simpliziale Approximation

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index 6cf49c2..f720c76 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
@@ -4,9 +4,9 @@ Die Definition der Homologiegruppen $H_k(C)$ als Quotient von
 Vektorräumen ist ziemlich abstrakt.
 Sie besteht aus Klassen von Zyklen, die sich höchstens um einen
 Rand unterscheiden.
-% XXX Verweise auf Visualisierung
 Indem wir eine geeignete Basis wählen, können wir konkrete Zyklen
 identifizieren, die eine Basis für den Vektorraum $H_k(C)$ bilden.
+Dies soll im Folgenden schrittweise durchgeführt werden.
 
 \begin{figure}
 \centering
@@ -47,7 +47,7 @@ Sie ist
 \setcounter{MaxMatrixCols}{27}
 \partial_1
 =
-\tiny
+\footnotesize
 \setlength\arraycolsep{2pt}
 \begin{pmatrix*}[r]
 %1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
@@ -69,32 +69,37 @@ Sie ist
 \end{pmatrix*}
 \]
 Die reduzierte Zeilenstufenform von $\partial_1$ ist
+(Pivotpositionen in {\color{red}rot}, frei wählbare Variablen
+in {\color{darkgreen}grün})
 \begin{center}
-\tiny
+%\tiny
+\scriptsize
+%\footnotesize
 \setlength\tabcolsep{3pt}
 \begin{tabular}{|>{$}r<{$}|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}|}
 \hline
-&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27\\
+  & 1& 2& 3& 4& 5&{\color{darkgreen}6}& 7&{\color{darkgreen}8}& 9&{\color{darkgreen}10}&11&{\color{darkgreen}12}&{\color{darkgreen}13}&{\color{darkgreen}14}&15&{\color{darkgreen}16}&17&{\color{darkgreen}18}&19&{\color{darkgreen}20}&21&{\color{darkgreen}22}&23&{\color{darkgreen}24}&{\color{darkgreen}25}&26&{\color{darkgreen}27}\\
 \hline
- 1&1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
- 2&0& 1& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
- 3&0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 4&0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 5&0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
- 6&0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 7&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
- 8&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
- 9&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
-10&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
-11&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\
-12&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\
-13&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1&-1& 0& 1\\
-14&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1&-1\\
-15&0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 1&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 2& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 3& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 4& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 5& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+ 6& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 7& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
+ 8& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
+ 9& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0\\
+10& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
+11& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0&-1& 0& 1& 1& 0&-1\\
+12& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1& 0& 0& 1& 0&-1\\
+13& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1&-1& 0& 1\\
+14& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&\phantom{-}{\color{red}1}&-1\\
+15& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
 \hline
 \end{tabular}.
 \end{center}
-Daraus kann man die Zyklen wie folgt ablesen:
+Daraus kann man die Zyklen wie folgt ablesen, indem man jeweils
+genau eine frei wählbare Variable auf $1$ setzt:
 {
 \begin{align*}
 z_1
@@ -365,7 +370,7 @@ z_8 % variable 18 = 1
 -1\\
  0\\
  0\\
- 1\\
+-1\\
  0\\
  0\\
  0\\
@@ -569,7 +574,7 @@ Aus den Abbildungen~\ref{buch:homologie:fig:homocycles} und
 \ref{buch:homologie:fig:homoboundaries} kann man auch ablesen,
 wie die Ränder $\partial_2e_i^{(2)}$ aus den Zyklen von $\mathcal{Z}_1$
 linear kombiniert werden können.
-Man erhält so die Beziehungen.
+Man erhält so die Beziehungen
 \begin{equation}
 \setcounter{MaxMatrixCols}{29}
 \setlength\arraycolsep{1pt}
@@ -578,11 +583,11 @@ Man erhält so die Beziehungen.
 \partial_2e_2^{(2)} &=&   & &z_2& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
 \partial_2e_3^{(2)} &=&   & &   & &z_3& &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
 \partial_2e_4^{(2)} &=&   & &   & &   & &z_4& &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
-\partial_2e_5^{(2)} &=&   & &   & &   & &   &-&z_5& &   &+&z_7& &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
-\partial_2e_6^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   &-&z_6& &   &+&z_8& &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_5^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &z_5& &   &+&z_7& &   & &   & &      & &      & &      & &      \\
+\partial_2e_6^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &z_6& &   &+&z_8& &   & &      & &      & &      & &      \\
 \partial_2e_7^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &z_{10}& &      & &      & &      \\
 \partial_2e_8^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &z_{11}& &      & &      \\
-\partial_2e_9^{(2)} &=&   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &   & &      & &      &-&z_{12}&+&z_{13}
+\partial_2e_9^{(2)} &=&   &\phantom{+}&   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &   &\phantom{+} &      &\phantom{+} &      & &z_{12}&+&z_{13}
 \end{array}
 \end{equation}
 Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke
@@ -766,31 +771,33 @@ mit Hilfe von Rändern der Zeilen 1--9 kombiniert werden können.
 \scriptstyle\partial_2e_8^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&  &  & 1&\phantom{-}1&  &  &  \\
 \scriptstyle\partial_2e_9^{(2)}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
 \hline
-%                    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
-\scriptstyle z_{ 1}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 2}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 3}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 4}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 5}&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 6}&  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 7}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 8}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{ 9}&  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &-1&-1&-1&-1&  &  &  \\
-\scriptstyle z_{10}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{11}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
-\scriptstyle z_{12}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &-1&-1\\
-\scriptstyle z_{13}&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+%                     1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
+\scriptstyle z_{ 1}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 2}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 3}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 4}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 5}'&  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 6}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &-1&-1&  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 7}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 8}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{ 9}'&  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &  &-1&-1&-1&-1&  &  &  \\
+\scriptstyle z_{10}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{11}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
+\scriptstyle z_{12}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1& 1&  &  &-1&-1\\
+\scriptstyle z_{13}'&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
 \hline
 \end{tabular}
 \caption{Nach Durchführung der Vorwärtsreduktion kann man die Zyklen
 ablesen, die nicht für eine Basis von $H_1$ gebraucht werden.
+Die resultierenden Zyklen sind in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses}
+dargestellt.
 \label{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics{chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf}
-\caption{Repräsentanten für die Reduzierten Klassen aus dem
+\caption{Repräsentanten für die reduzierten Klassen aus dem
 Tableau von
 Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert},
 sie bilden eine Basis der Homologie-Gruppe $H_1$.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
index 1f61a29..03e389b 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex
@@ -10,7 +10,7 @@ Euler hat für dreidimensionale Polyeder eine Invariante gefunden,
 die unabhängig ist von der Triangulation.
 
 \begin{definition}
-\label{buch:homologie:def:eulerchar}
+\label{buch:homologie:def:eulerchar0}
 Ist $E$ die Anzahl der Ecken, $K$ die Anzahl der Kanten und $F$
 die Anzahl der Flächen eines dreidimensionalen Polyeders $P$, dann
 heisst
@@ -32,6 +32,7 @@ Vektorräume $B_k(C)$ und $Z_k(C)$ grösser werden.
 Kann man eine Grösse analog zu $\chi(P)$ finden, die sich nicht ändert?
 
 \begin{definition}
+\label{buch:homologie:def:eulerchar}
 Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst
 \[
 \chi(C) = \sum_{k=0}^n (-1)^k\dim H_k(C)
@@ -39,6 +40,14 @@ Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst
 die Euler-Charakteristik von $C$.
 \end{definition}
 
+Die Summe in Definition~\ref{buch:homologie:def:eulerchar} erstreckt
+sich bis zum Index $n$, der Dimension des Simplexes höchster Dimension
+in einem Polyeder.
+Für $k>n$ ist $H_k(C)=0$, es ändert sich also nichts, wenn wir
+die Summe bis $\infty$ erstrecken, da die zusätzlichen Terme alle
+$0$ sind.
+Wir werden dies im folgenden zur Vereinfachung der Notation tun.
+
 Die Definition verlangt, dass man erst die Homologiegruppen
 berechnen muss, bevor man die Euler-Charakteristik bestimmen
 kann.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
index 80daaee..b3b184e 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/fixpunkte.tex
@@ -54,6 +54,18 @@ Dimension, die Matrizen $H_k(f)$ sind also relativ klein.
 Es ist aber nicht klar, dass beide Berechnungsmethoden für die 
 Lefshetz-Zahl auf das gleiche Resultat führen müssen.
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/images/approximation.pdf}
+\caption{Stückweise lineare Approximation einer Abbildung derart,
+dass die Bildpunkt von Knoten auf Gitterpunkte fallen.
+Die Abbildung wird damit zu einer Abbildung von Polyedern und
+die induzierte Abbildung der Kettenkomplexe lässt sich direkt berechnen.
+Wenn die Auflösung des Gitters klein genug ist, hat die Approximation
+einer Abbildung ohne Fixpunkte immer noch keine Fixpunkte.
+\label{buch:homologie:fig:simplapprox}}
+\end{figure}%
+
 \begin{proof}[Beweis]
 Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:induzierte-abbildung} wurde gezeigt,
 dass die Basis des Komplexes immer so gewählt werden kann, dass für
@@ -78,7 +90,7 @@ werden:
 \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,B})
 \\
 &=
-\sum_{k=0} (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}).
+\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\operatorname{Spur}(f_{k,Z}).
 \intertext{Die Abbildung $H_k(f)$ hat $f_{k,Z}$ als Matrix, also ist
 die letzte Form gleichbedeutend mit}
 &=
@@ -100,6 +112,7 @@ ist $\lambda(f) \ne 0$, dann hat $f$ einen Fixpunkt.
 Im Folgenden soll nur ein heuristisches Argument gegeben werden, warum
 ein solcher Satz wahr sein könnte.
 
+
 Wenn eine Abbildung keinen Fixpunkt hat, dann ist $f(x) \ne x$ für alle
 Punkte von $X$.
 Da $X$ kompakt ist, gibt es einen minimalen Abstand $d$ zwischen $f(x)$ und $x$.
@@ -109,6 +122,9 @@ Punkte im selben Simplex oder in einem Nachbarsimplex abgebildet wird.
 Indem man nötigenfalls die Triangulation nochmals verfeinert, kann man auch
 genügend Platz schaffen, dass man die Abbildung $f$ etwas modifizieren kann,
 so dass auch die deformierte Abbildung immer noch diese Eigenschaft hat.
+Die Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:simplapprox} illustriert, wie eine
+Abbildung durch eine andere approximiert werden kann, die die Triangulation
+im Bildraum respektiert.
 
 Die zugehörige Abbildung des Kettenkomplexes der Triangulation hat damit
 die Eigenschaft, dass kein Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
index 9874ddd..383c8df 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/homologieketten.tex
@@ -1,3 +1,8 @@
+%
+% homologieketten.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
 \subsection{Homologie eines Kettenkomplexes
 \label{buch:subsection:homologie-eines-kettenkomplexes}}
 Wegzusammenhang lässt sich untersuchen, indem man in der Triangulation
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
index 50c2b0d..bc85c55 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/Makefile
@@ -4,7 +4,8 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 all:	complexbasis.pdf homocycles.pdf homoboundaries.pdf homoclasses.pdf \
-	gausshomoex.pdf gausshomobasis.pdf dreieck.pdf polyeder.pdf
+	gausshomoex.pdf gausshomobasis.pdf dreieck.pdf polyeder.pdf \
+	approximation.pdf
 
 dreieck.pdf:	dreieck.tex
 	pdflatex dreieck.tex
@@ -30,3 +31,9 @@ homoclasses.pdf:	homoclasses.tex
 complexbasis.pdf:	complexbasis.tex
 	pdflatex complexbasis.tex
 
+approximation.pdf:	approximation.tex approx.tex
+	pdflatex approximation.tex
+
+approx.tex:	approx.m
+	octave approx.m
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m b/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m
new file mode 100644
index 0000000..0db41c2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approx.m
@@ -0,0 +1,77 @@
+#
+# approx.m
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+x = zeros(7,7);
+y = zeros(7,7);
+
+s = 1.05;
+
+for i = (1:7)
+	winkel = (i-1) * 8.333333 + 20;
+	for j = (1:7)
+		radius = (j-1) * 0.5 + 3;
+		x(i,j) = 1.05 * radius * cosd(winkel);
+		y(i,j) = 1.05 * radius * sind(winkel);
+	endfor
+endfor
+
+X = x;
+Y = y;
+for i = (1:7)
+	for j = (1:7)
+		X(i,j) = round(2 * x(i,j)) / 2;
+		Y(i,j) = round(2 * y(i,j)) / 2;
+	endfor
+endfor
+
+fn = fopen("approx.tex", "w");
+
+
+for i = (1:6)
+	for j = (1:6)
+		winkel = (i-1+0.6666) * 8.33333 + 20;
+		radius = (j-1+0.3333) * 0.5 + 3;
+		fprintf(fn, "\\definecolor{mycolor}{rgb}{%.2f,%.2f,%.2f};\n",
+			(winkel - 20) / 50, 0.8, (radius-3)/3);
+		fprintf(fn, "\\fill[color=mycolor] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- cycle;\n",
+			X(i,j), Y(i,j),
+			X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1),
+			X(i+1,j), Y(i+1,j));
+		winkel = (i-1+0.3333) * 8.33333 + 20;
+		radius = (j-1+0.6666) * 0.5 + 3;
+		fprintf(fn, "\\definecolor{mycolor}{rgb}{%.2f,%.2f,%.2f};\n",
+			(winkel - 20) / 50, 0.8, (radius-3)/3);
+		fprintf(fn, "\\fill[color=mycolor] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f) -- cycle;\n",
+			X(i,j), Y(i,j),
+			X(i,j+1), Y(i,j+1),
+			X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1));
+	endfor
+endfor
+
+linewidth = 0.4;
+
+fprintf(fn, "\\gitter\n");
+	
+for i = (1:7)
+	for j = (1:6)
+		fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth,
+			X(i,j), Y(i,j), X(i,j+1), Y(i,j+1));
+	endfor
+endfor
+for i = (1:6)
+	for j = (1:7)
+		fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth,
+			X(i,j), Y(i,j), X(i+1,j), Y(i+1,j));
+	endfor
+endfor
+for i = (1:6)
+	for j = (1:6)
+		fprintf(fn, "\\draw[color=darkred,line width=%.1fpt] (%.3f,%.3f) -- (%.3f,%.3f);\n", linewidth,
+			X(i,j), Y(i,j), X(i+1,j+1), Y(i+1,j+1));
+	endfor
+endfor
+
+fclose(fn)
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf
new file mode 100644
index 0000000..8bdd2e7
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex
new file mode 100644
index 0000000..042f0e2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/approximation.tex
@@ -0,0 +1,69 @@
+%
+% approximation.tex -- Approximation einer Abbildung durch eine simpliziale
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1.3}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0}
+\definecolor{darkred}{rgb}{0,0,0}
+
+\def\gitter{
+	\foreach \x in {1,1.5,...,6}{
+		\draw[color=gray] (\x,1) -- (\x,6);
+		\draw[color=gray] (1,\x) -- (6,\x);
+	}
+}
+
+\def\s{1.05}
+
+\def\colorsector{
+	\foreach \r in {3,3.2,...,5.8}{
+		\foreach \a in {20,...,69}{
+			\pgfmathparse{(\a-20)/50}
+			\xdef\rot{\pgfmathresult}
+			\pgfmathparse{(\r-3)/3}
+			\xdef\blau{\pgfmathresult}
+			\definecolor{mycolor}{rgb}{\rot,0.8,\blau}
+			\fill[color=mycolor]
+				(\a:{\s*\r}) -- (\a:{\s*(\r+0.2)}) -- ({\a+1}:{\s*(\r+0.2)}) -- ({\a+1}:{\s*\r}) -- cycle;
+		}
+	}
+}
+
+\begin{scope}[xshift=0cm]
+\colorsector
+\gitter
+\foreach \r in {3,3.5,...,6.0}{
+	\draw[color=black,line width=0.4pt] (20:{\s*\r}) arc (20:70:{\s*\r});
+}
+\foreach \a in {20,28.3333,...,70}{
+	\draw[color=black,line width=0.4pt] (\a:{\s*3}) -- (\a:{\s*6});
+}
+\begin{scope}
+\clip (20:{\s*3}) -- (20:{\s*6}) arc (20:70:{\s*6}) -- (70:{\s*3});
+\foreach \a in {-5,...,5}{
+	\draw[color=black,line width=0.4pt]
+		plot[domain={20+8.33333*\a}:{70+8.3333*\a},samples=100]
+			(\x:{\s*(3+3*(\x-(20+8.3333*\a))/50)});
+}
+\end{scope}
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=5.5cm]
+\input{approx.tex}
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf
index 644f334..fb94ec8 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex
index ef8fd1a..53087fa 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoboundaries.tex
@@ -14,7 +14,7 @@
 \def\skala{1}
 \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
 
-\def\s{0.4}
+\def\s{0.55}
 
 \def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
 \def\A{\punkt{0}{0}}
@@ -41,6 +41,7 @@
 \def\blau#1#2{
 	\draw[color=blue] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2}
 		-- \punkt{#1}{(#2)+1} -- cycle;
+	\draw[->,color=blue] \punkt{#1}{#2} -- \punkt{#1+1}{#2};
 }
 
 \def\gebiet{
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf
index 217ae75..fbbaedd 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex
index e325d9b..4467f08 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homoclasses.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
 %
-% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+% homoclasses.tex -- template for standalon tikz images
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
@@ -11,11 +11,12 @@
 \usepackage{csvsimple}
 \usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
 \begin{document}
-\def\skala{1}
+\def\skala{1.4}
 \begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
 
 \definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
 \def\s{0.4}
+\def\h{-0.3}
 
 \def\punkt#1#2{({((#1)+0.5*(#2))*\s},{(#2)*\s*sqrt(3)/2})}
 \def\A{\punkt{0}{0}}
@@ -77,25 +78,29 @@
 \begin{scope}
 \gebiet
 \draw[color=darkgreen] \B -- \G -- \J -- \F -- cycle;
-\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_5'$};
+\draw[->,color=darkgreen] \B -- \G;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_5'$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=2cm]
 \gebiet
 \draw[color=darkgreen] \D -- \I -- \L -- \H -- cycle;
-\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_6'$};
+\draw[->,color=darkgreen] \D -- \I;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_6'$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=4cm]
 \gebiet
 \draw[color=darkgreen] \C -- \L -- \N -- \K -- \M -- \J -- cycle;
-\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_9'$};
+\draw[->,color=darkgreen] \C -- \L;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_9'$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=6cm]
 \gebiet
 \draw[color=darkgreen] \K -- \N -- \O -- \M -- cycle;
-\node[color=darkgreen] at ({2*\s},-0.5) {$z_{12}'$};
+\draw[->,color=darkgreen] \K -- \N;
+\node[color=darkgreen] at ({2*\s},{\h}) {$z_{12}'$};
 \end{scope}
 
 
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf
index 075bb65..b68519e 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.pdf
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex
index 898cac6..8f20a0c 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/images/homocycles.tex
@@ -75,79 +75,92 @@
 
 \begin{scope}
 \gebiet
-\draw[color=red] \A -- \B -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=red] \A -- \B -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=red] \A -- \B;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_1$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=2cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \B -- \C -- \G -- cycle;
+\draw[->,color=red] \B -- \C;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_2$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=4cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \C -- \D -- \H -- cycle;
+\draw[->,color=red] \C -- \D;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_3$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=6cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \D -- \E -- \I -- cycle;
+\draw[->,color=red] \D -- \E;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_4$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=8cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \F -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \A -- \B;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_5$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=10cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \H -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \C -- \D;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_6$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=12cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \A -- \B -- \G -- \J -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=red] \A -- \B;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_7$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=0cm,yshift=-3cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \C -- \D -- \I -- \L -- \H -- cycle;
+\draw[->,color=red] \C -- \D;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_8$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=2cm,yshift=-3cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \A -- \B -- \C -- \H -- \L -- \K -- \J -- \F -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \A -- \B;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_9$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=4cm,yshift=-3cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \J -- \K -- \M -- cycle;
+\draw[->,color=red] \J -- \K;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{10}$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=6cm,yshift=-3cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \A -- \B -- \C -- \H -- \L -- \N -- \K -- \J -- \F -- cycle;
+\draw[->,color=red] \A -- \B;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{11}$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=8cm,yshift=-3cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \M -- cycle;
+\draw[<-,color=red] \J -- \K;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{12}$};
 \end{scope}
 
 \begin{scope}[xshift=10cm,yshift=-3cm]
 \gebiet
 \draw[color=red] \J -- \K -- \N -- \O -- \M -- cycle;
+\draw[->,color=red] \J -- \K;
 \node[color=red] at ({2*\s},-0.5) {$z_{13}$};
 \end{scope}