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 \section{Einleitung}
-Es gibt viele möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren.
-Auch wen man nur die Mathematischen möglichkeiten in betracht zieht, hat man noch viel zu viele Möglichkeiten sich mit kristallen zu beschäftigen.
-In diesem Articel ist daher der Fokus "nur" auf die Symmetrie gelegt.
-Im Abschitt über Symmetrien werden wir sehen, wie eine Symmetrie eines Objektes weit 
-2.ter versuch:
-Die Kristallographie ist ein grosses Thema, Symmetrien auch. 
-Für beide bestehen schon bewährte Mathematische Modelle und Definitionen.
-Die
+Es gibt viele Möglichkeiten sich in Kristallen zu verlieren.
+Auch wen man nur die mathematischen Betrachtunngsweisen berüksichtigt, hat man noch viel zu viele Optionen sich mit Kristallen zu beschäftigen.
+In diesem Kapitel ist daher der Fokus ``nur'' auf die Symmetrie gelegt.
+Zu beginn werden wir zeigen was eine Symmetrie ausmacht und dass sie noch weit mehr in sich verbirgt als nur schön auszusehen.
+Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu Beschreiben.
+Mit etwas kiffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen wass in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht.
+Die Einschränkungen sind durchaus wilkommen, dank ihnen halten sich die möglichen Kristallgitter in Grenzen und Lassen sich Kategorisieren.
+Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblich nützlich, sondern kann man aus ihnen auch auf Physikalische Eigenschaften schliessen, als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität.
+Die Piezoelektrizität ist vielleicht noch nicht jedem bekannt, sie versteckt sich aber in diversen Altagsgegenständen zum Beispiel sorgen sie in den meisten Feuerzeugen für die Zündung.
+Ein Funken Interesse ist hoffentlich geweckt um sich mit dem scheinbar trivialen thema der Symmetrie auseinander zu setzten.
+
+
 
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 \section{Symmetrie}
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
 ursprünglichen griechischen Wort
-\(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
+\(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
 \footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
 verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
 locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr