frac{\partial u}{\partial x}}_{\displaystyle=\frac{\partial v}{\partial y}}
+-\frac{\partial v}{\partial y}\,dx\,dy
+=0.
+\end{align*}
+Dabei haben wir auf der dritten Zeile den Satz von Green angewendet,
+und auf der letzten Zeile die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.
+\end{proof}
+
+\subsection{Die Cauchy-Integralformel}
+\index{Cauchy-Integralformel}%
+Sei jetzt $f(z)$ eine komplex differenzierbare Funktion.
+Dann ist auch die Funktion
+\[
+g(z)=\frac{f(z)}{z-a}
+\]
+komplex differenzierbar für $z\ne a$.
+Insbesondere ist der Wert des Wegintegrals von $g(z)$ entlang
+eines geschlossenen Pfades um den Punkt $a$ unabhängig von der Wahl
+des Weges.
+Zum Beispiel könnten wir das Wegintegral mit Hilfe eines kleinen Kreises
+um $a$ mit Radius $r$ mit der Parametrisierung
+\[
+t\mapsto \gamma(t)=a+re^{it},\quad t\in[0,2\pi]
+\]
+berechnen.
+Die Rechnung ergibt
+\begin{align*}
+\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz
+&=
+\int_0^{2\pi} \frac{f(a+re^{it})}{re^{it}}ire^{it}\,dt
+=
+i\int_0^{2\pi} f(a+re^{it})\,dt
+\end{align*}
+Da $f(z)$ komplex differenzierbar ist, können wir $f(z)$ approximieren
+durch $f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+o(z-a)$, also
+\begin{align*}
+\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a}\,dz
+&=
+i\int_0^{2\pi}f(a) + f'(a)re^{it}+o(r)\,dt
+\\
+&=
+f(a)i\int_0^{2\pi}\,dt
++ irf'(a)\int_0^{2\pi} e^{it}\,dt + i\int_0^{2\pi}o(r)\,dt
+\\
+&=
+2\pi i f(a) + irf'(a)\underbrace{\left[\frac1{i}e^{it}\right]_0^{2\pi}}_{\displaystyle=0}+o(r)
+\\
+&=2\pi i f(a)+o(r).
+\end{align*}
+Da das Wegintegral einer komplex differenzierbaren Funktion aber unabhängig
+vom Weg und damit vom Radius $r$ sein muss, folgt
+\[
+\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz=2\pi i f(a).
+\]
+Wir haben damit den folgenden Satz bewiesen:
+
+\begin{satz}[Cauchy]
+Ist $\gamma$ ein geschlossener Weg in der komplexen Ebene, die ein
+Gebiet umrandet, in dem die komplexe Funktion $f(z)$ komplex
+differenzierbar ist, dann gilt
+\[
+f(a)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz.
+\]
+Insbesondere sind die Werte einer komplex differenzierbaren Funktion
+im Inneren eines Gebietes durch die Werte auf dem Rand bereits vollständig
+bestimmt.
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Ableitungen und Cauchy-Formel}
+Sei $f(z)$ eine komplex differenzierbare Funktion, als Definitionsgebiet
+nehmen wir der Einfachheit halber einen Kreis vom Radius $r$ um den Nullpunkt,
+sein Rand ist die Kurve $\gamma$.
+Durch Ableiten der Cachyschen Integralformel finden wir
+\begin{align*}
+f(z)
+&=
+\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta
+\\
+f'(z)
+&=
+\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\,d\zeta
+\\
+f'' (z)
+&=
+\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma}2\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^3}\,d\zeta
+\\
+f'''(z)
+&=
+\frac1{2\pi i}\oint_{\gamma}2\cdot 3\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^4}\,d\zeta
+\\
+&\vdots
+\\
+f^{(k)}(z)
+&=
+\frac{k!}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\,d\zeta.
+\end{align*}
+Es folgt
+
+\begin{satz}
+Eine komplex differenzierbare Funktion ist beliebig oft differenzierbar.
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Komplex differenzierbare Funktionen sind analytisch}
+Wir haben früher gesehen, dass Wegintegrale auf analytische Funktionen
+führen.
+Andererseits zeigt das Cauchy-Integral, dass komplex differenzierbare
+Funktionen durch genau die Integrale bestimmt sind, die in den
+Reihenentwicklungen in Satz~\ref{komplex:integralanalytisch} auftraten.
+Diese Resultate können wir im folgenden Satz zusammenfassen.
+
+\begin{satz}
+Eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$, die in einer Kreisscheibe
+vom Radius $r$ um den Punkt $z_0$ definiert ist, ist analytisch.
+Ihre Potenzreihenentwicklung
+\[
+f(z)=\sum_{k=0}^na_k(z-z_0)^k
+\]
+hat die Koeffizienten
+\[
+a_k=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}}\,dz,\quad
+k\ge 0.
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Da $f$ komplex differenzierbar ist, gilt
+\[
+f(z)=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta.
+\]
+In Satz~\ref{komplex:integralanalytisch} wurde gezeigt, dass $f(z)$
+analytisch ist, und dass die Koeffizienten der Potenzreihe von
+der verlangten Form sind.
+\end{proof}
+
+Für eine komplexe Funktion, die im Punkt $z_0$ eine Singularität hat,
+also in einer Umgebung von $z_0$ ohne den Punkt $z_0$ definiert ist,
+können wir das Resultat aus Satz~\ref{komplex:laurentreihe} verwenden,
+und zum folgenden analogen Resultat gelangen:
+
+\begin{satz}
+Eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$, die in einer Kreisscheibe
+vom Radius $r$ um den Punkt $z_0$ mit Ausnahme des Punktes $z_0$
+definiert ist, kann in eine konvergente Laurent-Reihe
+\[
+f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k(z-z_0)^k
+\]
+entwickelt werden, deren Koeffizienten durch
+\[
+c_k = \frac1{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(\zeta)}{(z-z_0)^{k+1}}\,d\zeta,\qquad k\in\mathbb Z
+\]
+gegeben sind.
+\end{satz}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
new file mode 100644
index 0000000..2d0de8d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
@@ -0,0 +1,46 @@
+%
+% chapter.tex -- Kapitel zur Funktionentheorie
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\chapter{Funktionentheorie
+\label{buch:chapter:funktionentheorie}}
+\lhead{Funktionentheorie}
+\rhead{}
+Jede stetige reelle Funktion $f\colon I\to\mathbb{R}$ auf einem
+Intervall kann beliebig genau durch Polynome, also durch
+differenzierbare approximiert werden.
+Für komplex differenzierbare Funktionen sieht die Situation
+völlig anders aus.
+Bereits die Funktion $z\mapsto \overline{z}$ kann in einer offenen
+Teilmenge von $\mathbb{C}$ nicht durch Polynome in der Variablen $z$
+approximiert werden.
+Es stellt sich heraus, dass komplex differenzierbare Funktionen
+immer eine konvergente Taylor-Reihe besitzen.
+In Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:analytisch} wird
+ein Beispiel einer beliebig oft stetig differenzierbaren rellen
+Funktion angegeben, die nur in $0$ verschwindet, deren Taylor-Reihe
+in $0$ die Nullfunktion ist.
+
+Wenn man also weiss, dass die Lösung eines Problems nicht nur eine
+relle Funktion ist, sondern eine komplex differenzierbare Funktion,
+dann unterliegt diese sehr viel strengeren Einschränkungen.
+Mit der zugehörigen Potenzreihe können Funktionswerte leicht berechnet
+werden, mit dem Cauchy-Integral können Singularitäten studiert werden
+und mit der analytischen Fortsetzung kann man Lösungen über Singularitäten
+auf der rellen Achse hinaus fortsetzen.
+
+\input{chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex}
+
+%\section*{Übungsaufgaben}
+%\rhead{Übungsaufgaben}
+%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
+%\begin{uebungsaufgaben}
+%\uebungsaufgabe{0}
+%\uebungsaufgabe{1}
+%\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex
new file mode 100644
index 0000000..d4d0795
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex
@@ -0,0 +1,247 @@
+%
+% fortsetzung.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Analytische Fortsetzung
+\label{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}}
+\rhead{Analytische Fortsetzung}
+
+Wir haben schon gesehen, dass eine reelle Funktion, die in einem
+Punkte eine konvergente
+Potenzreihe besitzt, auf natürliche Weise auch als komplexe Funktion
+betrachtet werden kann, indem man komplexe Argumente in der Potenzreihe
+zulässt.
+Die neue komplexe Funktion ist ein einem Kreis um den Punkt
+konvergent.
+Mit Hilfe der Potenzreihe kann man also immer eine Funktion auf ein
+Kreisgebiet ausdehen.
+Dieser Abschnitt untersucht die Frage, ob man diese Idee auch auf
+noch grössere Gebiete ausdehnen kann.
+\subsection{Analytische Fortsetzung mit Potenzreihen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/forts.pdf}
+\caption{Analytische Fortsetzung einer komplexen Funktion entlang einer
+Kurve $\gamma$.
+\label{komplex:fortsetzung}}
+\end{figure}
+Eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$ ist immer darstellbar als
+Potenzreihe, und ist daher analytisch.
+So kann zum Beispiel die Funktion $1/z$ als Potenzreihe um jeden
+beliebigen Punkt $z_0$ entwickelt werden:
+\begin{align}
+f(z)
+&=
+\frac1z
+=
+\frac1{z_0-(z_0-z)}
+=
+\frac1{z_0}\cdot
+\frac1{1-\displaystyle\frac{z_0-z\mathstrut}{z_0\mathstrut}}
+=
+\frac1{z_0}\sum_{k=0}^{\infty} \biggl(\frac{z_0-z\mathstrut}{z_0\mathstrut}\biggr)^k
+=
+\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}} (z-z_0)^k,
+\label{komplex:1durchreihe}
+\end{align}
+Die Koeffizienten dieser Potenzreihe sind
+\[
+a_k=\frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}},
+\]
+und man kann den Konvergenzradius ausrechnen:
+\[
+\frac1{\varrho}
+=
+\limsup_{k\to\infty} \root{k}\of{|a_k|} = \lim_{k\to\infty}\frac1{|z_0|^{\frac{k+1}{k}}}
+=
+\frac1{|z_0|}.
+\]
+Der Konvergenzradius ist limitiert durch die Singularität bei an der Stelle
+$z=0$.
+
+Es gibt also keine einzelne Potenzreihe, die die Funktion $f(z)=\frac1z$ in der
+ganzen komplexen Ebene darstellen kann.
+Wählt man aber einzelne Punkte $z_0$ und $z_1$ derart, dass der Kreis
+um $z_0$ mit Radius $|z_0|$ und der Kreis um $z_1$ mit Radius $|z_1|$
+überlappen, dann werden die beiden Potenzreihen im Überlappungsgebiet
+die gleichen Werte annehmen.
+
+Man könnte allso eine Kurve $\gamma$ in der komplexen Ebene wählen,
+entlang der man in jedem Punkt die Funktion $f(z)$ in eine Potenzreihe
+entwickelt.
+Liegen zwei Punkte nahe genug auf der Kurve $\gamma$, werden die
+Konvergenzkreise der Potenzreihen überlappen, und die Potenzreihen
+werden im Überlappungsgebiet die gleichen Werte liefern.
+
+Selbst wenn man eine Funktion $f(z)$ nur in einem Kreis um den Punkt $z_0$
+kennt, zum Beispiel durch eine Potenzreihe im Punkt $z_0$, kann man entlang
+einer Kurve, die $z_0$ mit $z_1$ verbindet, in jedem Punkt eine Potenzreihe
+finden, die mit der Potenzreihe in den Nachbarpunkten übereinstimmt, und
+so die Definition der Funktion entlang dieser Kurve auf ein grösseres
+Gebiet ausweiten, wie in Abbildung~\ref{komplex:fortsetzung} dargestellt.
+Man nennt dies die {\em analytische Fortsetzung} der Funktion $f(z)$
+entlange der Kurve $\gamma$.
+\index{analytische Fortsetzung}
+\index{Fortsetzung, analytische}
+
+\begin{beispiel}
+Wir haben bereits gesehen, dass sich die Funktion $f(z)=1/z$ in jedem
+Punkt $z_0$ der komplexen Ebene in die Potenzreihe~\eqref{komplex:1durchreihe}
+entwickeln lässt.
+Diese Reihe lässt sich integrieren
+\[
+F(z,z_0)
+=
+\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(k+1)z_0^{k+1}}z^{k+1},
+\]
+diese Reihe ist ebenfalls auf einem Kreis vom Radius $|z_0|$ um den
+Punkt $z_0$ konvergent.
+Wir vermuten natürlich, dass dies eine Darstellung des natürlichen
+Logarithmus einer komplexen Zahl ist.
+Natürlich ist das immer nur auf einem Kreisgebiet möglich, die Reihe
+für $z=1$ ist zum Beispiel im Punkt $z=-1$ nicht konvergent.
+
+Um eine in der ganzen komplexen Ebene definierte Funktion $\log(z)$ zu
+konstruieren, müssen wir also eine analytische Fortsetzung aufbauen.
+Bei der Integration haben wir eine frei wählbare Integrationskonstante
+$C(z_0)$, die wir so wählen müssen, dass die Reihen im Überlappungsgebiet
+übereinstimmen:
+\[
+F(z,z_0) + C(z_0) = F(z,z_1)  + C(z_1)
+\]
+für jedes $z$ im Überlappungsgebiet.
+Dadurch wird aber nur die Differenz $C(z_1)-C(z_0)$ der Werte festgelegt.
+Da wir Übereinstimmung mit der üblichen Definition des Logarithmus
+erreichen möchten, können wir $C(1)=0$ festlegen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.pdf}
+\caption{Analytische Fortsetzung für die Funktion $\frac1z$
+entlang der Pfade $\gamma_+$ und $\gamma_-$.
+\label{komplex:logfortsetzung}}
+\end{figure}
+Wir konstruieren jetzt die analytische Forstsetzung entlang der Kurven
+$\gamma_+$ und $\gamma_-$ wie in Abbildung~\ref{komplex:logfortsetzung}
+dargestellt.
+Um die Differenz $C(z_1)-C(z_0)$ zu bestimmen, Werten wir die Funktionen
+$F(z,z_0)$ und $F(z,z_1)$ jeweils im rot eingezeichneten Punkt aus.
+Die exakte Berechnung ist etwas mühsam, da es sich ja nur um ein Beispiel
+handelt, können wir die Reihen auch numerisch ausrechnen, und so die
+Differenzen bestimmen:
+\begin{align*}
+&\text{Startpunkt $z_0=1$:}& C(1)&=0             &       &       \\
+&\text{entlang $\gamma_+$:}& C(i)&= i\frac{\pi}2 & C(-1) &=  i\pi\\
+&\text{entlang $\gamma_-$:}&C(-i)&=-i\frac{\pi}2 & C(-1) &= -i\pi
+\end{align*}
+Wir stellen fest, dass die analytische Fortsetzung der Logarthmusfunktion
+entlang der Kurve $\gamma_+$ die Potenzreihe
+\[
+\log_+(z)
+=
+i\pi +\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k(-1)^k}(z+1)^k
+=
+i\pi
+-
+\sum_{k=1}^\infty \frac{(z+1)^k}{k}
+\]
+ergibt, während man entlang der  Kurve $\gamma_-$
+\[
+\log_-(z)
+=
+-i\pi +\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k(-1)^k}(z+1)^k
+=
+-i\pi
+-
+\sum_{k=1}^\infty \frac{(z+1)^k}{k}
+\]
+findet.
+Die beiden analytischen Fortsetzungen entlang der Kurven $\gamma_+$ und
+$\gamma_-$ stimmen auf der negativen reellen Achse nicht überein,
+sie unterscheiden sich um $2\pi i$:
+\[
+\log_+(z)-\log_-(z)=2\pi i.
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Das Beispiel zeigt, dass es im Allgmeinen eine auf der ganzen komplexen
+Ebene definierte komplexe Entsprechung einer reellen Funktion nicht
+zu geben braucht.
+Dieses Phänomen tritt zum Beispiel auch bei der Wurzelfunktion $f(z)=\sqrt{z}$
+auf.
+Diese Funktion ist im Punkt $z=0$ nicht differenzierbar, man muss diesen
+Punkt also aus dem Definitionsbereich ausschliessen.
+Führt man man analog zum Beispiel eine analytische Fortsetzung durch,
+findet man, dass sich die Werte von $f(z)$ für die beiden Wege $\gamma_+$
+und $\gamma_-$ durch das Vorzeichen unterscheiden.
+\subsection{Analytische Fortsetzung mit Differentialgleichungen
+\label{komplex:analytische-fortsetzung-dgl}}
+In Abschnitt~\ref{subsection:wegintegrale} wurde gezeigt, wie Wegintegrale
+Stammfunktionen komplexer Funktionen liefern können.
+Im vorangegangenen Abschnitt wurde untersucht, wie eine komplex differenzierbare
+Funktion mit Hilfe von analytischer Fortsetzung entlang einer Kurve
+ausgedehnt werden kann.
+
+Sei $f(z)$ eine komplex differenzierbare Funktion.
+In jedem beliebigen Punkt des Definitionsbereichs können wir $f(z)$
+in eine Potenzreihe entwickeln, und natürlich auch termweise integrieren.
+Es gibt also in jedem Punkt $z_0$ des Definitionsbereichs eine
+Funktion $F_{z_0}(z)$, die $F'_{z_0}(z)=f(z)$ erfüllt.
+Durch analytische Fortsetzung entlang einer Kurve $\gamma$ können
+wir eine komplex differenzierbare Funktion $f(z)$ finden, die in einer
+Umgebung der Kurve $F'(z)=f(z)$ erfüllt.
+
+Sei andererseits $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb C$ eine Kurve in $\mathbb C$.
+Dann können wir die Werte der Stammfunktion im Punkt $\gamma(b)$ durch
+\[
+F(\gamma(b)) = F(\gamma(a))+\int_\gamma f(z)\,dz
+\]
+berechnen.
+
+\begin{beispiel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.pdf}
+\caption{Analytische Fortsetzung des Logarithmus als Lösung der
+Differentialgleichung $y'=\frac1z$.
+Bei einem Umlauf um den Nullpunkt nimmt der Wert von $y(z)$ um
+$2\pi i$ zu.
+\label{komplex:analytische-fortsetzung-log}
+}
+\end{figure}
+Wir bestimmen die Stammfunktion von $f(z)=1/z$.
+Entlang der reellen Achse weiss man bereits, dass die Stammfunktion
+der natürliche Logarithmus ist, also $F(x)=\log x$.
+Um diese Stammfunktion auf $\mathbb C$ auszudehnen, verwenden wir einen
+kreisförmigen Pfad von der reellen Achse bis zum Punkt $z$.
+Liegt $z$ in der oberen Halbebene, wählen wir einen Pfad in der
+oberen Halbebene, und umgekehrt.
+Wir können die Zahl $z$ in Polarkoordinaten darstellen als $z=re^{i\varphi}$.
+Ein Pfad von der reellen Achse kann mit
+\[
+\gamma\colon [0,1]\to\mathbb C: t\mapsto re^{it\varphi}
+\]
+parametrisiert werden.
+Der Zuwachs der Stammfunktion entlang dieses Pfades ist
+\[
+F(z)-F(r)
+=
+\int_\gamma\frac1z\,dz
+=
+\int_0^1 \frac1{e^{it\varphi}}i\varphi e^{it\varphi}\,dt
+=
+i\varphi \int_0^1\,dt
+=
+i\varphi.
+\]
+Der Wert der Stammfunktion am Anfang der Kurve ist $\log r$, somit
+folgt, dass
+\[
+\log z = \log r + i\varphi
+\]
+(Abbildung~\ref{komplex:analytische-fortsetzung-log}).
+\end{beispiel}
+
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex
new file mode 100644
index 0000000..c87b083
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex
@@ -0,0 +1,384 @@
+%
+% holomorph.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Holomorphe Funktionen
+\label{buch:funktionentheorie:section:holomorph}}
+\rhead{Holomorphe Funktionen}
+
+Wir betrachten in diesem Kapitel komplexwertige Funktionen,
+\index{komplexwertige Funktion}%
+die ein einem Teilgebiet der komplexen Ebene definiert sind.
+Ein {\em Gebiet} ist eine offene Teilmenge $\Omega\subset \mathbb C$.
+\index{Gebiet}%
+{\em Offen} heisst, dass mit jedem Punkt $z_0\in\Omega$ eine Umgebung
+\index{offen}%
+\index{Umgebung}%
+\[
+U=\{z\in\mathbb Z\,|\,|z-z_0|<\varepsilon\}
+\]
+ebenfalls in $\Omega$ enthalten ist, also $U\subset \Omega$ für genügen
+kleines $\varepsilon$.
+Sei also $f(z)$ eine in $\Omega\subset\mathbb C$ definierte
+Funktion $f\colon\Omega\to\mathbb C$.
+
+Eine komplexwertige Funktion $f(z)$ kann betrachtet werden als zwei
+reellwertige Funktionen von zwei Variablen $x$ und $y$:
+\[
+f(z)=\operatorname{Re}f(x+iy) + i \operatorname{Im}f(x+iy).
+\]
+Schreibt man
+$\operatorname{Re}f(x+iy)=u(x,y)$
+und
+$\operatorname{In}f(x+iy)=v(x,y)$,
+dann ist die komplexe Funktion vollständig durch reelle Funktionen
+beschrieben.
+Und natürlich wissen wir auch, was unter den Ableitungen der Funktionen
+$u(x,y)$ und $v(x,y)$ zu verstehen ist.
+Der Funktion $f(z)$ entspricht eine Abbildung $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$
+\index{Abbildung}%
+\[
+(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{pmatrix}.
+\]
+Die Ableitung einer solchen Funktion im Punkt $(x_0,y_0)$
+ist eine lineare Abbildung von Vektoren, die in linearer Näherung
+\index{lineare Naherung@lineare Näherung}
+\index{Naherung@Näherung, lineare}
+den Funktionswert bei $f(z_0 + \Delta z)$
+\[
+\begin{pmatrix}
+u(x+\Delta x, y +\Delta y)\\
+v(x+\Delta x, y +\Delta y)
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\
+\frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} \Delta x\\\Delta y \end{pmatrix}
++o(\Delta x, \Delta y).
+\]
+In dieser Sicht einer komplexen Funktion gibt es keine einzelne Zahl, die
+die Funktion einer Ableitung übernehmen könnte, die Ableitung
+ist eine $2\times 2$-Matrix.
+
+%
+% Definition der komplexen Ableitungen
+%
+\subsection{Komplexe Ableitung}
+Die Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen wird mit Hilfe des
+Grenzwertes
+\[
+f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
+\]
+definiert, oder als diejenige Zahl $f'(x_0)\in\mathbb R$ mit der Eigenschaft,
+dass
+\begin{equation}
+f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0)
+\label{komplex:abldef}
+\end{equation}
+gilt.
+Der Term $x-x_0$ und die Gleichung \eqref{komplex:abldef} sind aber auch
+für komplexe Argument sinnvoll, wir definieren daher
+
+\begin{definition}
+Die komplexe Funktion $f(z)$ heisst im Punkt $z_0$ komplex differenzierbar
+und hat die komplexe Ableitung $f'(z_0)\in\mathbb C$, wenn
+\index{komplex differenzierbar}%
+\index{komplexe Ableitung}%
+\index{Ableitung!komplexe}%
+\begin{equation}
+f(z)=f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0) +o(z-z_0)
+\label{komplex:defkomplabl}
+\end{equation}
+gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Die Funktion $z\mapsto f(z)=z^n$ ist überall komplex differenzierbar
+und hat die Ableitung $nz^{n-1}$.
+Um dies nachzuprüfen, müssen wir die Bedingung~\eqref{komplex:defkomplabl}
+verifizieren.
+Aus einer wohlbekannten Faktorisierung von $z^n - z_0^n$ können wir den
+Differenzenquotienten finden:
+\begin{align*}
+\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}
+&=
+\frac{z^n-z_0^n}{z-z_0}
+=
+\frac{(z-z_0)(z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z^{n-1})}{z-z_0}
+\\
+&=
+\underbrace{z^{n-1}+z^{n-2}z_0+z^{n-3}z_0^2+\dots+z^{n-1}
+}_{\displaystyle \text{$n$ Summanden}}.
+\end{align*}
+Lassen wir jetzt $z$ gegen $z_0$ gehen, wird die rechte Seite
+zu $nz_0^{n-1}$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Funktion $z\mapsto f(z)=\bar z=x-iy$ ist nicht differenzierbar.
+Wenn $f(z)=\bar z$ differenzierbar wäre, dann müsste es eine Zahl
+$a\in\mathbb C$ geben, so dass
+\[
+\bar z-\bar z_0=a(z-z_0)+o(z-z_0)
+\]
+gilt.
+wählen wir $z=z_0+x$ bzw.~$z=z_0+iy$, dann erhalten wir
+\[
+\begin{aligned}
+z-z_0&=x:&
+\bar z-\bar z_0&=x
+&&\Rightarrow&
+\bar z-\bar z_0&=1\cdot x
+&&\Rightarrow&
+a&=1
+\\
+z-z_0&=iy:&
+\bar z-\bar z_0&=-iy
+&&\Rightarrow&
+\bar z-\bar z_0&=-1\cdot iy
+&&\Rightarrow&
+a&=-1
+\end{aligned}
+\]
+Es ist also nicht möglich, eine einzige Zahl $a$ zu finden, die als
+die Ableitung der Funktion $z\mapsto \bar z$ betrachtet werden könnte.
+\end{beispiel}
+
+Das letzte Beispiel zeigt, dass
+selbst Funktionen, deren Real- und Imaginärteil beliebig oft stetig
+differenzierbare Funktionen sind, nicht komplex differenzierbar
+sein müssen.
+Komplexe Differenzierbarkeit ist eine wesentlich stärkere Bedingung
+an eine Funktion, komplex differenzierbare Funktionen bilden eine
+echte Teilmenge aller Funktionen, deren Real- und Imaginärteil
+differenzierbar ist.
+
+%
+% Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
+%
+\subsection{Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen}
+Komplexe Funktionen können nur differenzierbar sein, wenn sich die vier
+partiellen Ableitungen zu einer einzigen komplexen Zahl zusammenfassen
+lassen.
+Um diese Beziehung zu finden, gehen wir von einer komplexen Funktion
+\[
+f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)
+\]
+aus, und berechnen die Ableitung auf zwei verschiedene Arten, indem
+wir sowohl nach $x$ als auch nach $iy$ ableiten:
+\begin{align*}
+f'(z)&
+=
+\lim_{x\to 0}\frac{f(z+x)-f(z)}{x}
+=
+\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}
+\\
+f'(z)&
+=
+\lim_{y\to 0}\frac{f(z+iy)-f(z)}{iy}
+=
+\frac1{i}
+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}
+=
+\frac{\partial v}{\partial y}
+-i
+\frac{\partial u}{\partial y}.
+\end{align*}
+Dies ist nur möglich, wenn Real- und Imaginärteile übereinstimmen.
+Es folgt also
+
+\begin{satz}
+\label{komplex:satz:cauchy-riemann}
+Real- und Imaginärteil $u(x,y)$ und $v(x,y)$ einer
+komplex differenzierbaren Funktion $f(z)$ mit $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$
+erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
+\index{Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen}
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\frac{\partial u}{\partial x}
+&=
+\frac{\partial v}{\partial y},
+&
+\frac{\partial u}{\partial y}
+&=
+-
+\frac{\partial v}{\partial x}.
+\end{aligned}
+\label{komplex:dgl:cauchy-riemann}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+Leitet man die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen nochmals nach
+$x$ und $y$ ab, erhält man
+\begin{equation*}
+\begin{aligned}
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+&=
+\frac{\partial^2 v}{\partial x\,\partial y},
+&
+\frac{\partial^2 u}{\partial x\,\partial y}
+&=
+-\frac{\partial^2 v}{\partial x^2},
+&
+\frac{\partial^2 u}{\partial y\,\partial x}
+&=
+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2},
+&
+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+&=
+-\frac{\partial^2 v}{\partial y\,\partial x}.
+\end{aligned}
+\end{equation*}
+Die erste und die letzte sowie die mittleren zwei können zu jeweils
+einer Differentialgleichung für die Funktionen $u$ und $v$ zusammengefasst
+werden, nämlich
+\begin{equation*}
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
++
+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+=
+0
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}
++
+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
+=
+0.
+\end{equation*}
+
+\begin{definition}
+Der Operator
+\[
+\Delta =
+\frac{\partial^2}{\partial x^2}
++
+\frac{\partial^2}{\partial y^2}
+\]
+heisst der {\em Laplace-Operator} in zwei Dimensionen.
+
+\index{Laplace-Operator}%
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+Eine Funktion $h(x,y)$ von zwei Variablen heisst {\em harmonisch}, wenn sie
+die Gleichung
+\[
+\Delta h=0
+\]
+erfüllt.
+\index{harmonische Funktion}%
+\index{harmonisch}%
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+Real- und Imaginärteil einer komplexen Funktion sind harmonische Funktionen.
+\end{satz}
+
+Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen schränken also einerseits stark
+ein, welche Funktionen überhaupt als Real- und Imaginärteil einer
+komplex differenzierbaren Funktion in Frage kommen.
+Andererseits koppeln sie auch Real- und Imaginärteil stark zusammen.
+
+\begin{beispiel}
+Von einer komplex differenzierbaren Funktion $f(z)$ sei nur der Realteil
+$u(x,y)=x^3 -3xy^2$ bekannt.
+Man finde alle möglichen Funktionen $f(z)$.
+
+Zunächst kontrollieren wir, ob dies überhaupt ein Realteil sein kann,
+indem wir nachrechnen, ob $u(x,y)$ harmonisch ist.
+\begin{equation*}
+\begin{aligned}
+\frac{\partial u}{\partial x}
+&=
+3x^2-3y^2
+&&\Rightarrow&
+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+&=
+6x
+\\
+\frac{\partial u}{\partial y}
+&=
+-6xy
+&&\Rightarrow&
+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+&=
+-6x
+\\
+&&&&\Delta u&=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=6x-6x=0,
+\end{aligned}
+\end{equation*}
+$u$ ist also harmonisch.
+
+Um die Funktion $f$ zu finden, brauchen wir jetzt noch den Imaginärteil.
+Wir finden ihn mit Hilfe der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.
+Es gilt
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\frac{\partial v}{\partial x}
+&=
+-\frac{\partial u}{\partial y}=6xy,
+&
+\frac{\partial v}{\partial y}
+&=
+\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2
+\end{aligned}
+\label{komplex:crbeispiel}
+\end{equation}
+Aus der ersten Gleichung erhält man durch Integrieren nach $x$
+\[
+v(x,y)=-3x^2y + C(y),
+\]
+die Integrations-``Konstante'' ist eine Funktion, die aber nur von $y$
+abhängen darf.
+Die zweite Cauchy-Riemann-Gleichung verwendet die Ableitung von $v$ nach $y$,
+sie ist
+\[
+\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2+C'(y).
+\]
+Aus der zweiten Gleichung von \eqref{komplex:crbeispiel} liest man
+ab, dass
+\[
+C'(y)=-3y^2
+\qquad\Rightarrow\qquad
+C(y)=-y^3+k
+\]
+sein muss.
+Damit ist $v$ bis auf eine Konstante bestimmt.
+Die zugehörige Funktion $f(z)$ ist daher
+\[
+f(z)=f(x+iy)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)+ik
+=x^3 + 3x^2iy + 3x(iy)^2+(iy)^3+ik=z^3+ik.
+\]
+Wir haben die Funktion $f(z)$ bis auf eine Konstanten $ik$
+aus ihrem Realteil rekonstruiert.
+\end{beispiel}
+Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen besagen auch, dass man nur
+die Ableitungen nach $x$ zu berechnen braucht, um die Ableitung $f'(x)$
+zu bestimmen.
+Die Rechenregeln für die Ableitung lassen sich daher direkt auf
+komplexe Funktionen übertragen:
+\begin{align*}
+\frac{d}{dz}z^n
+&=
+nz^{n-1}
+\\
+\frac{d}{dz}e^z
+&=
+e^z
+\\
+\frac{d}{dz}f(g(z))
+&=
+f'(g(z)) g'(z)
+\\
+\frac{d}{dz}\bigl(f(z)g(z)\bigr)
+&=
+f'(z)g(z)+f(z)g'(z)
+\end{align*}
+Die Ableitungsformeln ändern also nicht, die formalen Ableitungsregeln
+für holomorphe Funktionen sind die gleichen wie für reelle Funktionen.
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..66e6d0f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile
@@ -0,0 +1,26 @@
+#
+# Makefile -- build images
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	nonanalytic.pdf integralanalytisch.pdf laurent.pdf \
+	fortsetzreziprok.pdf forts.pdf logforts.pdf
+
+nonanalytic.pdf:	nonanalytic.tex
+	pdflatex nonanalytic.tex
+
+integralanalytisch.pdf:	integralanalytisch.tex
+	pdflatex integralanalytisch.tex
+
+laurent.pdf:	laurent.tex
+	pdflatex laurent.tex
+
+fortsetzreziprok.pdf:	fortsetzreziprok.tex
+	pdflatex fortsetzreziprok.tex
+
+forts.pdf:	forts.tex
+	pdflatex forts.tex
+
+logforts.pdf:	logforts.tex
+	pdflatex logforts.tex
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.pdf
new file mode 100644
index 0000000..db8199a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.tex
new file mode 100644
index 0000000..11c45e1
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/forts.tex
@@ -0,0 +1,86 @@
+%
+% forts.tex -- analytische Fortsetzung
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\pgfmathparse{-(3+3*sin(180*(1.4))-(1.4))}
+\xdef\X{\pgfmathresult}
+\pgfmathparse{-(2+2*cos(180*(1.4))-(1.4))}
+\xdef\Y{\pgfmathresult}
+
+\def\kurve#1{
+	({3+3*sin(180*(#1))-(#1)+\X},{2+2*cos(180*(#1))-(#1)+\Y})
+}
+
+\def\punkt#1{
+	\fill[color=white]
+		({3+3*sin(180*(#1))-(#1)+\X},{2+2*cos(180*(#1))-(#1)+\Y})
+		circle[radius=0.08];
+	\draw[color=red]
+		({3+3*sin(180*(#1))-(#1)+\X},{2+2*cos(180*(#1))-(#1)+\Y})
+		circle[radius=0.08];
+}
+
+\def\kreis#1#2{
+	\fill[color=gray!50,opacity=0.5] #1 circle[radius=#2];
+}
+\def\rand#1#2{
+	\draw #1 circle[radius=#2];
+}
+
+\kreis{\kurve{-0.2}}{1.2}
+\kreis{\kurve{0.0}}{1.2}
+\kreis{\kurve{0.2}}{1.2}
+\kreis{\kurve{0.4}}{1.2}
+\kreis{\kurve{0.6}}{1.2}
+\kreis{\kurve{0.8}}{1.3}
+\kreis{\kurve{1.0}}{1.5}
+\kreis{\kurve{1.2}}{1.3}
+\kreis{\kurve{1.4}}{1.2}
+\rand{\kurve{-0.2}}{1.2}
+\rand{\kurve{0.0}}{1.2}
+\rand{\kurve{0.2}}{1.2}
+\rand{\kurve{0.4}}{1.2}
+\rand{\kurve{0.6}}{1.2}
+\rand{\kurve{0.8}}{1.3}
+\rand{\kurve{1.0}}{1.5}
+\rand{\kurve{1.2}}{1.3}
+\rand{\kurve{1.4}}{1.2}
+
+\draw[->] (-1.5,0) -- (8.5,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+\draw[->] (0,-2.6) -- (0,5.6) coordinate[label={left:$\operatorname{Im}z$}];
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt]
+	plot[domain=-0.2:1.4,samples=100] 
+	({3+3*sin(180*\x)-\x+\X},{2+2*cos(180*\x)-\x+\Y});
+
+\foreach \t in {-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4}{
+	\punkt{\t}
+}
+
+\node[color=red] at \kurve{1.4} [above left] {$z_0$};
+\node[color=red] at \kurve{1.2} [below] {$z_1$};
+\node[color=red] at \kurve{1.0} [below] {$z_2$};
+\node[color=red] at \kurve{0.8} [below right] {$z_3$};
+\node[color=red] at \kurve{0.6} [right] {$z_4$};
+\node[color=red] at \kurve{0.4} [right] {$z_5$};
+\node[color=red] at \kurve{0.2} [above right] {$z_6$};
+\node[color=red] at \kurve{0.0} [above] {$z_7$};
+\node[color=red] at \kurve{-0.2} [above left] {$z_8$};
+
+\node[color=red] at \kurve{0.96} [above] {$\gamma$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9450e80
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.tex
new file mode 100644
index 0000000..4fa4a68
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/fortsetzreziprok.tex
@@ -0,0 +1,65 @@
+%
+% fortsetzreziprok.tex -- analytische Fortsetzung der 1/z-Funktion
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\def\u{3}
+\def\punkt#1#2{
+	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.08];
+	\draw[color=#2] #1 circle[radius=0.08];
+}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\fill[color=gray!70,opacity=0.5] (\u,0) circle[radius=\u];
+\fill[color=gray!70,opacity=0.5] (0,\u) circle[radius=\u];
+\fill[color=gray!70,opacity=0.5] (-\u,0) circle[radius=\u];
+\fill[color=gray!70,opacity=0.5] (0,-\u) circle[radius=\u];
+
+%\draw[line width=0.5pt] (\u,0) circle[radius=\u];
+%\draw[line width=0.5pt] (0,\u) circle[radius=\u];
+%\draw[line width=0.5pt] (-\u,0) circle[radius=\u];
+%\draw[line width=0.5pt] (0,-\u) circle[radius=\u];
+
+\draw[->] ({-0.5-2*\u},0) -- ({2*\u+0.8},0)
+	coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+\draw[->] (0,{-0.5-2*\u}) -- (0,{2*\u+0.8})
+	coordinate[label={$\operatorname{Im}z$}];
+
+\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (0,0) circle[radius=\u];
+\node[color=darkgreen] at (70:\u) [above] {$\gamma_+$};
+\node[color=darkgreen] at (-70:\u) [below] {$\gamma_-$};
+\node at (\u,0) [above right] {$1$};
+\node at (0,\u) [above left] {$i$};
+\node at (-\u,0) [above left] {$-1$};
+\node at (0,-\u) [below left] {$-i$};
+
+\punkt{(\u,0)}{black}
+\punkt{(-\u,0)}{black}
+\punkt{(0,\u)}{black}
+\punkt{(0,-\u)}{black}
+
+\punkt{({0.5*\u},{0.5*\u})}{red}
+\punkt{({-0.5*\u},{0.5*\u})}{red}
+\punkt{({-0.5*\u},{-0.5*\u})}{red}
+\punkt{({0.5*\u},{-0.5*\u})}{red}
+
+\node[color=red] at ({0.5*\u},{0.5*\u}) [above] {$(1+i)\frac{\sqrt{2}}{2}$};
+\node[color=red] at ({0.5*\u},{-0.5*\u}) [below] {$(1-i)\frac{\sqrt{2}}{2}$};
+\node[color=red] at ({-0.5*\u},{-0.5*\u}) [below] {$(-1-i)\frac{\sqrt{2}}{2}$};
+\node[color=red] at ({-0.5*\u},{0.5*\u}) [above] {$(-1+i)\frac{\sqrt{2}}{2}$};
+
+\fill[color=white] (0,0) circle[radius=0.2];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.pdf
new file mode 100644
index 0000000..051562f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.tex
new file mode 100644
index 0000000..a407eed
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/integralanalytisch.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+%
+% integralanalytisch.tex -- Illustration zum Beweis, das das Cauchy-Integral
+%                           auf eine analytische Funktion führt
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\fill[color=blue!20] (0,0) circle[radius=1.5];
+\draw[color=blue,line width=0.7pt] (0,0) circle[radius=1.5];
+
+\draw[->] (0,0) -- (-150:1.5);
+\node at (-150:1.0) [below] {$\varrho$};
+
+\begin{scope}
+\clip (-4,-3) rectangle (4,3);
+\draw[color=red, line width=1.4pt]
+	 (-3,0.5) 
+	.. controls (-4,-0.5) and (-3,-2) ..
+	(-2,-2)
+	.. controls (-1,-2) and (-1,-1.5) ..
+	(0,-1.5)
+	.. controls (1.0,-1.5) and (1.0,-3) ..
+	(2,-3)
+	.. controls (5,-3) and (3,5) ..
+	(-1,2);
+\end{scope}
+
+\node[color=red] at (3.2,-1.5) {$\gamma$};
+
+\coordinate (Z) at (1,0.5);
+
+\fill[color=white] (Z) circle[radius=0.05];
+\draw (Z) circle[radius=0.05];
+\node at (Z) [above] {$z$};
+
+\draw[->] (0,-3.1) -- (0,3.3) coordinate[label={left:$\operatorname{Im}z$}];
+\draw[->] (-4.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7cc7652
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.tex
new file mode 100644
index 0000000..b403aea
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/laurent.tex
@@ -0,0 +1,57 @@
+%
+% laurent.tex -- Laurent-Reihen und Cauchy-Integral
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc,decorations.markings}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\coordinate (Z0) at (1.5,1);
+
+\def\d{0.03}
+
+\draw[->] (-2.1,0) -- (4.8,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+\draw[->] (0,-2.1) -- (0,4.3) coordinate[label={$\operatorname{Im}z$}];
+
+\fill[color=red!20,opacity=0.7] (Z0) circle[radius=2.5];
+
+\fill[color=white] (Z0) circle[radius=0.2];
+
+
+\draw[color=red] (Z0) circle[radius=2.5];
+\draw[color=red] (Z0) circle[radius=0.2];
+\fill[color=white] ($(Z0)+(0,-\d)$) rectangle ($(Z0)+(3,\d)$);
+\begin{scope}[decoration={
+    markings,
+    mark=at position 0.5 with {\arrow{>}}}
+    ]
+\draw[color=red,postaction={decorate}]
+	($(Z0)+({asin(-\d/2.5)}:2.5)$)
+	--
+	($(Z0)+({asin(-\d/0.2)}:0.2)$);
+\draw[color=red,postaction={decorate}]
+	($(Z0)+({asin(\d/0.2)}:0.2)$)
+	--
+	($(Z0)+({asin(\d/2.5)}:2.5)$);
+\end{scope}
+
+\draw (Z0) circle[radius=0.05];
+\node at ($(Z0)+(-0.1,-0.1)$) [below left] {$z_0$};
+
+\node[color=red] at (2.75,1) [above] {$l_1$};
+\node[color=red] at (2.75,1) [below] {$l_2$};
+
+\node[color=red] at ($(Z0)+(45:2.5)$) [above right] {$\gamma_1$};
+\node[color=red] at ($(Z0)+(0,0.2)$) [above] {$\gamma_2$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.pdf
new file mode 100644
index 0000000..82428cc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.tex
new file mode 100644
index 0000000..241dae6
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/logforts.tex
@@ -0,0 +1,65 @@
+%
+% logforts.tex -- analytische Fortsetzung der Logarithmus-Funktion
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{2}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+\def\r{1.2}
+\def\a{65}
+
+\fill[color=gray!40] (0,0) -- (0:0.4) arc (0:\a:0.4) -- cycle;
+\node at ({\a/2}:0.3) {$t$};
+
+\draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}z$}];
+\draw[->] (0,-1.6) -- (0,1.6) coordinate[label={right:$\operatorname{Im}z$}];
+
+\draw (1,{-0.1/\skala}) -- (1,{0.1/\skala});
+\draw (2,{-0.1/\skala}) -- (2,{0.1/\skala});
+\draw (-1,{-0.1/\skala}) -- (-1,{0.1/\skala});
+\draw (-2,{-0.1/\skala}) -- (-2,{0.1/\skala});
+\node at (1,0) [below] {$1$};
+\node at (2,0) [below] {$2$};
+\node at (-1,0) [below] {$-1$};
+\node at (-2,0) [below] {$-2$};
+\draw ({-0.1/\skala},1) -- ({0.1/\skala},1);
+\node at (0,1) [left] {$1$};
+\draw ({-0.1/\skala},-1) -- ({0.1/\skala},-1);
+\node at (0,-1) [left] {$-1$};
+
+\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0:\r) arc (0:357:\r);
+
+\fill[color=white] (0:\r) circle[radius=0.03];
+\draw (0:\r) circle[radius=0.03];
+\node at (0:\r) [above right] {$y(r)=\log r$};
+
+\def\punkt#1{
+	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.03];
+	\draw[color=red] #1 circle[radius=0.03];
+}
+\draw[->] (0,0) -- (\a:\r);
+\punkt{(\a:\r)}
+\node at ($(\a:\r)+(0,-0.2)$) [above right] {$\displaystyle y(\gamma(t)) = \int_{\gamma_{|[0,t]}}\frac{1}{z}\,dz$};
+
+\punkt{(135:\r)}
+\node at (135:\r) [above left] {$y=\gamma(\frac34\pi))=\log r +\frac34\pi i$};
+
+\punkt{(252:\r)}
+\node at (252:\r) [below left] {$y=\gamma(\frac75\pi))=\log r +\frac75\pi i$};
+
+\draw[color=red,line width=0.4pt] (1.4,-1.1) -- (1.4,-0.2) -- (357:\r);
+\punkt{(357:\r)}
+
+\node at (1.4,-1.1) [below] {$y=\gamma(\frac{119}{60}\pi))=\log r +\frac{119}{60}\pi i$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.pdf
new file mode 100644
index 0000000..9cac699
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.pdf
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.tex
new file mode 100644
index 0000000..258e0f5
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/nonanalytic.tex
@@ -0,0 +1,40 @@
+%
+% nonanalytic.tex -- nicht analytische reelle C^\infty-Funktion
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0.01:2.5,samples=100]
+	({2*\x},{4*exp(-1/(\x*\x))});
+\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0.01:2.5,samples=100]
+	({-2*\x},{4*exp(-1/(\x*\x))});
+
+\draw (2,-0.1) -- (2,0.1);
+\draw (4,-0.1) -- (4,0.1);
+\draw (-2,-0.1) -- (-2,0.1);
+\draw (-4,-0.1) -- (-4,0.1);
+
+\node at (2,0) [below] {$1$};
+\node at (4,0) [below] {$2$};
+\node at (-2,0) [below] {$-1$};
+\node at (-4,0) [below] {$-2$};
+
+\draw (-0.1,4) -- (0.1,4);
+\node at (-0.1,4) [left] {$1$};
+
+\draw[->] (-5.1,0) -- (5.4,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-0.1) -- (0,4.4) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/Makefile.inc b/buch/chapters/Makefile.inc
index 6722309..1b3cd5f 100644
--- a/buch/chapters/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/Makefile.inc
@@ -11,4 +11,5 @@ CHAPTERFILES = 								\
 include chapters/000-einleitung/Makefile.inc
 include chapters/020-exponential/Makefile.inc
 include chapters/060-integral/Makefile.inc
+include chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
 
diff --git a/buch/chapters/part1.tex b/buch/chapters/part1.tex
index 293cba7..16c7009 100644
--- a/buch/chapters/part1.tex
+++ b/buch/chapters/part1.tex
@@ -18,7 +18,7 @@
 %\input{chapters/050-differential/chapter.tex}
 \input{chapters/060-integral/chapter.tex}
 %\input{chapters/070-reihenprodukte/chapter.tex}
-%\input{chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex}
+\input{chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex}
 %\input{chapters/090-funktional/chapter.tex}
 % Gamma und Pi
 % Eulersche Beta-Funktion
diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib
index 230f1e1..15c0ea0 100644
--- a/buch/chapters/references.bib
+++ b/buch/chapters/references.bib
@@ -4,23 +4,6 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-@article{BRIN1998107,
-title = "The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine",
-journal = "Computer Networks and ISDN Systems",
-volume = "30",
-number = "1",
-pages = "107 - 117",
-year = "1998",
-note = "Proceedings of the Seventh International World Wide Web Conference",
-issn = "0169-7552",
-doi = "https://doi.org/10.1016/S0169-7552(98)00110-X",
-url = "http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016975529800110X",
-author = "Sergey Brin and Lawrence Page",
-keywords = "World Wide Web, Search engines, Information retrieval, PageRank, Google",
-abstract = "In this paper, we present Google, a prototype of a large-scale search engine which makes heavy use of the structure present in hypertext. Google is designed to crawl and index the Web efficiently and produce much more satisfying search results than existing systems. The prototype with a full text and hyperlink database of at least 24 million pages is available at http://google.stanford.edu/ To engineer a search engine is a challenging task. Search engines index tens to hundreds of millions of Web pages involving a comparable number of distinct terms. They answer tens of millions of queries every day. Despite the importance of large-scale search engines on the Web, very little academic research has been done on them. Furthermore, due to rapid advance in technology and Web proliferation, creating a Web search engine today is very different from three years ago. This paper provides an in-depth description of our large-scale Web search engine — the first such detailed public description we know of to date. Apart from the problems of scaling traditional search techniques to data of this magnitude, there are new technical challenges involved with using the additional information present in hypertext to produce better search results. This paper addresses this question of how to build a practical large-scale system which can exploit the additional information present in hypertext. Also we look at the problem of how to effectively deal with uncontrolled hypertext collections where anyone can publish anything they want."
-}
-
-
 @book{buch:mathsem-wavelets,
 	title = {Mathematisches Seminar Wavelets},
 	author = { Andreas M"uller and others },
@@ -44,10 +27,10 @@ abstract = "In this paper, we present Google, a prototype of a large-scale searc
 @online{buch:repo,
 	subtitle = {Source Code Repository},
 	author = {Andreas Müller},
-	url = {https://github.com/AndreasFMueller/SeminarNumerik.git},
+	url = {https://github.com/AndreasFMueller/SeminarSpezielleFunktionen.git},
 	DAY = 6,
 	MONTH = {february},
-	YEAR = 2020
+	YEAR = 2022
 }
 
 @book{buch:henrici,