Mathematisches Seminar 2021

Thema: Matrizen

- Reelle und komplexe Vektoren

  * Vektorräume
  * lineare Gleichungssysteme
  * lineare Abhängigkeit
  * Basis
  * Skalarprodukt
  * Abbildungen

- Lineare Algebra mit Matrizen

  * Gleichungssysteme
  * Eigenwerte
  * Minimalpolynome, charakteristisches Polynom
  * Satz von Cayley
  * Normalformen (Jordan)
  * Endliche Körper

- Anwendungen auf Graphen

  * Inzidenzmatrix, Laplace-Operator
  * Wavelets auf Graphen
  * Netzwerke (Kirchhoffsche Sätze, Cayley)

- Matrizengruppen

  * GL_n, SL_n, O(n), SO(n), SO(n,k), U(n), SU(n)
  * Lie-Algebra, z.B. Vektorprodukt
  * Diskrete Gruppen
  * abstrakte Gruppen
  * Wirkung von Gruppen auf Räumen
  * Integration über Gruppen
  * Zerlegung von Gruppen (Iwasawa-Zerlegung)
  * Untergruppen, Faktoren, Bahnen, Normalteiler
  * Exponentialabbildung
  * SL_n(Z)
  * Matrixgruppen in Charakteristik != 0

- Darstellungen

  * Gruppen als Operationen auf Matrizen
  * Klassifikation der Gruppen, warum sind SO(3) und SU(2) so ähnlich

- Algebra-Eigenschaften

  * Operatoren
  * Norm
  * *-Operation
  * normale Operationen
  * Satz von Stone-Weierstrasse
  * kommutative Algebren
  * Spektrum, Gelfand-Transformation

- Analysis mit Matrizen

  * Matrix-Differentialgleichungen
  * Differentialgleichung für die Jacobi-Matrix
  * Newton-Algorithmus für Randwertprobleme
  * Reihenentwicklungen für Operatoren
  * Iterative Lösung von Operatorgleichungen
  * Spektralzerlegung von selbstadjungierten Operatoren
  * analytische Funktionen von Matrizen

- Anwendungen
 
  * Euklidischer Algorithmus und Matrizen
  * Kettenbrüche und Matrizen
  * Polyphasen-Zerlegung
  * Vektorräume über endlichen Körpern und Codierungstheorie
  * Homologie und Kohomologie