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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
index 9848469..7628942 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
@@ -182,7 +182,7 @@ begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist.
 Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe
 bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$.
 
-\subsubsection{Homomorphismen}
+\subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen}
 Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus,
 dass sie die algebraische Struktur des Vektorraumes respektieren.
 Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung,
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
index c7a7d64..b6a76c1 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/punktgruppen/Makefile.inc
@@ -9,5 +9,6 @@ dependencies-punktgruppen =	\
 	papers/punktgruppen/intro.tex \
 	papers/punktgruppen/symmetry.tex \
 	papers/punktgruppen/crystals.tex \
+	papers/punktgruppen/piezo.tex \
 	papers/punktgruppen/references.bib
 
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/main.tex b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
index cbd2af6..d88e221 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/main.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/main.tex
@@ -11,7 +11,11 @@
 \input{papers/punktgruppen/intro}
 \input{papers/punktgruppen/symmetry}
 \input{papers/punktgruppen/crystals}
+\input{papers/punktgruppen/piezo}
 
 \nocite{punktgruppen:pinter-algebra}
+\nocite{punktgruppen:sands-crystal}
+\nocite{punktgruppen:lang-elt2}
+
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
new file mode 100644
index 0000000..7ee4174
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -0,0 +1 @@
+\section{Piezoelektrizit\"at}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/references.bib b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
index 0d4e30a..9edb8bd 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/references.bib
+++ b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
@@ -11,37 +11,25 @@
 	year = {2010},
 	month = {1},
 	day = {10},
-	isbn = {978-0486474175},
+	isbn = {978-0-486-47417-5},
 	inseries = {Dover Books on Mathematics},
-	volume = {1}
 }
 
+@book{punktgruppen:sands-crystal,
+	title = {Introduction to Crystallography},
+	author = {Donald E. Sands},
+	publisher = {Dover Publications Inc.},
+	year = {1993},
+	isbn = {978-0-486-67839-9},
+	inseries = {Dover Books on Science},
+}
 
-@online{punktgruppen:bibtex,
-	title = {BibTeX},
-	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
-	date = {2020-02-06},
+@book{punktgruppen:lang-elt2,
+	title = {Elektrotechnik 2},
+	author = {Hans-Dieter Lang},
+	publisher = {Fachhochschule Ostschweiz Rapperswil},
 	year = {2020},
 	month = {2},
-	day = {6}
-}
-
-@book{punktgruppen:numerical-analysis,
-	title = {Numerical Analysis},
-	author = {David Kincaid and Ward Cheney},
-	publisher = {American Mathematical Society},
-	year = {2002},
-	isbn = {978-8-8218-4788-6},
-	inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
-	volume = {2}
+	inseries = {Vorlesungsskript zum Modul ELT},
 }
 
-@article{punktgruppen:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
-        title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
-        journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
-        year = 2019,
-        volume = 47,
-        pages = {607--627},
-        url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
-}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 4b179b0..db05ff5 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -2,8 +2,8 @@
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
 ursprünglichen griechischen Wort
 \(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ``ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
-verhältnismässig''} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
+\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
+verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
 locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
 präzise Bedeutung.
 \begin{definition}[Symmetrie]
@@ -85,7 +85,7 @@ nun eingeführt wird.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
 	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
-	Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\)
+	Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
 	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
 	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
@@ -109,7 +109,7 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
 	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
 		= \left\{
 				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
-			\right\}.
+		\right\}.
 \]
 Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
 Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
@@ -121,10 +121,12 @@ Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
 Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
 	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
-	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass
-	für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man
-	sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass
-	\(H\) eine Darstellung von \(G\) ist.
+	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
+	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
+	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
+	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
+	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von
+	\(G\) ist.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
 	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
@@ -137,8 +139,8 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 	\]
 	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
 	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
-	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass
-	\(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
+	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
 	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
@@ -147,4 +149,34 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
 \end{beispiel}
 
+Die Symmetrien, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens
+einen Punkt unbesetzt gelassen. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei
+der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
+Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
+verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
+unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
+\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v}
+= \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören.
+Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Punktsymmetrie.
+\begin{definition}[Punktgruppe]
+	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
+	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
+	Punktgruppe ist.
+\end{definition}
+Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
+eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
+nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
+Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
+hat, wenn es die Gleichung 
+\[
+	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
+\]
+für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
+Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
+zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
+dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
+
+% \subsection{Sch\"onflies notation} 
+
 % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de: