torus perfektioniert

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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
index 391ebf2..31ec208 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
+++ b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex
@@ -664,32 +664,6 @@ liegenden Vektoren ausdrücken lassen.
 Die auszuwählenden Vektoren sind daher genau diejenigen, die für
 $\mathcal{Z}_k'$ ausgewählt werden müssen.
 
-Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau
-in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau},
-bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9
-Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen.
-Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in
-Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}
-dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$,
-$z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen.
-Es bleiben die folgenden Zyklen:
-\begin{center}
-\begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
-\text{Zyklus}&Eigenschaft\\
-\hline
-z_5   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck links unten\\
-z_6   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck rechts unten\\
-z_9   &Zyklus umschliesst das grosse weisse Dreieck\\
-z_{12}&Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreicke oben\\
-\hline
-\end{tabular}
-\end{center}
-Die Zyklen, die nach der Reduktion übrig bleiben, sind in
-Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt.
-Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen
-Dreiecke.
-Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines
-Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen.
 
 \begin{figure}
 \centering
@@ -804,6 +778,43 @@ also genau ein weisses Dreieck.
 \label{buch:homologie:beispiel:homoclasses}}
 \end{figure}
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/torus/torus.jpg}
+\caption{Basis der Homologiegruppen eines Torus $T^2$.
+Der Algorithmus findet zwei Basisklassen für $H(T^2)$, der eine Zyklus
+geht durch das ``Loch'' des Torus (blau), der andere folgt mehr oder
+weniger dem Äquator.
+\label{buch:homologie:fig:torus}}
+\end{figure}
+
+Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau
+in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau},
+bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9
+Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen.
+Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in
+Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert}
+dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$,
+$z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen.
+Es bleiben die folgenden Zyklen:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{>{$}l<{$}l}
+\text{Zyklus}&Eigenschaft\\
+\hline
+z_5   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck links unten\\
+z_6   &Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreieck rechts unten\\
+z_9   &Zyklus umschliesst das grosse weisse Dreieck\\
+z_{12}&Zyklus umschliesst das kleine weisse Dreicke oben\\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+Die Zyklen, die nach der Reduktion übrig bleiben, sind in
+Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt.
+Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen
+Dreiecke.
+Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines
+Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen.
+
 \subsubsection{Basis von $H_k(C)$}
 Die im vorangegangenen Abschnitt konstruierte Basis kann jetzt auch
 dazu verwendet werden, eine Basis von $H_k(C)$ zu finden.
@@ -815,3 +826,14 @@ von $H_k(C)$.
 Die von obigem Algorithmus ausgewählten Zyklen bilden also automatisch
 eine Basis von Zyklen, die nicht Rand irgend einer Kette in $C_{k+1}$
 sein können.
+
+
+Führt man das beschriebene Verfahren für einen zweidimensionalen Torus $T^2$ durch,
+findet es die beiden in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:torus} dargestellten
+Zyklen.
+Sie zeigen schön, wie die Homologieklassen die beiden Arten von ``Löchern''
+erkennen.
+Zum einen ist da der blaue Zyklus, der das ``Loch'' im inneren des Torus
+umschliesst.
+Der rote Zyklus dagegen folgt mehr oder weniger dem Äquator und repräsentiert
+damit die ``Ringform'' des Torus.
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/torus/Makefile b/buch/chapters/95-homologie/torus/Makefile
index 4eb1381..8671ede 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/torus/Makefile
+++ b/buch/chapters/95-homologie/torus/Makefile
@@ -12,4 +12,4 @@ torus.png:	torus.pov torus.inc
 	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorus.png torus.pov
 
 torus.jpg:	torus.png Makefile
-	convert -extract 1624x970+150+78 torus.png torus.jpg
+	convert -extract 1624x978+147+75 torus.png torus.jpg
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.jpg b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.jpg
index eaa92d9..d5f8ca7 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.jpg
+++ b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.jpg
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.m b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.m
index 00134d7..64a615e 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.m
+++ b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.m
@@ -5,9 +5,9 @@
 #
 
 global n;
-n = 24;
+n = 32;
 global m;
-m = 12;
+m = 18;
 global R;
 R = 3;
 global r;
@@ -51,10 +51,10 @@ coordinates
 function insert_edges(ll, lr, ul, ur)
 	global edges;
 	k = 3 * ll + 1;
-	edges(k,1) = ll;
-	edges(k,2) = lr;
 	edges(k+1,1) = ll;
-	edges(k+1,2) = ur;
+	edges(k+1,2) = lr;
+	edges(k+0,1) = ll;
+	edges(k+0,2) = ur;
 	edges(k+2,1) = ll;
 	edges(k+2,2) = ul;
 endfunction
@@ -330,5 +330,20 @@ endfor
 fprintf(fn, "    }\n");
 fprintf(fn, "#end\n");
 
+fprintf(fn, "#macro triangulation()\n");
+fprintf(fn, "    union {\n");
+for i = (1:nvertices)
+	punkt = coordinates(i,:);
+	fprintf(fn, "\tsphere { <%.4f,%.4f,%.4f>, r/3 }\n", punkt(1,1), punkt(1,3), punkt(1,2));
+endfor
+for i = (1:nedges)
+	punkt1 = coordinates(edges(i,1)+1,:);
+	punkt2 = coordinates(edges(i,2)+1,:);
+	fprintf(fn, "\tcylinder { <%.4f,%.4f,%.4f>, ", punkt1(1,1), punkt1(1,3), punkt1(1,2));
+	fprintf(fn, "<%.4f,%.4f,%.4f>, r/3 }\n", punkt2(1,1), punkt2(1,3), punkt2(1,2));
+endfor
+fprintf(fn, "    }\n");
+fprintf(fn, "#end\n");
+
 fclose(fn);
 
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.png b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.png
index 814c466..bcd28bc 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.png
+++ b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.png
diff --git a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.pov b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.pov
index 292ad00..1c507f8 100644
--- a/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.pov
+++ b/buch/chapters/95-homologie/torus/torus.pov
@@ -11,17 +11,17 @@ global_settings {
 }
 
 #declare imagescale = 0.1;
-#declare r = 0.03;
+#declare r = 0.04;
 
 camera {
-        location <43, 25, -20>
+        location <43, 25, 20>
         look_at <0, 0, 0>
         right 16/9 * x * imagescale
         up y * imagescale
 }
 
 light_source {
-        <10, 20, -40> color White
+        <10, 20, 0> color White
         area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10
         adaptive 1
         jitter
@@ -38,7 +38,7 @@ sky_sphere {
 object {
 	torusflaeche()
 	pigment {
-		color rgbt<0.8,0.8,0.8,0.5>
+		color rgbt<0.8,0.8,0.8,0.3>
 	}
 	finish {
 		specular 0.9
@@ -49,7 +49,7 @@ object {
 object {
 	zyklus1()
 	pigment {
-		color Red
+		color rgb<1.0,0.2,0.2>
 	}
 	finish {
 		specular 0.9
@@ -60,7 +60,18 @@ object {
 object {
 	zyklus2()
 	pigment {
-		color Blue
+		color rgb<0.2,0.2,1.0>
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+
+object {
+	triangulation()
+	pigment {
+		color rgb<0.8,0.6,0.4>
 	}
 	finish {
 		specular 0.9