Übersicht algebraische Strukturen

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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex
index 6b355ee..9e1d3dc 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex
@@ -5,6 +5,41 @@
 %
 \subsection{Algebren
 \label{buch:grundlagen:subsection:algebren}}
+Die Skalar-Multiplikation eines Vektorraums ist in einem Ring nicht
+vorhanden.
+Die Menge der Matrizen $M_n(\Bbbk)$ ist sowohl ein Ring als auch
+ein Vektorraum.
+Man nennt eine {\em $\Bbbk$-Algebra} oder {\em Algebra über $\Bbbk$}
+ein Ring $A$, der auch eine $\Bbbk$-Vektorraum ist.
+Die Multiplikation des Ringes muss dazu mit der Skalarmultiplikation
+verträglich sein.
+Dazu müssen Assoziativgesetze
+\[
+\lambda(\mu a) = (\lambda \mu) a
+\qquad\text{und}\qquad
+\lambda(ab) = (\lambda a) b
+\]
+für $a,b\in A$ und $\lambda,\mu\in\Bbbk$
+und eine Regel der Form
+\begin{equation}
+a(\lambda b) = \lambda (ab)
+\label{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ}
+\end{equation}
+gelten.
+Die Bedingung \eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ} ist
+eine Folge der Forderung, dass die Multiplikation 
+eine lineare Abbildung sein soll.
+Dies bedeutet, dass
+\begin{equation}
+a(\lambda b+\mu c) = \lambda (ab) + \mu (ac),
+\label{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebralinear}
+\end{equation}
+woraus 
+\eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ}
+für $\mu=0$ folgt.
+Die Regel \eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebralinear}
+beinhaltet aber auch das Distributivgesetz.
+$M_n(\Bbbk)$ ist eine Algebra.
 
 \subsubsection{Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$}
 Sie $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$.
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
index b4e0982..0ff1004 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
@@ -5,7 +5,6 @@
 %
 \subsection{Gruppen
 \label{buch:grundlagen:subsection:gruppen}}
-\rhead{Gruppen}
 Die kleinste sinnvolle Struktur ist die einer Gruppe.
 Eine solche besteht aus einer Menge $G$ mit einer Verknüpfung,
 die additiv
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile
index 779d571..664dff5 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile
@@ -3,10 +3,13 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	ideale.pdf gausszahlen.pdf
+all:	ideale.pdf gausszahlen.pdf strukturen.pdf
 
 ideale.pdf:	ideale.tex
 	pdflatex ideale.tex
 
 gausszahlen.pdf:	gausszahlen.tex
 	pdflatex gausszahlen.tex
+
+strukturen.pdf:	strukturen.tex
+	pdflatex strukturen.tex
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf
index b717fa6..181499c 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.pdf b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c2d545e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.pdf
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.tex
new file mode 100644
index 0000000..0006699
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.tex
@@ -0,0 +1,122 @@
+%
+% strukturen.tex -- Bezug der verschiedenen algebraischen Strukturen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+% assoziative Verknüpfung
+\draw[rounded corners=1cm] (-7,-11.5) rectangle (7,7);
+
+\begin{scope}[yshift=6cm]
+\node at (0,0.5) [left] {{\bf assoziative Verknüpfung}:\strut};
+\node at (0,0.5) [right] {$a(bc)=(ab)c\;\forall a,b,c$\strut};
+\node at (0,-0.3) {\small $\mathbb{N}$, $\Sigma^*$};
+\end{scope}
+
+% Gruppe
+\fill[rounded corners=1cm,color=gray!40] (-6.5,-11.0) rectangle (6.5,5.3);
+\draw[rounded corners=1cm] (-6.5,-11.0) rectangle (6.5,5.3);
+
+\begin{scope}[xshift=-3cm,yshift=4.3cm]
+\node at (0,0.5) [left] {{\bf Gruppe}:};
+\node at (0,0.5) [right] {neutrales Element $e$:\strut};
+\node at (3.3,0.5)  [right] {$eg=ge=g$\strut};
+\node at (5.7,0.5) [right] {$\forall g\in G$\strut};
+\node at (0,0.0) [right] {inverses Element $g^{-1}$:\strut};
+\node at (3.3,0.0) [right] {$gg^{-1}=g^{-1}g=e$\strut};
+\node at (5.7,0.0) [right] {$\forall g\in G$\strut};
+\node at (3,-1) {\small $\mathbb{Z}$, $\operatorname{GL}_n(\mathbb R)$, $S_n$, $A_n$};
+\end{scope}
+
+% abelsche Gruppe
+\fill[rounded corners=0.7cm,color=gray!20] (-6.2,-10.7) rectangle (6.2,2.7);
+\draw[rounded corners=0.7cm] (-6.2,-10.7) rectangle (6.2,2.7);
+\begin{scope}[yshift=1.5cm]
+\node at (0,0.5) [left] {{\bf abelsche Gruppe}:\strut};
+\node at (0,0.5) [right] {$a+b=b+a\;\forall a,b$\strut};
+\node at (0,0.0) {Addition\strut};
+
+\node at (0,-1) {\small $\mathbb{Q}^*$, $\operatorname{SO}(2)$, $C_n$ };
+\end{scope}
+
+\fill[rounded corners=0.5cm,color=white] (-2,-10.5) rectangle (6,-0.5);
+\fill[rounded corners=0.5cm,color=blue!20] (-6,-10.0) rectangle (2,0);
+%\draw[rounded corners=0.5cm] (-6,-10.0) rectangle (2,0);
+
+% Vektorraum
+\begin{scope}[yshift=-1cm]
+\node at (-5.8,0.5) [right] {{\bf Vektorraum}:\strut};
+\node at (-5.8,0.0) [right] {Skalarmultiplikation\strut};
+
+\node at (-5.8,-0.5) [right] {$\lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b$\strut};
+\node at (-5.8,-1.0) [right] {$(\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a$\strut};
+\node at (-5.8,-1.5) [right] {$\forall\lambda,\mu\in \Bbbk\;\forall a,b\in V$};
+
+\node at (-5.8,-2.5) [right] {\small $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}^n$, $l^2$};
+\end{scope}
+
+\fill[rounded corners=0.5cm,color=red!40,opacity=0.5]
+	(-2,-10.5) rectangle (6,-0.5);
+\draw[rounded corners=0.5cm] (-2,-10.5) rectangle (6,-0.5);
+
+\begin{scope}[yshift=-1cm]
+\node at (0,0.0) {{\bf Algebra}:\strut};
+\node at (0,-1.0) {$a(\lambda b) = \lambda ab$\strut};
+\node at (0,-1.5) {$\forall a,b\in A, \lambda\in \Bbbk$\strut};
+\node at (0,-3.0) {\small $c_0(\mathbb{R})$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1cm]
+\node at (5.8,0) [left] {{\bf Ring}:};
+\node at (5.8,-0.5) [left] {Multiplikation};
+
+\node at (5.8,-1.0) [left] {$a(b+c)=ab+ac$\strut};
+\node at (5.8,-1.5) [left] {$(a+b)c=ac+bc$\strut};
+\node at (5.8,-2.0) [left] {$\forall a,b,c\in R$\strut};
+
+\node at (5.8,-3) [left] {\small $c_0(\mathbb{Z})$, $L^2(\mathbb R)$};
+\end{scope}
+
+\fill[rounded corners=0.3cm,color=yellow!20,opacity=0.5]
+	(-1.8,-10.3) rectangle (5.8,-4.5);
+\draw[rounded corners=0.3cm] (-1.8,-10.3) rectangle (5.8,-4.5);
+
+% boundary of blue area
+\draw[rounded corners=0.5cm] (-6,-10.0) rectangle (2,0);
+
+\begin{scope}[yshift=-5cm]
+\node at (5.6,0) [left] {{\bf Ring mit Eins}:};
+\node at (5.6,-1) [left] {$1\cdot a= a\cdot 1 = a\forall a\in R$\strut};
+\node at (5.6,-3) [left] {\small $\mathbb{Z}[X]$, $M_n(\mathbb{Z})$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-5cm]
+\node at (0,0)  {{\bf Algebra mit Eins}};
+\node at (0,-1.2) {\small $M_n(\mathbb R)$, $C([a,b])$};
+\end{scope}
+
+\fill[rounded corners=0.1cm,color=darkgreen!20]
+	(-1.6,-9.8) rectangle (1.6,-6.9);
+\draw[rounded corners=0.1cm] (-1.6,-9.8) rectangle (1.6,-6.9);
+
+\begin{scope}[yshift=-7cm]
+\node at (0,-0.3) {{\bf Körper}:\strut};
+\node at (0,-1) {$a\in K\setminus\{0\}\Rightarrow \exists a^{-1}$\strut};
+\node at (0,-2.2) {\small $\mathbb{F}_p$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}(X)$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
index cc1c5b9..0e106c9 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
@@ -592,7 +592,14 @@ Sie wird auch $C=A^{-1}$ geschrieben.
 
 Die Definition der inversen Matrix stellt sicher, dass $AA^{-1}=E$ gilt,
 daraus folgt aber noch nicht, dass auch $A^{-1}A=E$ ist.
-Die Eigenschaften der Matrizenmultiplikation stellen jedoch sicher,
+Diese Eigenschaft kann man jedoch wie folgt erhalten.
+Sei $C$ die inverse Matrix von $A$, also $AC=E$.
+Sei weiter $D$ die inverse Matrix von $C$, also $CD=E$.
+Dann ist zunächst $A=AE=A(CD)=(AC)D=ED=D$ und weiter
+$CA=CD=E$.
+Mit der Bezeichnung $C=A^{-1}$ erhalten wir also auch $A^{-1}A=E$.
+
+Die Eigenschaften der Matrizenmultiplikation stellen sicher,
 dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Struktur bilden,
 die man Gruppe nennt, die in Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen}
 genauer untersucht wird.
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
index 0a8ab1e..42e2a7e 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
@@ -5,7 +5,6 @@
 %
 \subsection{Ringe und Moduln
 \label{buch:grundlagen:subsection:ringe}}
-\rhead{Ringe}
 Die ganzen Zahlen haben ausser der Addition mit neutralem Element $0$
 auch noch eine Multiplikation mit dem neutralen Element $1$.
 Die Multiplikation ist aber nicht immer invertierbar und zwar
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex
index 6ff4f36..a2afa37 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex
@@ -5,6 +5,15 @@
 %
 \section{Algebraische Strukturen
 \label{buch:section:algebraische-Strukturen}}
+\rhead{Algebraische Strukturen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.pdf}
+\caption{Übersicht über die verschiedenen algebraischen Strukturen, die
+in Abschnitt~\ref{buch:section:algebraische-Strukturen} zusammengestellt
+werden.
+\label{buch:vektorenmatrizen:fig:strukturen}}
+\end{figure}
 Im Laufe der Definition der Vektorräume $\Bbbk^n$ und der
 Operationen für die Matrizen in $M_{m\times n}(\Bbbk)$ haben
 wir eine ganze Reihe von algebraischen Strukturen kennengelernt.
@@ -20,6 +29,7 @@ ein.
 In diesem Abschnitten sollen diesen sinnvollen Gruppierungen von
 Eigenschaften Namen gegeben werden.
 
+
 \input{chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex}
 \input{chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex}
 \input{chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex}
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex
index c1318fe..42cd0a1 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex
@@ -401,9 +401,9 @@ A
 \]
 vereinfacht werden.
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}[Google-Matrix]
 Die Matrix
-\[
+\begin{equation}
 G
 =
 \alpha H
@@ -416,7 +416,8 @@ G
 \alpha H
 +
 (1-\alpha)qU^t
-\]
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:google-matrix}
+\end{equation}
 heisst die
 {\em Google-Matrix}.
 \index{Google-Matrix}%
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile
index 8042eb1..24c0631 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/Makefile
@@ -4,7 +4,8 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschulen
 #
 all:	dreieck.pdf trenn.pdf vergleich.pdf vergleich.jpg \
-	positiv.pdf positiv.jpg diffusion.png diffusion.pdf
+	positiv.pdf positiv.jpg diffusion.png diffusion.pdf \
+	konvex.pdf
 
 # Visualisierung diffusion in einer primitiven Matrix
 diffusion.pdf:	diffusion.tex diffusion.jpg
@@ -53,3 +54,7 @@ dreieck.pdf:	dreieck.tex drei.inc
 
 drei.inc:	dreieck.m
 	octave dreieck.m
+
+# Konvex
+konvex.pdf:	konvex.tex
+	pdflatex konvex.tex
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/konvex.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/konvex.pdf
new file mode 100644
index 0000000..f77cc62
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/konvex.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/konvex.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/konvex.tex
new file mode 100644
index 0000000..05bbc60
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/konvex.tex
@@ -0,0 +1,75 @@
+%
+% konvex.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc,hobby}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\punkt#1{
+	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.05];
+	\draw #1 circle[radius=0.05];
+}
+
+\begin{scope}[xshift=-3cm]
+\coordinate (O) at (0,0);
+\coordinate (A) at (-1,5);
+\coordinate (B) at (3,2);
+\draw[->] (O) -- (A);
+\draw[->] (O) -- (B);
+\begin{scope}
+\clip (-2,0) rectangle (4,6);
+\draw[color=red!40,line width=0.4pt] ($2*(B)-(A)$) -- ($2*(A)-(B)$);
+\end{scope}
+\draw[color=red,line width=1.5pt] (A) -- (B);
+\punkt{(O)}
+\punkt{(A)}
+\punkt{(B)}
+\node at (O) [below left] {$O$};
+\node at (A) [above right] {$A$};
+\node at (B) [above right] {$B$};
+\node at ($0.5*(A)$) [left] {$\vec{a}$};
+\node at ($0.5*(B)$) [below right] {$\vec{b}$};
+\fill[color=white] ($0.6*(A)+0.4*(B)$) circle[radius=0.05];
+\draw[color=red] ($0.6*(A)+0.4*(B)$) circle[radius=0.05];
+\node[color=red] at ($0.6*(A)+0.4*(B)$) [above right] {$t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4cm]
+\coordinate (O) at (0,0);
+\coordinate (A) at (-1,3);
+\coordinate (B) at (2,5);
+\coordinate (C) at (4,1);
+\draw[->] (O) -- (A);
+\draw[->] (O) -- (B);
+\draw[->] (O) -- (C);
+\fill[color=red!50,opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
+\draw[color=red,line width=1.5pt,opacity=0.7] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
+\punkt{(O)}
+\punkt{(A)}
+\punkt{(B)}
+\punkt{(C)}
+\node at (O) [below left] {$O$};
+\node at (A) [left] {$P_1$};
+\node at (B) [above] {$P_2$};
+\node at (C) [right] {$P_3$};
+\node at ($0.5*(A)$) [left] {$\vec{p}_1$};
+\node at ($0.3*(B)$) [right] {$\vec{p}_2$};
+\node at ($0.5*(C)$) [below] {$\vec{p}_3$};
+\fill[color=white] ($0.5*(C)+0.3*(A)+0.2*(B)$) circle[radius=0.05];
+\draw[color=red] ($0.5*(C)+0.3*(A)+0.2*(B)$) circle[radius=0.05];
+\node[color=red] at ($0.5*(C)+0.3*(A)+0.2*(B)$) [above] {$\displaystyle\sum_{t=1}^3 t_i\vec{p}_i$};
+\end{scope}
+
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf
index bbcc95a..f065f76 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/vergleich.pdf
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex
index 0d77926..9df7e89 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/markov.tex
@@ -439,6 +439,17 @@ Das Problem, die stationären Verteilungen von $T$ zu finden, ist
 auf die Untermatrizen $T_i$ reduziert worden.
 
 \subsubsection{Die konvexe Menge der stationären Verteilungen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/konvex.pdf}
+\caption{Die Konvexe Kombination von Vektoren $\vec{p}_1,\dots,\vec{p}_n$ ist
+eine Summe der Form $\sum_{i=1}^n t_i\vec{p}_i$ wobei die $t_i\ge 0$
+sind mit $\sum_{i=1}^nt_i=1$.
+Für zwei Punkte bilden die konvexen Kombinationen die Verbindungsstrecke
+zwischen den Punkten, für drei Punkte in drei Dimensionen spannen die
+konvexen Kombinationen ein Dreieck auf.
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:konvex}}
+\end{figure}
 Die stationären Verteilungen
 \[
 \operatorname{Stat}(T)
@@ -674,6 +685,7 @@ E&R\\
 \right).
 \]
 Die Matrix $R$ beschreibt die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man
+ausgehend von einem transienten Zustand
 in einem bestimmten absorbierenden Zustand landet.
 Die Matrix $Q$ beschreibt die Übergänge, bevor dies passiert.
 Die Potenzen von $T$ sind
@@ -698,7 +710,7 @@ E&R+RQ+RQ^2 \\
 \end{array}
 \right),
 \;
-\dots
+\dots,
 \;
 T^k
 =
@@ -740,9 +752,90 @@ Wenn der Prozess genau im Schritt $k$ zum ersten Mal Zustand $i$
 ankommt, dann ist $E(k)$ die mittlere Wartezeit.
 Der Prozess verbringt also zunächst $k-1$ Schritte in transienten
 Zuständen, bevor er in einen absorbierenden Zustand wechselt.
-Die Wahrscheinlichkeit ausgehend vom transjenten Zustand $j$ in
-genau $k$ Schritten im absorbierenden Zustand zu landen ist
-das Matrix-Element $(i,j)$ der Matrix $RQ^{k-1}$.
+
+Wir brauchen die Wahrscheinlichkeit für einen Entwicklung des Zustandes
+ausgehend vom Zustand $j$, die nach $k-1$ Schritten im Zustand $l$
+landet, von wo er in den absorbierenden Zustand wechselt.
+Diese Wahrscheinlichkeit ist
+\[
+P(X_k = i\wedge X_{k-1} = l \wedge X_0=j)
+=
+\sum_{i_1,\dots,i_{k-2}}
+r_{il} q_{li_{k-2}} q_{i_{k-2}i_{k-3}}\dots q_{i_2i_1} q_{i_1j}
+\]
+Von den Pfaden, die zur Zeit $k-1$ im Zustand $l$ ankommen gibt es
+aber auch einige, die nicht absorbiert werden.
+Für die Berechnung der Wartezeit möchten wir nur die Wahrscheinlichkeit
+innerhalb der Menge der Pfade, die auch tatsächlich absorbiert werden,
+das ist die bedingte Wahrscheinlichkeit
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+P(X_k = i\wedge X_{k-1} = l \wedge X_0=j|X_k=i)
+&=
+\frac{
+P(X_k = i\wedge X_{k-1} = l \wedge X_0=j)
+}{
+P(X_k=i)
+}
+\\
+&=
+\sum_{i_1,\dots,i_{k-2}}
+q_{li_{k-2}} q_{i_{k-2}i_{k-3}}\dots q_{i_2i_1} q_{i_1j}.
+\end{aligned}
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:ankunftswahrscheinlichkeit}
+\end{equation}
+Auf der rechten Seite steht das Matrixelement $(l,j)$ von $Q^{k-1}$.
+
+% XXX Differenz 
+
+Für die Berechnung der erwarteten Zeit ist müssen wir die
+Wahrscheinlichkeit mit $k$ multiplizieren und summieren:
+\begin{align}
+E(k)
+&=
+\sum_{k=0}^\infty
+k(
+q^{(k)}_{lj} 
+-
+q^{(k-1)}_{lj} 
+)
+\notag
+\\
+&=
+\dots
++
+(k+1)(
+q^{(k)}_{lj} 
+-
+q^{(k+1)}_{lj} 
+)
++
+k(
+q^{(k-1)}_{lj} 
+-
+q^{(k)}_{lj} 
+)
++
+\dots
+\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:telescope}
+\\
+&=
+\dots
++
+q^{(k-1)}_{lj}
++
+\dots
+=
+\sum_{k} q^{(k)}_{lj}.
+\notag
+\end{align}
+In zwei benachbarten Termen in 
+\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:telescope}
+heben sich die Summanden $kq^{(k)}_{lj}$ weg, man spricht von
+einer teleskopischen Reihe.
+Die verbleibenden Terme sind genau die Matrixelemente der Fundamentalmatrix $N$.
+Die Fundamentalmatrix enthält also im Eintrag $(l,j)$ die Wartezeit
+bis zur Absorption über den Zustand $l$.
 
 \subsubsection{Wartezeit}
 % XXX Mittlere Zeit bis zu einem bestimmten Zustand
diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex
index c49ffd6..9f8f38f 100644
--- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex
+++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex
@@ -689,6 +689,18 @@ Dann gibt es einen positiven Eigenvektor zum Eigenwert $\varrho(A)$,
 mit geometrischer und algebraischer Vielfachheit $1$.
 \end{satz}
 
+\begin{beispiel}
+In der Google-Matrix mit freiem Willen
+nach
+\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:google-matrix}
+enthält den Term $((1-\alpha)/N)UU^t$.
+Die Matrix $UU^t$ ist eine Matrix aus lauter Einsen, der Term
+ist also für $\alpha < 1$ eine positive Matrix.
+Die Google-Matrix ist daher eine positive Matrix.
+Nach dem Satz von Perron-Frobenius ist die Grenzverteilung
+eindeutig bestimmt.
+\end{beispiel}
+
 Der Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius}
 von Perron-Frobenius kann auf primitive Matrizen verallgemeinert
 werden.
@@ -704,4 +716,6 @@ und er hat geometrische und algebraische Vielfachheit $1$.
 Nach Voraussetzung gibt es ein $n$ derart, dass $A^n>0$.
 Für $A^n$ gelten die Resultate von 
 Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:perron-frobenius}.
+
+XXX TODO
 \end{proof}