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@@ -44,10 +44,9 @@ Zum Beispiel beschreibt die Gleichung
 x^2+(y-1)^2=4
 \]
 einen Kreis mit Radius $2$ um den Punkt $(0,1)$.
-Der Kreis hat natürlich zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, wie jede
-Gerade, deren Abstand vom Mittelpunkt des Kreises kleiner als der Radius
-ist.
-Die Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die
+Der Kreis hat natürlich zwei Schnittpunkte mit der $x$-Achse, wie mit jeder
+Gerade, deren Abstand vom Mittelpunkt des Kreises kleiner ist als der Radius.
+Schnittpunkte haben die Koordinaten $(x_S,0)$ und $x_S$ muss die
 Gleichung
 \[
 x_S^2 + (0-1)^2 = x_S^2+1=4
@@ -75,14 +74,15 @@ hinzufügt, welches als spezielle Eigenschaft die Gleichung $i^2=-1$ hat.
 Bei $\sqrt{2}$ hat die geometrische Anschauung suggeriert, dass es eine
 solche Zahl ``zwischen'' den rationalen Zahlen gibt, aber für $i$
 gibt es keine solche Anschauung.
-Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher auch diesen durchaus 
+Die imaginäre Einheit $i$ erhielt daher auch diesen durchaus
 abwertend gemeinten Namen.
 
 Die Zahlensysteme lassen sich also verstehen als einfachere Zahlensysteme,
 denen man zusätzliche Objekte mit besonderen algebraischen Eigenschaften
 hinzufügt.
-Doch was sind das für Objekte, gibt es die überhaupt?
-Kann man deren Existenz einfach so postulieren, so wie man das mit $i$ 
+Doch was sind das für Objekte?
+Gibt es die überhaupt?
+Kann man deren Existenz einfach so postulieren, so wie man das mit $i$
 gemacht hat?
 Und was macht man, wenn man sich den nächsten ``algebraischen Wunsch''
 erfüllen will, auch einfach wieder die Existenz des neuen Objektes
@@ -100,7 +100,7 @@ a_{21}&a_{22}
 gruppiert und die Rechenoperationen
 \begin{align*}
 A+B
-&
+&=
 \begin{pmatrix}
 a_{11}&a_{12}\\
 a_{21}&a_{22}
@@ -128,8 +128,8 @@ b_{21}&b_{22}
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{21} + a_{12}b_{22} \\
-a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{21} + a_{22}b_{22} 
+a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
+a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}
 \end{pmatrix}
 \end{align*}
 definiert, kann man neue Objekte mit zum Teil bekannten, zum Teil
@@ -161,7 +161,7 @@ J^2 =
 -E = -A_1.
 \]
 Das neue Objekt $J$ ist ein explizit konstruiertes Objekt, welches
-die genau die rechnerischen Eigenschaften der imaginären Einheit $i$.
+genau die rechnerischen Eigenschaften der imaginären Einheit $i$ hat.
 
 Die imaginäre Einheit ist nicht die einzige Grösse, die sich auf diese
 Weise konstruieren lässt.
@@ -171,7 +171,7 @@ W=\begin{pmatrix} 0&2\\1&0 \end{pmatrix}
 \qquad\text{die Gleichung}\qquad
 W^2 = \begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix} = A_2,
 \]
-die Menge der Matrizen der 
+die Menge der Matrizen
 \[
 \mathbb{Q}(\sqrt{2})
 =
@@ -184,8 +184,8 @@ a,b\in\mathbb{Q}
 verhält sich daher genau so wie die Menge der rationalen Zahlen, denen
 man ein ``imaginäres'' neues Objekt $\sqrt{2}$ hinzugefügt hat.
 
-Matrizen sind also ein Werkzeug, mit dem sich algebraisches Systeme
-mit fast beliebigen Eigenschaften konstruieren lassen.
+Matrizen sind also ein Werkzeug, mit dem sich ein algebraisches Systeme
+mit fast beliebigen Eigenschaften konstruieren lässt.
 Dies führt zu einer Explosion der denkbaren algebraischen Strukturen.
 Kapitel~\ref{buch:chapter:vektoren-und-matrizen} bringt etwas Ordnung
 in diese Vielfalt, indem die grundlegenden Strukturen charakterisiert