Diverse Anpassungen/Korrekturen

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diff --git a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
index efc3809..f1d5d70 100644
--- a/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
+++ b/buch/papers/spannung/Einleitung.tex
@@ -16,39 +16,44 @@ sondern eine Kraft geteilt durch Fläche.
 
 \section{Einführung wichtige Begriffe\label{spannung:section:Wichtige Begriffe}}
 \[
-\l
+l
 =
-Ausgangslänge\enspace[m]
+\text{Ausgangslänge [\si{\meter}]}
 \]
 \[
 \Delta l
 =
-Längenänderung\enspacenach\enspaceKraftauftrag\enspace[m]
+\text{Längenänderung nach Kraftauftrag [\si{\meter}]}
 \]
 \[
 \varepsilon
 =
-Dehnung\enspace[-]
+\text{Dehnung [$-$]}
 \]
 \[
 \sigma
 =
-Spannung\enspace[kPa]
+\text{Spannung [\si{\kilo\pascal}]}
 \]
 \[
 E
 =
-Elastizitätsmodul
+\text{Elastizitätsmodul}
+\]
+\[
+\nu
+=
+\text{Querdehnungszahl}
 \]
 \[
 F
 =
-Kraft\enspace[kN]
+\text{Kraft [\si{\kilo\newton}]}
 \]
 \[
 A
 =
-Fläche\enspace[m^2]
+\text{Fläche [\si{\meter\squared}]}
 \]
 \[
 t
@@ -58,7 +63,7 @@ Tiefe\enspace[m]
 \[
 s
 =
-Setzung,\enspaceAbsenkung\enspace[m]
+\text{Setzung, Absenkung [m]}
 \]
 
 Beziehungen
@@ -82,7 +87,7 @@ Beziehungen
 \[
 N
 =
-\int_{A} \sigma \dA
+\int_{A} \sigma dA
 \]
 \[
 \varepsilon^{\prime}
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg
new file mode 100644
index 0000000..52f1b5c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg
diff --git a/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.jpg b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.jpg
new file mode 100644
index 0000000..e3875bb
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.jpg
diff --git a/buch/papers/spannung/main.tex b/buch/papers/spannung/main.tex
index 585a423..60696d4 100644
--- a/buch/papers/spannung/main.tex
+++ b/buch/papers/spannung/main.tex
@@ -8,29 +8,14 @@
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Adrian Schuler und Thomas Reichlin}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+% TODO Text
 
+\input{papers/spannung/Einleitung.tex}
 \input{papers/spannung/teil0.tex}
 \input{papers/spannung/teil1.tex}
 \input{papers/spannung/teil2.tex}
 \input{papers/spannung/teil3.tex}
+\input{papers/spannung/teil4.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/spannung/teil1.tex b/buch/papers/spannung/teil1.tex
index 70dbb5a..cc55664 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil1.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil1.tex
@@ -1,7 +1,7 @@
 \section{Proportionalität Spannung-Dehnung\label{spannung:section:Proportionalität Spannung-Dehnung}}
 \rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung}
 Das Hooksche Gesetz beschreibt die elastische Längenänderung von Festkörpern im Zusammenhang mit einer Krafteinwirkung.
-Die Längenänderung $\delta l$ ist proportional zur Krafteinwirkung.
+Die Längenänderung $\Delta l$ ist proportional zur Krafteinwirkung.
 $F\sim \Delta l$
 Man kann dies nur im Bereich vom linearen elastischen Materialverhalten anwenden.
 Das heisst das alle Verformungen reversibel sind, sobald man die Kraft wegnimmt.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index 4aa8204..d11b3f6 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -1,49 +1,270 @@
-\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger Spannungszustand}}
+\section{Dreiachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Dreiachsiger_Spannungszustand}}
 \rhead{Proportionalität Spannung-Dehnung}
 Wie im Kapitel Spannungsausbreitung beschrieben herrscht in jedem Punkt ein anderer Spannungszustand.
 Um die Spannung im Boden genauer untersuchen zu können für man einen infinitesimalen Würfel ein.
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken\infinitesimalerWürfel.jpg}
-	\caption{infinitesimaler Würfel}
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.jpg}
+	\caption{Infinitesimaler Würfel}
 	\label{fig:infintesimaler-wurfel}
 \end{figure}
 
 Sobald eine Kraft von oben wirkt hat man auch Kräfte die seitlich wirken.
 
-An diesem infinitesimalen Würfel hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen (1,2,3).
+An diesem infinitesimalen Würfel hat man ein räumliches Koordinatensystem, die Achsen $(1,2,3)$.
 Jede dieser 6 Flächen dieses Würfels hat damit 3 Pfeile.
 Geschrieben werden diese mit $\sigma$ mit jeweils zwei Indizes gibt.
 Die Indizes geben uns an, in welche Richtung der Pfeil zeigt.
-Zur Notation wird die Voigt`sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:
+Der erste Index ist die Achse auf welcher man sich befindet.
+Der zweite Index gibt an, in welche Richtung der Pfeil zeigt.
+Zur Notation wird die Voigt'sche Notation benutzt. Das sieht wie folgt aus:
 
 \[
 \overline{\sigma}
 =
-\left[ \begin{array}{rrr}
+\begin{pmatrix}
 	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
 	\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
-	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\ 
-\end{array}\right]
+	\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
+\end{pmatrix}
 =
-\left[ \begin{array}{rrr}
+\begin{pmatrix}
 	\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ 
-	 & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
+	& \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
 	sym &  & \sigma_{33} \\ 
-\end{array}\right]
+\end{pmatrix}
 \Rightarrow
 \overrightarrow{\sigma}
 =
-\left(\begin{array}{c}\sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{23}\\\sigma_{13}\\\sigma_{12}\end{array}\right)
+\begin{pmatrix}
+  \sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
 \]
 
-Voigt`sche Notation besagt, dass man diesen Spannungstensor als Vektor aufschreiben darf.
+Voigt'sche Notation besagt, dass man diesen Spannungstensor als Vektor aufschreiben darf.
 Die Reihenfolge folgt der Regel von Ecke links oben, diagonal zur Ecke rechts unten.
 Danach ist noch $\sigma_{23}$, $\sigma_{13}$ und $\sigma_{12}$ aufzuschreiben.
 
 Eine weitere Besonderheit ist die Symmetrie der Matrix.
+So entspricht $\sigma_{23}$ dem Wert $\sigma_{32}$ oder $\sigma_{13}$ dem Wert $\sigma_{31}$.
+Dies ist dadurch bedingt, dass die Kräfte in seitlicher Richtung im Boden die gleichen Werte annehmen.
+Man hat in dieser Berechnung ein isotropes Material.
+Im infinitesimalen Körper muss ein Gleichgewicht vorherrschen.
+Ist kein Gleichgewicht vorhanden, würde sich der Körper zu drehen beginnen.
+Es macht somit keinen Unterschied, ob man auf der Achse 2 in Richtung drei geht,
+oder auf der Achse 3 in Richtung 2.
 
-?????Was könnte man hier noch zu den Pfeilen erklären vom Würfel???????
+Da die Spannung proportional zur Dehnung ist, kann man die ganze Voigt'sche Notation auch mit der Dehnung ausdrücken.
+Auch hier wandelt man das ganze gemäss der Reihenfolge in einen Vektor um.
 
+\[
+\bar{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ 
+	                 & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
+	\text{sym}       &                  & \varepsilon_{33}
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\vec{\varepsilon}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+
+Mit der hergeleiteten Beziehung für die Spannungsgleichung anhand vom E-Modul,
+der allgemeinen linearen Spannungsgleichung kann man diese Beziehungen neu aufschreiben.
+Man benötigt dazu den zuvor berechneten Dehnungsvektor.
+Die Gleichung besagt:
+Spannungsvektor $=$ Elastitzitätstensor $\times$ Dehnungsvektor
+
+\[
+\overrightarrow{\sigma}
+=
+\overline{\overline{C}}\cdot \overrightarrow{\varepsilon}
+\]
+
+Die Vektoren haben je 6 Einträge. Um das ganze auszudrücken braucht es einen 6 x 6 Elastizitätstensor. (Kann man das noch weiter erklären weshalb?????)
+Das ganze sieht dann wie folgt aus:
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} \\
+	\sigma_{22} \\
+	\sigma_{33} \\
+	\sigma_{23} \\
+	\sigma_{13} \\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
+	C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
+	C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
+	C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
+	C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\
+	C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+IST DIESE REIHENFOLGE KORREKT???? BEI DEHNUNG
+
+Die Spannung $\sigma_{11}$ besteht somit aus Anteilen von all diesen sechs Konstanten und den verschiedenen Dehnungen.
+Zuvor bei der Voigt'schen Notation hat man jedoch gesehen, dass die Tensoren symmetrisch sind.
+Folglich muss auch dieser Elastizitätstensor symmetrisch sein.
+Das sind folgendermassen aus:
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11} \\
+	\sigma_{22} \\
+	\sigma_{33} \\
+	\sigma_{23} \\
+	\sigma_{13} \\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	  C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
+	         & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
+	         &        & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ 
+	         &        &        & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ 
+             &        &        &        & C_{55} & C_{56} \\
+  \text{sym} &        &        &        &        & C_{66} 
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11} \\
+	\varepsilon_{22} \\
+	\varepsilon_{33} \\
+	\varepsilon_{23} \\
+	\varepsilon_{13} \\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Die Konstanten $C$ kann man nun anders ausdrücken.
+Und zwar bewerkstelligt man dies mithilfe vom Hook'schen Gesetz.
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
+\begin{pmatrix}
+	1- 2\nu & \nu     & \nu     & 0           & 0           & 0\\
+	    \nu & 1- 2\nu & \nu     & 0           & 0           & 0\\
+        \nu & \nu     & 1- 2\nu & 0           & 0           & 0\\
+          0 & 0       & 0       & \frac{1}{2} & 0           & 0\\
+          0 & 0       & 0       & 0           & \frac{1}{2} & 0\\
+          0 & 0       & 0       & 0           & 0           & \frac{1}{2}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{22}\\
+	\varepsilon_{33}\\
+	\varepsilon_{23}\\
+	\varepsilon_{13}\\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Mithilfe der Poissonzahl, welche uns die Querdehnung angibt,
+sprich wie viel sich der Körper in Querrichtung verformt und dem E-Modul kann man alle Konstanten ausdrücken.
+Bei einigen fällt auf, dass diese 0 werden. Der Tensor besagt also,
+dass diese jeweiligen Konstanten keinen Einfluss auf unsere Spannung haben.
+Als Beispiel kann man sich $\sigma_{33}$ anschauen.
+Es ist ersichtlich, dass die Konstante $C_{31}$, $C_{32}$, $C_{33}$, $C_{35}$  und $C_{36}$ keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$ haben.
+Dies kann wie folgt erklärt werden. Auf Achse 3 geht $\sigma_{33}$ in Richtung 3.
+Der Einfluss von $C_{31}$, Achse 3 in Richtung 1 hat keinen Einfluss auf $\sigma_{33}$
+
+Von  $\overline{\overline{C}}$ bildet man nun die Inverse Matrix $\overline{\overline{C}}~^{-1}$ stellt sich die ganze Gleichung um.
+
+\[
+\vec{\varepsilon}
+=
+\overline{\overline{C}}~^{-1}\cdot \vec{\sigma}
+\]
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{22}\\
+	\varepsilon_{33}\\
+	\varepsilon_{23}\\
+	\varepsilon_{13}\\
+	\varepsilon_{12}
+\end{pmatrix}
+=
+\frac{1}{E}
+\begin{pmatrix}
+	1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0\\
+	-\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0\\
+	-\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0\\
+	0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0 & 0\\
+	0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu & 0\\
+	0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2+2\nu
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}\\
+	\sigma_{22}\\
+	\sigma_{33}\\
+	\sigma_{23}\\
+	\sigma_{13}\\
+	\sigma_{12}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Die zwei Blöcke links unten und rechts oben sind immer noch vorhanden.
+Im Vergleich wo wir die Inverse noch nicht gemacht haben hat sich das nicht geändert.
+Um die Einflüsse der Parameter zu veranschaulichen schreibt man folgende Gleichung.
+
+\[
+\varepsilon_{22}
+=
+\frac{1}{E}\sigma_{22} - \frac{\nu}{E}\sigma_{11} - \frac{\nu}{E}\sigma_{33}
+\]
+
+$\varepsilon_{22}$ beschreibt die Dehnung in Achse 2 und in Richtung 2.
+In erster Linie hängt $\varepsilon_{22}$ von $\sigma_{22}$ ab.
+Wenn die Poisson - Zahl grösser wird oder $\sigma_{11}$ oder $\sigma_{33}$, dann wird dadurch die Dehnung $\varepsilon_{22}$ kleiner.
+Das heisst, auf Kosten von Verformung in anderer Richtung als Achse 2 Richtung 2 erfolgt die Verformung an anderer Stelle.
+Wiederum hat die Schubspannung auf $\sigma_{11}$ keinen Einfluss.
 
+Nun kennt man die Beziehung der 6 Dehnungen mit den 6 Spannungen.
+In der Geotechnik wäre das aufgrund der vielen Komponenten sehr umständlich um damit Berechnungen zu machen.
+Es braucht daher eine Vereinfachung mit Invarianten, welche im nächsten Kapitel beschrieben sind.
 
diff --git a/buch/papers/spannung/teil3.tex b/buch/papers/spannung/teil3.tex
index ce7d50f..a3b0b7d 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil3.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil3.tex
@@ -1,40 +1,94 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{spannung:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{spannung:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Invarianten}}
+\rhead{Invarianten}
+Trotz der Vereinfachung lässt sich mit den Invarianten die Realität adäquat abbilden.
+Als erste Bedingung stellt man folgendes Verhältnis auf:
 
+\[
+\sigma_{22}
+=
+\sigma_{33}
+\]
 
+Dies deshalb, da man von einem isotropen Bodenmaterial ausgeht.
+In Achse 22, Richtung 22 hat man den gleichen Boden wie in Achse 33 und Richtung 33.
+Das Verhalten bezüglich Kraftaufnahme, Dehnung Spannung ist somit dasselbe.
+
+Man führt die zwei Werte p als hydrostatische Spannung und q als deviatorische Spannung ein.
+Die Berechnung von p und q sieht wie folgt aus:
+
+\[
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}
+\]
+
+oder durch Vereinfachung, da $\sigma_{22}=\sigma_{33}$ :
+
+\[
+p
+=
+\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}
+\]
+
+\[
+q
+=
+\sigma_{11}-\sigma_{33}
+\]
+
+p ist das arithmetische Mittel von der Spannung im infinitesimalen Würfel.
+q ist die Differenz zwischen der Spannung in vertikaler Richtung und der Spannung in Richtung 2 und 3.
+Man kann p als Druckspannung und q als Schubspannung anschauen.
+
+Aus der Formel vom vorherigen Kapitel konnten wir die Spannungen berechnen.
+Deshalb kann man nun p und q in die Gleichung einsetzen.
+Die Dehnungen werden mit neuen Variablen eingeführt.
+Die Deviatorische Dehnung kann mit einer Schubdehnung verglichen werden.
+Die hydrostatische Dehnung kann mit einer Kompressionsdehnung verglichen werden.
+
+\[
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+=
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - \varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{\nu}}
+\]
+
+\[
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+=
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\varepsilon_{33})}^{\varepsilon_{s}}
+\]
+
+\[
+\varepsilon_{s}
+=
+Hydrostatische Dehnung [-]
+\]
+
+\[
+\varepsilon_{\nu}
+=
+Deviatorische Dehnung [-]
+\]
+
+Diese Komponenten kann man nun in die Vereinfachte Matrix einsetzen.
+Man hat dann eine Matrix multipliziert mit einem Vektor und erhält einen Vektor.
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	q\\
+	p
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	\frac{3E}{2(1+\nu)} & 0 \\
+	0 & \frac{E}{3(1-2\nu)}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{s}\\
+	\varepsilon_{\nu}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+Mit dieser Formel lassen sich verschieden Parameter von Versuchen analysieren und berechnen.
+Ein solcher Versuch, den oft in der Geotechnik durchgeführt wird ist der Oedometer-Versuch.
+Im nächsten Kapitel wird die Anwendung der Matrix an diesem Versuch beschrieben.
diff --git a/buch/papers/spannung/teil4.tex b/buch/papers/spannung/teil4.tex
new file mode 100644
index 0000000..f1437b1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/spannung/teil4.tex
@@ -0,0 +1,68 @@
+\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Oedometer - Versuch}}
+\rhead{Oedometer - Versuch}
+Beim Oedometer - Versucht hat man einen Stahlring mit einer Filterplatte am Boden.
+In diesen Stahlring wird eine Bodenprobe eingefüllt.
+Anschliessend wir mit einer Platte das Bodenmaterial mit einer ansteigenden Kraft belastet.
+
+Die Probe wird sich so verdichten. Das Volumen nimmt ab.
+Der Stahlring verhindert ein seitliches ausbrechen oder entweichen der Bodenprobe.
+Die Dehnung auf der Seite beträgt somit 0.
+Mit dem Wert der Kraft und der Fläche lässt sich die Spannung berechnen.
+Anhand der Volumenabnahme errechnet man die Dehnung.
+Aus diesen Werten lässt sich wiederum das E-Modul bestimmen.
+Beim Oedometer Versuch ist das E-Modul als $E_{OED}$ bezeichnet.
+
+Das $E_{OED}$ hat man speziell in der Geotechnik.
+Dies aufgrund der speziellen Situation wo man sich mit dem infinitesimalen Würfel befindet.
+Mit dem Stahlring, der verhindert das Material seitlich entweichen kann hat man ganz ähnliche Verhältnisse wie tief im Untergrund.
+Auch dort kann das Material bei einer Belastung nicht seitlich entweichen.
+
+Wichtig ist nochmals zu betonen, dass alle diese beschriebenen Berechnungen ausschliesslich im linear-elastischen Materialverhalten funktionieren.
+So ist es auch beim Oedometer - Versuch.
+Den Versuch kann man auf einem $\sigma$ und $\varepsilon$ Diagramm abtragen.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/DiagrammOedometer-Versuch.jpg}
+	\caption{Diagramm Oedometer - Versuch}
+	\label{fig:Diagramm Oedometer - Versuch}
+\end{figure}
+
+Bei einem Versuch mit anderem Baumaterial wie beispielsweise Holz nimmt die Dehnung im Laufe des Versuchs stärker zu, obwohl weniger Spannung abgetragen wird.
+Bei den meisten Böden ist dies anders. Durch die Komprimierung nimmt der Boden mehr Spannung auf, und verformt sich zugleich weniger stark.
+
+Man kann die Dehnung in unsere vereinfachte Matrix einsetzen. Das E-Modul ersetzt man mit dem $E_{OED}$.
+
+\[
+\overbrace{\sigma_{11}-\sigma_{33}}^{q}
+=
+\frac{3E}{2(1+\nu)} \overbrace{\frac{2}{3}(\varepsilon_{11} - 0)}^{\varepsilon_{\nu}}
+\]
+
+\[
+\overbrace{\frac{\sigma_{11}+2\sigma_{33}}{3}}^{p}
+=
+\frac{E}{3(1-2\nu)} \overbrace{(\varepsilon_{11} - 2\cdot0)}^{\varepsilon_{s}}
+\]
+
+\[
+\begin{pmatrix}
+	\sigma_{11}-\sigma_{33} \\
+	\sigma_{11}+2\sigma_{33}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+	\frac{E_{OED}}{(1+\nu)} & 0 \\
+	0 & \frac{E_{OED}}{(1-2\nu)}
+\end{bmatrix}
+\begin{pmatrix}
+	\varepsilon_{11}\\
+	\varepsilon_{11}
+\end{pmatrix}
+\]
+
+An einem geeigneten Punkt, wo man noch im linear-elastischen Materialverhalten ist, kann man nun das $E_{OED}$ abtragen.
+Es wird nur ein Delta betrachtet um $E_{OED}$ zu berechnen.
+Man darf die Dehnung nicht über den gesamten Verlauf betrachten um $E_{OED}$ zu berechnen.
+
+Mit diesem ermittelten E-Modul kann man nun weitere Berechnungen für die Geotechnik durchführen.