Beispiel & einleitung

beispiel angefangen und einleitung korrigiert

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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
index ab68377..80bd5f4 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
@@ -405,7 +405,7 @@ L
 %
 % Beispiele
 %
-\subsection{Beispiele}
+\subsection{Beispiele\label{sub:beispiele_sturm_liouville_problem}}
 Die meisten der früher vorgestellten Funktionenfamilien stellen sich
 als Lösungen eines geeigneten Sturm-Liouville-Problems heraus.
 Alle Eigenschaften aus der Sturm-Liouville-Theorie gelten daher
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 44c3192..78c1800 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -10,7 +10,7 @@ Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie ent
 Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
 
 \begin{definition}
-	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}
+	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
 Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung
 \begin{equation}
 	\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
@@ -20,7 +20,7 @@ und schreibt die Gleichung um in:
 	\label{eq:sturm-liouville-equation}
 	\frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 
 \end{equation}
-, diese Gleichung wird dann Sturm-liouville-Gleichung bezeichnet.
+, diese Gleichung wird dann Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
 \end{definition}
 
 Alle homogene 2.Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden.
@@ -71,6 +71,7 @@ Die Funktionen für das reguläre und das singuläre Sturm-Liouville-Problem sin
 \subsection{Das reguläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
 Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden.
 \begin{definition}
+	\label{def:reguläres_sturm-liouville-problem}
 	\index{regläres Sturm-Liouville-Problem}
 	Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
 	\begin{itemize}
@@ -91,6 +92,7 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis
 \subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}}
 Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind.
 \begin{definition}
+	\label{def:singulär_sturm-liouville-problem}
 	\index{singuläres Sturm-Liouville-Problem}
 Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn:
 	\begin{itemize}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 54f13d4..391841a 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,4 +4,53 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Tschebyscheff}
\ No newline at end of file
+\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgeliste, und zwar mit
+\begin{align*}
+	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
+	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
+	q(x) &= 0
+\end{align*}.
+Da die Sturm-Liouville-Gleichung
+\begin{equation}
+	\label{eq:sturm-liouville-equation}
+	\frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 
+\end{equation}
+nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen
+\begin{equation}
+	T_n(x) = \cos n (\arccos x)
+\end{equation}.
+Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
+\begin{equation}
+	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
+		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
+\end{equation},
+jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $\[ -1, 1\]$ sichergestellt.
+Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen.
+Die Funktion
+\begin{equation*}
+	p(x)^-1 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\end{equation*}
+ist die gleiche wie $w(x)$.
+
+Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
+Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $\[ -1,1 \]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
+Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= h_a 
+\end{aligned} 
+\end{equation}
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