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Bonuskapitel hinzugefügt: Anwendungen des Reed-Solomon-Codes

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diff --git a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex
new file mode 100644
index 0000000..83e0f94
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex
@@ -0,0 +1,93 @@
+%
+% anwendungen.tex -- Anwendungen des Reed-Solomon-Codes
+%
+% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Anwendungen des Reed-Solomon-Codes
+	\label{reedsolomon:section:anwendung}}
+\rhead{Anwendungen}
+\textcolor{red}{Platzierung der Bilder? Quellenangabe der Bilder?}
+
+In den vorherigen Abschnitten haben wir betrachtet, wie Reed-Solomon-Codes in der Theorie Funktionieren. 
+In diesem Abschnitt werden wir einige Anwendungen vorstellen, bei denen ein Reed-Solomon-Code zum Einsatz kommt.
+Obwohl alle diese Codes nach dem gleichen Prinzip arbeiten gibt es starke Unterschiede in deren Funktionsweise. 
+Dies kommt vor allem daher, da die Codes nur Ressourcen zur Verfügung haben, die von der Hardware bereitstellt wird,  auf denen die Codes implementiert wurden.
+Diese Codes bedienen sich daher verschiedener Tricks und Optimierungen um möglichst effizient zu arbeiten.
+%
+%Dies kommt vor allem daher, da diese Codes an ihre Hardware gebunden sind, auf denen sie implementiert worden sind.
+%Deshalb wurden diese Codes stark optimiert damit sie möglichst Effizient arbeiten können. 
+%
+%Um diese Hardware möglichst effizient zu nutzen wurden gewisse mathematische tricks angewendet um den Code möglichst effizient zu nutzen. 
+%
+% um mit maximaler Effizienz zu arbeiten. 
+%Es überrascht daher nicht, dass vor allem ältere Codes im binären Körper $\mathbb{F}_{2}$ arbeiten.
+%
+% um den Code mit maximaler Effizienz zu nutzen. 
+%
+%Alle diese Anwendungen verfügen über eigene spezifizierten Eigenschaften.
+%
+%, wobei bei allen dieser Anwendungen jeweils eine unterschiedliche Version des Codes implementiert wurden.
+%
+%Dies kommt vor allem daher, da diese Codes immer an ihre dementsprechende Hardware gebunden sind, auf denen sie implementiert wurden um den Code mit maximaler Effizienz zu nutzen. 
+%
+% eigene Version des Codes implementiert haben. 
+%
+%Bei einer Technischen Umsetzung eines solchen Codes werden wir auf eine reihe neuer Probleme stossen wie Ressourceneffizienz, Laufzeitoptimierung, usw.
+%
+%Hinzu kommt, dass für verschiedene Anwendungen verschiedene Versionen des Reed-Solomon-Codes zur Anwendung kommen.
+%
+%Nachfolgend werden wir ein paar dieser Anwendungen Vorstellen, da sich herausstellt, dass Reed-Solomon-Code sehr 
+%
+%Als letzte Frage stellt sich jetzt nur noch, wo diese Codes eingesetzt werden. 
+%
+%Bisher haben wir 
+%
+%In den letzten abschnitten haben wir uns ausführlich die Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes angeschaut. In diesem Abschnitt möchten wir dem Leser ein paar bekannte beispiele vorstellen, in denen Reed-Solomon-Codes zum einsatz kommen. Es sei jedoch angemerkt, dass diese Anwendungen in der Umsetzung oft ein wenig anderst funktionieren als hier vorgestellt. Dies wurde vor allem wegen technischen optimierungen realisiert. (technische tricks und finessen), von der logik jedoch sehr stark an unserem Beispiel orientieren
+
+\subsection{Raumfahrt}
+Obwohl Reed-Solomon-Codes bereits in den 1960er entwickelt wurden fanden sie erstmals Anwendung in der Voyager Raumsonde der NASA. Die Daten der zwei im Jahre 1977 gestarteten Sonden werden mit einem RS(255,233)-Code \textcolor{red}{benötigt das weitere erklärungen, wie z.b. 255: grösse nachrichtenblock, 233: anzahl der nutzbaren daten ?} zusammen mit einem konventionellen Faltungscode übertragen. 
+
+%
+% Die zwei im Jahre 1977 gestarteten Sonden senden Daten mit der Hilfe eines RS(255,233)-Code für die digitalen Bilder sowie einem konventionellen Faltungscode.
+%
+%
+%mit der Erde mit einem RS(255,233)-Code für die digitalen Bilder sowie einem konventionellen Faltungscode. 
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde}
+	\caption{Voyager Raumsonde}
+	\label{fig:voyager}
+\end{figure}
+
+\subsection{CD/DVD}
+Compact discs verwenden sogar zwei ineinander verschachtelte Reed-Solomon-Codes, einen (32,28)-Code und einen (28,24)-Code.
+Beide Codes sind in der Lage, Fehler aus dem jeweils anderen gelesenen Block zu korrigieren. Dieses spezielle zusammenspielen dieser beiden Codes werden auch Cross-interleaved Reed-Solomon-Codes (CIRC) genannt.
+Diese Vorgehensweise erzielt eine hohe Robustheit gegenüber Produktionsfehler oder Verschmutzung auf der Disc. Bei CD's sind diese in der Lage bis zu 4000 fehlerhafte Bits am Stück (ca. $2.5mm$) zu erkennen und zu korrigieren. 
+
+Die Digital Video Disc funktioniert nach dem selben Konzept mit grösseren Codeblöcken. Die DVD verwendet einen (208,192)-Code und einen (182,172)-Code.
+
+%Beide lesen 
+% wobei beide Codes auch Fehler aus dem jeweiligen anderen Block korrigieren
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Compact_Disc}
+	\caption{Compact Disc}
+	\label{fig:cd}
+\end{figure}
+
+\subsection{QR-Codes}
+Quick Response Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel, nur dass QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Je nach grösse der Codierung ist der QR-Code im Endeffekt robuster gegen Beschädigungen. Bei Low Level Codes können 7\% der Daten Wiederhergestellt werden, beim High Level Code sind das sogar 30\%.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\subfigure[]{
+	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/qrcode_h}
+	}
+	\subfigure[]{
+	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/qrcode_l}
+	}
+	\caption{(a) High Level Code, (b) Low Level Code}
+	\label{fig:qr}
+\end{figure}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex
index 0339d9c..8430ebd 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex
@@ -1,17 +1,16 @@
 %
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+% codebsp.tex -- Codierung eines Beispiels
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Codierung eines Beispiels
 \label{reedsolomon:section:codebsp}}
 \rhead{Codierung eines Beispiels}
 
-Um die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes besser zu verstehen werden wir die einzelnen Probleme und ihre Lösungen anhand eines Beispiels betrachten.
-Da wir in endlichen Körpern rechnen, werden wir zuerst solch einen Körper festlegen. Dabei müssen wir die \textcolor{red}{Definition 4.6 (verweis auf eine Definition im Buch ohne label)} berücksichtigen, die besagt, dass nur Primzahlen für endliche Körper in Frage kommen.
+Um die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes besser zu verstehen, werden wir die einzelnen Probleme und ihre Lösungen anhand eines Beispiels betrachten.
+Da wir in endlichen Körpern rechnen, werden wir zuerst solch einen Körper festlegen. Dabei müssen wir die Definition \ref{buch:endlichekoerper:def:galois-koerper} berücksichtigen, die besagt, dass nur Primzahlen für endliche Körper in Frage kommen.
 Wir legen für unser Beispiel den endlichen Körper $\mathbb{F}_{q}$ mit $q = 11$ fest.
-Zur Hilfestellung können dazu die beiden Tabellen \ref{reedsolomon:subsection:adtab} und
-\ref{reedsolomon:subsection:mptab} hinzugezogen werden. Diese Tabellen enthalten die Resultate der arithmetischen Operationen im Körper $\mathbb{F}_{11}$, die durchgeführt werden können.
+Zur Hilfestellung zum Rechnen in $\mathbb{F}_{11}$ können die beiden Tabellen \ref{reedsolomon:subsection:adtab} und \ref{reedsolomon:subsection:mptab} hinzugezogen werden. Diese Tabellen enthalten die Resultate der arithmetischen Operationen im Körper $\mathbb{F}_{11}$, die durchgeführt werden können.
 Aus der Definition der endlichen Körper (ersichtlich auch in den Tabellen) folgt, dass uns nur die Zahlen \[\mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\] zur Verfügung stehen und somit $11 = 0$ gelten muss.
 
 % OLD TEXT
@@ -78,15 +77,16 @@ dar.
 	\label{reedsolomon:subsection:diskFT}}
 
 In einem vorherigen Abschnitt \textcolor{red}{(???)} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert.
-Wir wählen deshalb eine Zahl $a$, die die gleichen Aufgaben haben soll wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ ist. Dazu soll die Potenz von $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken, um
+Wir wählen deshalb eine Zahl $a$, die die gleichen Aufgaben haben soll wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ ist. Dazu soll die Potenz von $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken.
+Dazu ändern wir die Darstellung von
 \[
 \mathbb{F}_{11} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}
 \]
-in
+in die von $a$ abhängige Schreibweise 
 \[
 \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = \{a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9\}.
 \]
-umzuschreiben.
+%Jetzt brauchen wir nur noch eine geeignete Zahl für $a$ zu finden.
 % Old Text
 %Wir suchen also eine Zahl $a$, die in endlichen Körpern existiert und den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken kann.
 %Dazu schreiben wir
@@ -116,7 +116,7 @@ umzuschreiben.
 \subsubsection{Die primitiven Einheitswurzeln
 	\label{reedsolomon:subsection:primsqrt}}
 
-Wenn wir jetzt sämtliche Zahlen von $\mathbb{F}_{11}$ in $a$ einsetzen
+Wenn wir jetzt Zahlen von $\mathbb{F}_{11}$ an Stelle von $a$ einsetzen, erhalten wir
 \begin{center}
 \begin{tabular}{c c c c c c c}
 $a = 1$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\
@@ -128,7 +128,7 @@ $a = 6$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 6, 3, 7, 9, 1
 $a = 7$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8\}$ & $ = $ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\
 $a = 8$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7\}$ & $ = $ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\
 $a = 9$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 9, 4, 3, 5, 1, 9, 4, 3, 5\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\
-$a = 10$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ \\
+$a = 10$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}$ & $\neq$ & $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$. \\
 \end{tabular}
 \end{center}
 %\begin{center}
@@ -146,13 +146,15 @@ $a = 10$ & $\Rightarrow$ & $\{a^i | 0 \le i \le 10\}$ & $=$ & $\{1, 10, 1, 10, 1
 %$a = 10 :$& $\qquad \mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\}$ &$=$& $\{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10\}$	
 %\end{tabular}
 %\end{center}
-so fällt uns auf, dass für $a$ die Zahlen $2,6,7,8$ erhalten, die tatsächlich den gesamten Zahlenraum von $\mathbb{F}_{11}$ abbilden. Solche Zahlen werden \em primitive Einheitswurzel \em genannt. 
+Es fällt auf, dass wir für $a$ die Zahlen $2,6,7,8$ Mengen erhalten, die tatsächlich den gesamten Zahlenraum von $\mathbb{F}_{11}$ abbilden. Solche Zahlen werden \em primitive Einheitswurzel \em genannt. 
 Wenden wir diese Vorgehensweise auch für andere endliche Körper an, so werden wir sehen, dass wir immer mindestens zwei solcher Einheitswurzel finden werden. Somit ist es uns überlassen, eine dieser Einheitswurzel auszuwählen, mit der wir weiter rechnen wollen. Für das Beispiel wählen wir die Zahl $a = 8$.
 
 \subsubsection{Bildung einer Transformationsmatrix
 	\label{reedsolomon:subsection:transMat}}
 
-Mit der Wahl einer Einheitswurzel ist es uns jetzt möglich, unsere Nachricht zu Codieren. Daraus sollen wir dann einen Übertragungsvektor $v$ erhalten, den wir an den Empfänger schicken können. Für die Codierung müssen wir alle $a^i$ in das Polynom $m(X)$ einsetzen. Da wir $a^i = 8^i$ gewählt haben, ergibt sich daraus 
+Mit der Wahl einer Einheitswurzel ist es uns jetzt möglich, unsere Nachricht zu Codieren. Daraus sollen wir dann einen Übertragungsvektor $v$ erhalten, den wir an den Empfänger schicken können. 
+Für die Codierung setzen wir alle Zahlen in $\mathbb{F}_{11}\setminus\{0\}$ nacheinander in $m(X)$ ein. Da wir zuvor eine von $a$ abhängige Schreibweise gewählt haben setzen wir stattdessen $a^i$ ein mit $a = 8$ als die von uns gewählten primitiven Einheitswurzel. Daraus ergibt sich
+%Für die Codierung müssen wir alle $a^i$ in das Polynom $m(X)$ einsetzen. Da wir $a^i = 8^i$ gewählt haben, ergibt sich daraus 
 %
 %Damit wir unsere Nachricht codieren können, müssen wir $8^i$ in $m(X)$ einsetzen.
 %
@@ -168,7 +170,7 @@ als unser Übertragungsvektor.
 
 \subsection{Allgemeine Codierung
 	\label{reedsolomon:subsection:algCod}}
-Um das Ganze noch ein wenig übersichtlicher zu gestalten können wir die Polynome zu einer Matrix zusammenfassen, die unsere Transformationsmatrix $A$ bildet.
+Um das Ganze noch ein wenig übersichtlicher zu gestalten, können wir die Polynome zu einer Matrix zusammenfassen, die unsere Transformationsmatrix $A$ bildet.
 
 Für die allgemeine Codierung benötigen wir die Nachricht $m$, die codiert werden soll, sowie die Transformationsmatrix $A$. Daraus erhalten wir den Übertragungsvektor $v$. Setzen wir die Zahlen aus dem Beispiel ein erhalten wir folgende Darstellung:
 \[
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex
index a46d7da..598cf68 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decmitfehler.tex
@@ -1,7 +1,7 @@
 %
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+% decmitfehler.tex -- Decodierung mit Fehler
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Decodierung: Ansatz mit Fehlerkorrektur
 \label{reedsolomon:section:decmitfehler}}
@@ -16,7 +16,7 @@ Der Übertragungskanal im Beispiel weisst jetzt den Fehlervektor
 u = [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 2, 0]
 \]
 auf.
-Senden wir jetzt unser Übertragungsvektor $v$ durch diesen Kanal addiert sich der Fehlervektor $u$ auf unsere Übertragung und wir erhalten 
+Senden wir jetzt unser Übertragungsvektor $v$ durch diesen Kanal, addiert sich der Fehlervektor $u$ auf unsere Übertragung und wir erhalten 
 \begin{center}
 	
 	\begin{tabular}{c | c r }
@@ -127,7 +127,7 @@ Setzen wir jetzt unsere Einheitswurzel aus dem Beispiel ein so erhalten wir
 \end{tabular}
 \end{center}
 und damit die Information, dass allen Stellen, die nicht Null sind, Fehler enthalten. 
-Aus der Tabelle lesen wir, das in unserem Beispiel die Fehler an der Stelle drei und acht zu finden sind.
+Aus der Tabelle lesen wir ab, das in unserem Beispiel die Fehler an der Stelle drei und acht zu finden sind.
 
 Für das einfache Bestimmen von Hand mag dies ja noch ausreichen, jedoch können wir mit diesen Stellen nicht das Lokatorpolynom bestimmen, denn dafür bräuchten wir alle Nullstellen, an denen es Fehler gegeben hat (also sozusagen genau das umgekehrte). Um dies zu erreichen wenden wir eine andere Herangehensweise und nehmen uns den Satz von Fermat sowie den kleinsten gemeinsamen Teiler zur Hilfe.
 
@@ -140,7 +140,7 @@ f(X) = X^{q-1} -1 = 0
 \] 
 gilt für jedes $X$. Setzen wir das $q$ von unserem Beispiel ein
 \[
-f(X) = X^{10}-1 = 0 \qquad \text{für } X = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}
+f(X) = X^{10}-1 = 0 \qquad \text{für } X \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}
 \]
 und stellen dies als Faktorisierung dar. So ergibt sich die Darstellung 
 \[
@@ -173,7 +173,7 @@ Das kgV hat nämlich die Eigenschaft sämtliche Nullstellen zu finden, also nich
 ersichtlich ist.
 Aus dem vorherigen Abschnitt wissen wir auch, dass $d(X)$ alle korrekten Nullstellen beinhaltet. Teilen wir das kgV jetzt auf in 
 \[
-\operatorname{kgV}(f(X),d(X)) = d(X) \cdot l(X)
+\operatorname{kgV}(f(X),d(X)) = d(X) \cdot l(X),
 \]
 sollten wir für $l(X)$ eine Liste mit allen fehlerhaften Nullstellen erhalten.
 Somit ist 
@@ -192,14 +192,16 @@ In Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decmitfehler} haben wir
 d(X) = r(X) - m(X)
 \]
 in Abhängigkeit von $m(X)$ berechnet. 
-Jedoch haben wir ausser acht gelassen, dass $m(X)$ auf der Empfängerseite nicht existiert und somit gänzlich unbekannt ist.
+Jedoch haben wir ausser acht gelassen, dass $m(X)$ auf der Empfängerseite nicht verfügbar und somit gänzlich unbekannt ist.
 Es scheint so als würde dieser Lösungsansatz, den wir bisher verfolgt haben, nicht funktioniert.
-Wir könnten uns höchstens noch fragen, ob wir tatsächlich nichts über den Nachrichtenvektor im Beispiel wissen. Wenn wir noch einmal den Vektor betrachten als
+Wir könnten uns höchstens noch fragen, ob wir tatsächlich nichts über den Nachrichtenvektor im Beispiel wissen. 
+
+Wenn wir noch einmal den Vektor betrachten als
 \[
 m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]
 \]
-fällt uns aber auf, dass wir doch etwas über diesen Vektor wissen, nämlich den Wert der ersten $2t$ (im Beispiel vier) stellen.
-Im Normalfall sollen diese nämlich den Wert null betragen und somit sind nur die letzten $k$ stellen (im Beispiel sechs) für uns unbekannt, dargestellt als
+fällt uns aber auf, dass wir doch etwas über diesen Vektor wissen, nämlich den Wert der ersten $2t$ (im Beispiel vier) Stellen.
+Im Normalfall sollen diese nämlich den Wert $0$ haben und somit sind nur die letzten $k$ Stellen (im Beispiel sechs) für uns unbekannt, dargestellt als
 \[
 m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?].
 \]
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
index 0470db0..50bd8d6 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
@@ -1,7 +1,7 @@
 %
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+% decohnefehler.tex -- Decodierung ohne Fehler
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Decodierung: Ansatz ohne Fehler
 \label{reedsolomon:section:decohnefehler}}
@@ -33,11 +33,12 @@ Definiert ist sie als
 \[
 F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt \qquad \Rightarrow \qquad \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega.
 \]
-Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sfaktor} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. 
+Im wesentlichen ändert sich bei der inversen diskreten Fouriertransformation $e^{j/2\pi}$ zu $e^{-j/2\pi}$. Zusätzlich benötigt die inverse noch einen Korrekturfaktor $1/n$. Wir erwarten daher, dass wir auch im endlichen Körper $A$ die Zahl $a$ durch $a^{-1}$ ersetzen können. Mit der primitiven Einheitswurzel ergibt das 
+%Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sfaktor} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. 
 \[
-8^1 \qquad \rightarrow \qquad 8^{-1}
+8^1 \qquad \rightarrow \qquad 8^{-1}.
 \]
-Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:euklid} befasst und so den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können.
+Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:euklid} befasst und so den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf diesen Fall anwenden können.
 
 % Old Text
 %Im Abschnitt \textcolor{red}{4.1} haben wir den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können.
@@ -76,7 +77,9 @@ Daraus erhalten wir
 \end{tabular}
 
 \end{center}
-als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir, indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen:
+als Inverse der primitiven Einheitswurzel.
+Alternativ können wir das Resultat auch aus der Tabelle \ref{reedsolomon:subsection:mptab} ablesen.
+Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir, indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen:
 \[
 \begin{pmatrix}
 	8^0 & 8^0 & 8^0 & 8^0 & \dots & 8^0 \\
@@ -102,9 +105,9 @@ als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^
 \subsection{Der Faktor $s$
 	\label{reedsolomon:subsection:sfaktor}}
 Die diskrete Fouriertransformation benötigt für die Inverse einen Vorfaktor von $\frac{1}{2\pi}$.
-Primitiv nehmen wir an, dass wir für die Inverse Transformationsmatrix ebenfalls einen benötigen.
+Wir müssen also damit rechnen, dass wir für die Inverse Transformationsmatrix ebenfalls einen solchen Vorfaktor benötigen.
 Nur stellt sich jetzt die Frage, wie wir diesen Vorfaktor in unserem Fall ermitteln können.
-Dafür betrachten wir eine Regel aus der Linearen Algebra, nämlich dass
+Dafür betrachten wir eine Regel aus der linearen Algebra, nämlich dass
 
 \[
 A \cdot A^{-1} = E
@@ -148,7 +151,7 @@ Aus der letzten Matrix folgt, dass wir
 \[
 s = \dfrac{1}{10}
 \]
-als unseren Vorfaktor setzen müssen um die Gleichung \ref{reedsolomon:equation:sfaktor} zu erfüllen. Da wir in $\mathbb{F}_{11}$ nur mit ganzen Zahlen arbeiten schreiben wir $\frac{1}{10}$ in $10^{-1}$ um und bestimmen diese Inverse erneut mit dem euklidischen Algorithmus und erhalten für $10^{-1} = 10$ als unseren Vorfaktor in $\mathbb{F}_{11}$.
+als unseren Vorfaktor setzen müssen um, die Gleichung \ref{reedsolomon:equation:sfaktor} zu erfüllen. Da wir in $\mathbb{F}_{11}$ nur mit ganzen Zahlen arbeiten, schreiben wir $\frac{1}{10}$ in $10^{-1}$ um und bestimmen diese Inverse erneut mit dem euklidischen Algorithmus. So erhalten wir $10^{-1} = 10$ als Vorfaktor in $\mathbb{F}_{11}$.
 %
 %erfüllt wird. Wir schreiben den Bruch um in $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ und wenden darauf erneut den euklidischen Algorithmus an und erhalten somit den Vorfaktor $10^{-1} = 10 = s$ in $\mathbb{F}_{11}$.
 %
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex
index 19e5dd4..1d196fd 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex
@@ -1,7 +1,7 @@
 %
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+% endlichekoerper.tex -- endliche Körper
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern
 \label{reedsolomon:section:endlichekoerper}}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex b/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex
index b006f21..24fabdf 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex
@@ -1,8 +1,7 @@
 %
-% hilfstabellen.tex
-% Autor: Michael Steiner
+% hilfstabellen.tex -- Hilfstabellen
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Hilfstabellen für $\mathbb{F}_{11}$
 	\label{reedsolomon:section:hilfstabellen}}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/Compact_Disc.png b/buch/papers/reedsolomon/images/Compact_Disc.png
new file mode 100644
index 0000000..7e3f870
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/images/Compact_Disc.png
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde.png b/buch/papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde.png
new file mode 100644
index 0000000..e4dc400
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde.png
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_h.png b/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_h.png
new file mode 100644
index 0000000..4dc5779
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_h.png
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_l.png b/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_l.png
new file mode 100644
index 0000000..69f807f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/images/qrcode_l.png
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex
index 4e2fd60..6676670 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex
@@ -40,7 +40,7 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
 \input{papers/reedsolomon/decmitfehler}
 \input{papers/reedsolomon/rekonstruktion}
 \input{papers/reedsolomon/zusammenfassung}
-%\input{papers/reedsolomon/anwendungen}		-> geplant
+\input{papers/reedsolomon/anwendungen}
 \input{papers/reedsolomon/hilfstabellen}
 
 \nocite{reedsolomon:weitz}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
index 04e748c..b099e68 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
@@ -1,10 +1,9 @@
 %
-% rekonstruktion.tex
-% Autor: Michael Steiner
+% rekonstruktion.tex -- Rekonstruktion
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Nachricht Rekonstruieren
+\section{Nachricht rekonstruieren
 \label{reedsolomon:section:rekonstruktion}}
 \rhead{Rekonstruktion der Nachricht}
 Im letzten Abschnitt haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die fehlerhaften Stellen lokalisieren können.
@@ -49,7 +48,7 @@ Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen:
 \end{pmatrix}
 .
 \]
-Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher keinen weiterer Nutzen. 
+Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher keinen weiteren Nutzen. 
 Aus diesem Grund werden diese Stellen aus dem Vektor entfernt, was wir hier ohne Probleme machen können, da dieser Code ja über Fehlerkorrekturstellen verfügt, deren Aufgabe es ist, eine bestimmte Anzahl an Fehler kompensieren zu können.
 Die dazugehörigen Zeilen in der Matrix werden ebenfalls entfernt, da die Matrix gleich viele Zeilen wie im Übertragungsvektor aufweisen muss, damit man ihn decodieren kann.
 
@@ -78,6 +77,7 @@ Daraus resultiert
 Die Matrix ist jedoch nicht mehr quadratisch, was eine Rekonstruktion durch Inversion ausschliesst. 
 Um die quadratische Form wieder herzustellen müssen wir zwei Spalten aus der Matrix entfernen.
 Wir kennen aber das Resultat aus den letzten vier Spalten, da wir wissen, das die Nachricht aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil besteht, wobei der letzteres bekanntlich aus lauter Nullstellen besteht.
+Wir nehmen die markierten Spalten in
 \[
 \begin{pmatrix}
 	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
@@ -98,7 +98,7 @@ Wir kennen aber das Resultat aus den letzten vier Spalten, da wir wissen, das di
 	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor{darkgreen}{m_6} \\ \textcolor{darkgreen}{m_7} \\ \textcolor{darkgreen}{m_8} \\ \textcolor{darkgreen}{m_9} \\
 \end{pmatrix}
 \]
-Wir nehmen die entsprechenden Spalten aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem
+aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem
 \[
 \begin{pmatrix}
 	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{red}{4} \\
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex
index 3969ef2..b9a0e59 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle1.tex
@@ -1,6 +1,8 @@
-% created by Michael Steiner
 %
-% Restetabelle von F_11: Addition
+% restetabelle1.tex -- Restetabelle von F_11: Addition
+%
+% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil
+%
 
 % alternatives design
 %\begin{figure}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/restetabelle2.tex b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle2.tex
index 1a9815c..3b13ea2 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/restetabelle2.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/restetabelle2.tex
@@ -1,6 +1,8 @@
-% created by Michael Steiner
 %
-% Restetabelle von F_11: Multiplikation
+% restetabelle2.tex -- Restetabelle von F_11: Multiplikation
+%
+% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil
+%
 
 % alternatives design
 %\begin{figure}
diff --git a/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex b/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex
index 3624f16..c24fcf3 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex
@@ -1,15 +1,66 @@
+%
+% zusammenfassung.tex -- Zusammenfassung
+%
+% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil
+%
 \section{Zusammenfassung
 \label{reedsolomon:section:zf}}
 \rhead{Zusammenfassung}
 Dieser Abschnitt beinhaltet eine Übersicht über die Funktionsweise eines Reed-Solomon-Codes für beliebige endliche Körper.
 
-TODO:
-
 \subsubsection{Schritt 1: primitives Element}
+Zu Beginn soll entschieden werden, in welchem endlichen Körper $\mathbb{F}_{q}$ gerechnet werden soll. 
+Ausserdem muss im gewählten Körper eine primitive Einheitswurzel gefunden, bzw. bestimmt werden. 
 
 \subsubsection{Schritt 2: Codierung}
+Für die Codierung wird die Nachricht als Koeffizienten des Polynoms $m(X)$ geschrieben, anschliessend wird $a^i$ in $m(X)$ eingesetzt. 
+Daraus ergibt sich die Codierungsmatrix
+\[
+A(a) = 
+\begin{pmatrix}
+a^0 & a^0 & a^0 & \dots \\
+a^0 & a^1 & a^2 & \dots \\
+a^0 & a^2 & a^4 & \dots \\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Mit dieser Matrix können wir den Nachrichtenblock zum Übertragungsvektor codieren. 
 
 \subsubsection{Schritt 3: Decodierung ohne Fehler}
+Im ersten Schritt zur Decodierung muss geprüft werden, ob der Übertragungsvektor Fehler beinhaltet.
+Ist dies nicht der Fall, so kann die Matrix $A(a)$ invertiert werden mit
+\[
+A(a)^{-1} = \frac{1}{q-1} \cdot A(a^{-1}).
+\]
+Die Codierungsmatrix ändert sich somit zur Decodierungsmatrix
+\[
+\begin{pmatrix}
+	a^0 & a^0 & a^0 & \dots \\
+	a^0 & a^1 & a^2 & \dots \\
+	a^0 & a^2 & a^4 & \dots \\
+	\vdots&\vdots&\vdots &\ddots
+\end{pmatrix}
+= 
+\frac{1}{q-1}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	a^0 & a^0 & a^0 & \dots \\
+	a^0 & a^{-1} & a^{-2} & \dots \\
+	a^0 & a^{-2} & a^{-4} & \dots \\
+	\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Daraus lässt sich der Nachrichtenblock aus dem Übertragungsvektor rekonstruieren.
 
 \subsubsection{Schritt 4: Decodierung mit Fehler}
-
+Sollte der Übertragungsvektor fehlerhaft empfangen werden, so kann der Nachrichtenblock nicht durch invertieren der Matrix rekonstruiert werden.
+Zur Lokalisierung der Fehlerstellen nehmen wir das Polynom $f(X)$ zur Hilfe, welches wir über den Satz von Fermat bestimmt haben.
+Berechnen wir daraus das $\operatorname{kgV}$ von $f(X)$ und $d(X)$, so erhalten wir ein Lokatorpolynom.
+Durch das bestimmen der Exponenten erhalten wir die Fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor.
+Für die Rekonstruktion stellen wir ein Gleichungssystem auf und entfernen daraus die Fehlerhaften Zeilen.
+Im Anschluss kann das verkleinerte Gleichungssystem gelöst werden. 
+Als Resultat erhalten wir die fehlerfreie Nachricht.
+%Aus diesem Grund suchen wir nach einem Lokatorpolynom, welches uns die Fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor anzeigt.
+%Dazu nehmen wir das Polynom $f(X)$, welches wir durch den Satz von Fermat erhalten, und berechnen so das $\operatorname{kgV}(f(X),d(X))$ und kommen so auf das Lokatorpolynom $l(X)$. Durch das bestimmen von den Exponenten erhalten wir die Fehlerstellen, welche wir aus dem Gleichungssystem entfernen müssen. Übrig bleibt das berechnen dieses Gleichungssystems.