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authorNao Pross <np@0hm.ch>2021-05-22 18:01:15 +0200
committerNao Pross <np@0hm.ch>2021-05-22 18:01:15 +0200
commit2d2e4369b5d58bc9cd4dcb83ac43e3cda6341f3b (patch)
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SeminarMatrizen-2d2e4369b5d58bc9cd4dcb83ac43e3cda6341f3b.zip
More on symmetry
-rw-r--r--buch/papers/punktgruppen/packages.tex2
-rw-r--r--buch/papers/punktgruppen/references.bib14
-rw-r--r--buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex54
3 files changed, 62 insertions, 8 deletions
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/packages.tex b/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
index 9953339..a6efdbf 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/packages.tex
@@ -4,4 +4,4 @@
% (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\usepackage{tikz-3dplot}
+\usepackage{dsfont}
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/references.bib b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
index aa7eb14..0d4e30a 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/references.bib
+++ b/buch/papers/punktgruppen/references.bib
@@ -4,6 +4,19 @@
% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
%
+@book{punktgruppen:pinter-algebra,
+ title = {A Book of Abstract Algebra},
+ author = {Charles C. Pinter},
+ publisher = {Dover Publications Inc.; 2. Edition},
+ year = {2010},
+ month = {1},
+ day = {10},
+ isbn = {978-0486474175},
+ inseries = {Dover Books on Mathematics},
+ volume = {1}
+}
+
+
@online{punktgruppen:bibtex,
title = {BibTeX},
url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
@@ -32,4 +45,3 @@
pages = {607--627},
url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
}
-
diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 9a1a945..58950da 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -86,18 +86,60 @@ nun eingeführt wird.
\begin{definition}[Symmetriegruppe]
Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\)
- als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen \(g_i\)
- bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+ als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
+ Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
\end{definition}
Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
\(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
\[
- C_n = \left\{\mathbf{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+ C_n = \langle r \rangle
+ = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+ = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},
\]
-die Zyklische Gruppe heisst.
-
-\begin{definition}[Gruppenwirkung]
+die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
+Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\). Die
+Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
+Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
+Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet
+werden\cite{punktgruppen:pinter-algebra}. Die Reflexionssymmetriegruppe ist
+nicht so interessant, da sie nur
+\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
+der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
+\[
+ D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
+ .
+\]
+Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
+möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende
+Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
+Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
+\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
+ Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
+ bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass
+ für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\). Man
+ sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass
+ \(H\) eine Darstellung von \(G\) ist\cite{punktgruppen:pinter-algebra}.
\end{definition}
+\begin{beispiel}
+ Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
+ Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix
+ \[
+ \Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
+ \cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
+ \sin(2\pi k/n) & \cos(2\pi k/n)
+ \end{pmatrix}
+ \]
+ definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
+ \(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
+ die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass
+ \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+\end{beispiel}
+\begin{beispiel}
+ Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
+ Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
+ komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
+ ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+\end{beispiel}
% vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de: