Anpassungen nach Besprechung

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diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf
index bee3bc0..5e4afdf 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf
+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex
index 44319c3..2441766 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex
@@ -1,13 +1,12 @@
 \documentclass{standalone}
  
 \usepackage{pgfplots}
- 
+\usepackage{txfonts}
 \pgfplotsset{compat = newest}
  
 \begin{document}
 
-
-\begin{tikzpicture}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
 
 
 \begin{axis}[
diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf
index e86a403..b86023f 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf
+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf
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index 85455ef..032d6de 100644
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+++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex
@@ -1,13 +1,12 @@
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- 
+\usepackage{txfonts}
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 \begin{document}
 
-
-\begin{tikzpicture}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
 
 
 \begin{axis}[
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@@ -4,7 +4,7 @@
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
 \chapter{Erdbebenmessung\label{chapter:erdbeben}}
-\lhead{Thema}
+\lhead{Erdbeben}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Lukas Zogg und
 Fabio Veicelli}
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@@ -1,22 +1,22 @@
 %% This BibTeX bibliography file was created using BibDesk.
 %% https://bibdesk.sourceforge.io/
 
-%% Created for lukas zogg at 2021-07-17 16:48:19 +0200 
+%% Created for lukas zogg at 2021-07-27 17:56:45 +0200 
 
 
 %% Saved with string encoding Unicode (UTF-8) 
 
 
 
-@article{aragher_understanding_2012,
+@article{erdbeben:aragher_understanding_2012,
 	author = {Faragher, Ramsey},
 	date-added = {2021-07-17 16:44:00 +0200},
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+	journal = {Signal Processing Magazine},
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+	title = {Understanding the Basis of the Kalman Filter Via a Simple and Intuitive Derivation},
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diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
index 8ce8ff2..c099340 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex
@@ -23,6 +23,7 @@ Die Masse schwing jedoch in seiner Eigendynamik weiter.
 Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden.
 In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. 
 Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit eine Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt sind. 
+Der Seismograph ist in Abbildung ~\ref{erdbeben:Seismograph} ersichtlich.
 Ein Sensor unter der Masse misst die Position, bzw. die Auslenkung der Feder und der Masse.
 Dies bedeutet, unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. 
 
@@ -30,52 +31,52 @@ Dies bedeutet, unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen.
  \begin{center}
  \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur}
  \caption{Aufbau des Seismographen mit Gehäuse, Masse, Federn und Sensor}
+ \label{erdbeben:Seismograph}
  \end{center}
 \end{figure}
 
 \subsection{Ziel}
 Unser Seismograph misst nur die Position der Masse über die Zeit. 
-Wir wollen jedoch die Beschleunigung $a(t)$ des Boden bzw. die Kraft $f(t)$ welche auf das Gehäuse wirkt bestimmten.  
-Anhand dieser Beschleunigung bzw. der Krafteinwirkung durch die Bodenbewegung wird später das Bauwerk bemessen.
+Wir wollen jedoch die Beschleunigung $a(t)$ des Boden, bzw. die Kraft $f(t)$, welche auf das Gehäuse wirkt, bestimmten.  
+Anhand dieser Beschleunigung, bzw. der Krafteinwirkung durch die Bodenbewegung, wird später das Bauwerk bemessen.
 Dies bedeutet, die für uns interessante Grösse $f(t)$ wird nicht durch einen Sensor erfasst. 
 Jedoch können wir durch zweifaches ableiten der Positionsmessung $s(t)$ die Beschleunigung der Masse berechnen. 
 Das heisst: Die Messung ist zweifach Integriert die Kraft $f(t)$ inklusive der Eigendynamik der Masse.
-Um die Bewegung der Masse zu berechnen, müssen wir Gleichungen für unser System finden.
+Um die Krafteinwirkung der Masse zu berechnen, müssen wir Gleichungen für unser System finden.
 
 \subsection{Systemgleichung}
-Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. 
-Diese lautet:
+Im Paper~\cite{erdbeben:mendezmueller} wurde das System gleich definiert und vorgegangen. 
+Im Fall unseres Seismographen, handelt es sich um ein Feder-Masse-Pendel.
+Dieser kann durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator beschrieben werden. 
+Die Gleichung lautet:
 \begin{equation}
-m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f
+m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f.
 \end{equation}
-mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$  = Federkonstante.
-Da die DGL linear ist, kann sie in die kompaktere und einfachere Matrix-Form umgewandelt werden. Dazu wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung substituiert:
-\[ {s_1}=s \qquad
-{s_2}=\dot s,  \qquad\]
-Somit entstehen die Gleichungen für die Position $s(t)$ der Masse :
+wobei $m$ die Masse, $k$ die Dämpfungskonstante und $D$ die Federkonstante bezeichnet.
+Da die Differentialgleichung linear ist, kann sie in die kompaktere und einfachere Matrix-Form umgewandelt werden.
+Dazu verwenden wir die Subsitution:
+\[ 
s_1 = s 
\qquad \text{und} \qquad
s_2 = \dot s
.
\]
+Somit entstehen die Gleichungen für die Position $ \dot s_1(t)$ der Masse :
 \[ \dot {s_1} = {s_2}\] 
 und
-\[ \dot s_2 = -\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] für die Beschleunigung $a(t)$ der Masse.
-
+\[ \dot s_2 = -\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] 
+für die Beschleunigung $\dot s_2(t)$ der Masse.
 Diese können wir nun in der Form
-\[ {s_3}=-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \]
+\[ f =-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \]
 auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen.
 Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. 
-Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen System. 
-Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt. 
-Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse, innere Beschleunigung, als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur, äussere Beschleunigung. 
-In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt. 
-\begin{equation}
-\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2}  \end{array}\right) = \left(
- \begin{array}{ccc} 	
-0 & 1& 0 \\ 
-- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
-\end{array}\right)  \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {s_3} \end{array}\right).
-\end{equation}
-
-Durch Rücksubstituion ergibt sich:
+Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen Systems. 
+
+Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt.
+Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse (innere Beschleunigung) als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). 
+In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt.
+Dazu wird ein Zustandsvektor definiert:
+\[ 
+ \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {f} \end{array}\right).
+ \] 
+Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schreibweise, , wobei $\sot {s_1}= v$ ist:
 \begin{equation}
-\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left(
+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \\ f(t) \end{array}\right) = \left(
  \begin{array}{ccc} 	
 0 & 1& 0 \\ 
 - \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\
diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
index e07800f..6c334bf 100644
--- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
+++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex
@@ -14,6 +14,8 @@
 \rhead{Kalman-Filter}
 
 \section{Kalman-Filter}
+Interessante Grösse ist also Integral von Überlagerung zweier Kräfte. 
+Wir brauchen also dir zweite Ableitung von der Messung , ohne deren Eigendynamik.
 Da wir die äussere Kraft nicht direkt messen können, benötigen wir ein Werkzeug, welches aus der gemessenen Position, die Krafteinwirkung auf unsere System schätzt. 
 Dies ist eine typische Anwendung für das Kalman-Filter.
 Unser Ziel ist es, anhand der Messung die eigentlich interessante Grösse $f$ zu bestimmen. 
@@ -23,8 +25,8 @@ Die Idee dahinter ist, dass das Kalman-Filter die nicht-deterministische Grösse
 Für mehrere Dimensionen (x,y,z) würde der Pythagoras für das System benötigt werden.
 Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. 
 Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. 
-Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird.
 Einfachheitshalber beschränken wir uns auf den linearen Fall, da dadurch die wesentlichen Punkte bereits aufgezeigt werden. 
+Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird.
 
 \subsection{Geschichte}
 Das Kalman-Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt.
@@ -35,57 +37,60 @@ Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den
 Das Kalman-Filter schätzt den wahrscheinlichsten Wert zwischen Normalverteilungen.
 Dies bedeutet, das Filter schätzt nicht nur den Mittelwert, sondern auch die Standartabweichung.
 Da Normalverteilungen dadurch vollständig definiert sind, schätzt ein Kalman-Filter die gesamte Verteilungsfunktion des Zustandes.
+In der Abbildung~\ref{erdbeben: Zwei Normalverteilungen} sind zwei Funktionen dargestellt. 
 Die eine Funktion zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normalverteilung. 
 Die andere Funktion zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normalverteilung. 
-Wie man am Beispiel der Gauss-Verteilungen unten sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand normalverteilt und haben dementsprechend unterschiedliche Standardabweichungen $\sigma$ und Erwartungswerte $\mu$.
-
+Wie man am Beispiel der Gauss-Verteilungen in Abblidung~\ref{erdbeben: Zwei Normalverteilungen} sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand normalverteilt und haben dementsprechend unterschiedliche Standardabweichungen $\sigma$ und Erwartungswerte $\mu$. Dies wird in~\cite{erdbeben:aragher_understanding_2012}beschrieben.
 \begin{figure}
  \begin{center}
  \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf}
  \caption{Zwei Normalerteilungen; Die eine Funktion zeigt die Vorhersage, die andere die Messung}
+    \label{erdbeben: Zwei Normalverteilungen}
  \end{center}
 \end{figure}
-
-
+Wir haben eine Vorhersage aus der Systemdynamik und eine Messung des Zustandes.
+Diese widersprechen sich im Allgemeinen. 
+Jedoch wissen wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden Aussagen. 
 Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen, wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen berechnet. 
 Nun wird eine Eigenschaft der Normalverteilung ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normalverteilungen entsteht eine neue Normalverteilung. 
 Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage:
-
-\[ {y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \]
+\[ 
+{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} 
+\]
 und der Messung:
-\[ {y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}. \]
-
-
-
-Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren:
-\[
-{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}\cdot{y_2} dx\,}
- \] 
-
+\[ 
+{y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}.
+\]
+Diesen werden nun multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu normieren, $\odot$ beschreibt dabei die Multiplikation und die Normierung auf den Flächeninhalt eins :
+\begin{align*}
	{y_f}(x; {\mu_f}, {\sigma_f}) = {y_1}(x;{ \mu_1},{ \sigma_1}) \odot {y_2}(x; {\mu_2}, {\sigma_2})
+	&=
+	\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \odot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}
+	\\
+	&=
	\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1} {y_2} dx}.
\end{align*}
 Diese Kombination der beiden Verteilungen resultiert wiederum in einer Normalverteilung
-\[ {y_f}(x; {\mu_f}, {\sigma_f}) = {y_1}(x;{ \mu_1},{ \sigma_1}) {\cdot y_2}(x; {\mu_2}, {\sigma_2}), \]
 mit Erwartungswert
 \[ \mu_f = \frac{\mu_1\sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} \]
 und Varianz
-\[ \sigma_f^2 = \frac{\sigma_1^2 \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}. \]
-
+\[
+\sigma_f^2 = \frac{\sigma_1^2 \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}.
+\]
 Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst.
 Ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben.
-Sie ist also gewichtet und die best mögliche Schätzung. 
-
-
+Somit ist $\mu_f$ ist das gewichtete Mittel der beiden $\mu_{1,2}$, und die Varianzen sind die Gewichte!
+Die neue Funktion ist die best mögliche Schätzung für zwei Verteilungen, welche den selben Zustand beschreiben. 
+Dies ist in der Abbildung~\ref{erdbeben:Gauss3} anhand der rote Funktion ersichtlich. 
 \begin{figure}
  \begin{center}
  \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf}
  \caption{Durch das Multiplizieren der blauen und der orangen Verteilung entsteht die die rote, optimale Funktion}
+ \label{erdbeben:Gauss3}
  \end{center}
 \end{figure}
-
-
 Was in zwei Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. 
 Dieses Prinzip mach sich das Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. 
 
 \section{Filter-Matrizen}
+Da wir nun ein Werkzeug besitzen, dass die Beschleunigung, welche auf das Gehäuse wirkt, ermitteln kann, wird dieses nun Schritt für Schritt erklärt. 
 Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden. 
 In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter und Matrizen erklärt und erläutert, wofür sie nützlich sind. 
 
@@ -94,8 +99,6 @@ In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter und Matrizen erklärt und erl
 Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. 
 In unserem Fall ist es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. 
 Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft.
-
-
 \[ {x_0 }= \left( \begin{array}{c} {s_0}\\ {v_0}\\{f_0}\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) \]
 
 \subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix $P$}
@@ -108,7 +111,6 @@ Kovarianz: Cov(x, y) und Varianz: Var(x) = Cov(x, x)
 In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. 
 Wir gehen davon aus, dass das System in Ruhe und in Abwesenheit eines Erdbeben startet, somit kann die Matrix mit Nullen bestückt werden. 
 Als Initialwert für die Kovarianzmatrix ergibt sich
-
 \[ 
 {P_0 }=
 \left(
@@ -145,9 +147,9 @@ Die Matrix $\Phi$ beschreibt die Übergänge zwischen zeitlich aufeinanderfolgen
 
 \subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$}
 Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Prozess verändert. 
-Kalman-Filter berücksichtigen sowohl Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. 
-In der Matrix $Q$ geht es jedoch im die Unsicherheit die der Prozess mit sich bringt. 
-Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. 
+Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. 
+In der Matrix $Q$ geht es jedoch um die Unsicherheit, die der Prozess mit sich bringt. 
+Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein oder auch die Ungenauigkeiten im Modell, wie die Annahme das dich die Kraft nicht ändert.
 Für uns wäre dies:
 \[ 
 Q = \left(
@@ -157,7 +159,6 @@ Q = \left(
 0 & 0& {\sigma_f }^2\\
 \end{array}\right)  
  \]
-
 Die Standabweichungen müssten statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. 
 Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt und nicht die der Messung.
 
@@ -165,13 +166,15 @@ Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt und nic
 Die Messmatrix gibt an, welche Parameter gemessen werden. 
 $H$ ist die Gleichung die für die Vorhersage der Messung.
 In unserem Falle ist es die Position der Massen. 
-
-\[ H = (1, 0, 0) \]
+\[ 
+H = (1, 0, 0) 
+\]
 
 \subsubsection*{Messrauschkovarianz $R$}
 Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name schon sagt, das Rauschen der Messung. 
 In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist $R$ lediglich:
-\[ R= ({\sigma_{sensor}}^2).
+\[ 
+R= ({\sigma_\mathrm{sensor}}^2).
  \] 
 Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. 
 Für unsere theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt da heutige Sensoren sehr genau messen können. 
@@ -182,19 +185,25 @@ Zuerst wird der nächste Zustand der Masse vorhergesagt, danach wird die Messung
 Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. 
 Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. 
 Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt.
+Dabei muss genau auf den Index geachtet werden. Nach dem Artikel~\cite{erdbeben:wikipedia} ist die Indexierung so genormt:
+Der Zeitschritt wird mit $k$ definiert, $k-1$ ist somit ein Zeitschritt vor $k$.
+Auf der linken Seite von | wird der aktuelle Zustand verlangt, bzw. ausgegeben, auf der rechten Seiten den bisherigen Zustand.
+Dies bedeutet, dass die Notation $x_{n|m}$ die Schätzung von $x$ zum Zeitpunkt $n$ bis und mit zur Zeitpunkt $m \leq \ n$ präsentiert. 
 
 \subsubsection*{Vorhersage}
 Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. 
 Dies funktioniert mit dem Rechenschritt:
-\[ 
-{x_{k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k-1}}.
- \] 
-
-Die Kovarianz $P_{pred}$ wird ebenfalls neu berechnet. Da wir ein mehrdimensionales System haben, kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. 
+\[
+{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k-1|k-1}}.
+\] 
+Die Kovarianz $P_{k|k-1}$ wird ebenfalls neu berechnet. Zudem kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. 
 Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix mit dem aktualisierten Anfangsfehler. 
 Dazu wird noch die Prozessunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung
-\[ {P_{k-1}} = {\Phi_k}  {P_{k-1}} {\Phi_k} ^T + {Q_{k-1}} .\] 
-Es vergeht genau $t$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt. 
+\[
+{P_{k|k-1}}=\Phi {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}.
+\] 
+Es vergeht genau $\Delta t$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt. 
+Das hochgestellte T bezeichnet die transponierte Matrix.
 Dabei wird in den späteren Schritten überprüft, wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. 
 Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. 
 Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung.
@@ -202,74 +211,83 @@ Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung.
 \subsubsection*{Messen}
 Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für das Filter. 
 Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet.
-Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ mit der Vorhersage multipliziert
-
-\[{w_{k}}={z_{k}}-{H}\cdot{x_{k-1}}.\] 
-
+Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ mit der Vorhersage multipliziert.
+\[
+{w_{k}}={z_{k}}-{H}{x_{k|k-1}}.
+\] 
 Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. 
 Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau die Vorhersage den aktuellen Messwert mittels der Systemmatrix $\Phi$ beschreiben kann. 
 Für eine schlechte Vorhersage wird die dazugehörige Innovation gross, für eine genaue Vorhersage dagegen klein sein. 
 Entsprechende Korrekturen müssen dann gross bzw. nur gering ausfallen. 
-Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte.
+Innovation = Messung - Vorhersage. Dies leuchtet ein, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte.
 
 Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. 
 Hierbei wird die Unsicherheit $P$, die Messmatrix $H$ und die Messunsicherheit $R$ miteinander verrechnet. 
 \[ 
-{S_{k}}={H}{P_{k-1}}{H}^T+{R_{k}}
- \] 
+{S_{k}}={H}{P_{k|k-1}}{H}^T+{R_{k}}
+\] 
 
 \subsubsection*{Aktualisieren}
 Im nächsten Schritt kommt nun die Wahrscheinlichkeit dazu. 
-\[ 
-{K_{k}}= {{P_{k-1}} \cdot {H_{k}^T}}\cdot {S_{k}}^{-1} 
- \] 
+\[{K_{k}}= {P_{k|k-1}} {H^T}{S_{k}^{-1}}\] 
 Dieser Vorgang wird Kalman-Gain genannt. 
-Er sagt aus, welcher Kurve mehr Vertraut werden soll, dem Messwert oder der Systemdynamik.
-Das Kalman-Gain wird geringer, wenn der Messwert dem vorhergesagten Systemzustand entspricht. 
-Sind die Messwerte komplett anders als die Vorhersage, werden die Elemente in der Matrix $K$ grösser.
-Anhand der Informationen aus dem Kalman-Gain $K$ wird das System aktualisiert.
+Das Kalman-Gain gibt dem Zustand die Gewichtung, bzw. wie die Vorhersage auf den Zustand passt.
+Vereinfacht gesagt: Es wird das das Verhältnis zwischen der Unsicherheit der Vorhersage $P_k$ zu der zugehörigen Messunsicherheit $R_k$ gebildet. 
+In unserem Fall wird werden die Elemente der Kalman-Matrix vorweg berechnet, da das Kalman-Gain ohne Messungen auskommt. 
 
-\[ 
-{x_{k|k}}={x_{k-1}}+({K_{k}}\cdot {w_{k}}) 
- \] 
+Anhand der Informationen aus dem Kalman-Gain $K$ wird das System aktualisiert.
+\[
+{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+{K_{k}}{w_{k}}
+\] 
+Dabei wird der Unterschied zwischen dem erwarteten, errechneten, Zustand und dem gemessenen Zustand berechnet.
 
 Dazu kommt  eine neue Kovarianz für den nächste Vorhersageschritt:
-
-\[ 
-{P_{k}}=(I-({K_{k}} \cdot {H})) \cdot {P_{k-1}}  
- \] 
-
+\[
+{P_{k|k}}=(I-{K_{k}}{H}){P_{k|k-1}} 
+\] 
 Der ganze Algorithmus und beginnt wieder mit der Vorhersage 
-
-\[ 
-{x_{k-1}}=\Phi \cdot {x_{k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k-1}}.
- \] 
-
+\[
+{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k|k-1}}.
+\] 
 
 \subsection{Zusammenfassung }
 Zusammenfassend kann das Kalman-Filter in offizieller Typus dargestellt werden. 
 Dabei beginnt das Filter mit dem Anfangszustand für $k=0$
 
 1. Nächster Zustand vorhersagen
-\[{x_{k-1}}={\Phi} \cdot {x_{k-1}}= \exp(A\Delta t)\cdot{x_{k-1}}.\] 
+\[
+{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k-1|k-1}}.
+\] 
 
 2. Nächste Fehlerkovarianz vorhersagen
-\[{P_{k-1}}={\Phi} {P_{k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}.\] 
+\[
+{P_{k|k-1}}=\Phi {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}.
+\] 
 
 3. Zustand wird gemessen
-\[{w_{k}}={z_{k}}-{H}\cdot{x_{k-1}}.\] 
+\[
+{w_{k}}={z_{k}}-{H}{x_{k|k-1}}.
+\] 
 
 4. Innovation (= Messung -  Vorhersage)
-\[ {S_{k}}={H}{P_{k-1}}{H}^T+{R_{k}}\] 
+\[ 
+{S_{k}}={H}{P_{k|k-1}}{H}^T+{R_{k}}
+\] 
 
 5. Das Kalman Filter anwenden
-\[{K_{k}}= {P_{k-1}} \cdot {H^T}\cdot {S_{k}^{-1}}\] 
+\[
+{K_{k}}= {P_{k|k-1}} {H^T}{S_{k}^{-1}}
+\] 
 
 6. Schätzung aktualisieren
-\[{x_{k}}={x_{k-1}}+({K_{k}}\cdot {w_{k}}) \] 
+\[
+{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+{K_{k}}{w_{k}}
+\] 
 
 7. Fehlerkovarianz aktualisieren
-\[{P_{k}}=(I-({K_{k}}\cdot {H})) \cdot {P_{k-1}} \] 
+\[
+{P_{k|k}}=(I-{K_{k}}{H}){P_{k|k-1}}
+\] 
 
 8. Die Outputs von $k$ werden die Inputs für ${k-1}$ und werden wieder im Schritt 1 verwendet