move all iamges to separate files

1 files changed, 12 insertions, 1 deletions

diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index 3863191..acad943 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -35,9 +35,20 @@ $n'\in \mathbb{N}$.
 \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben,
 $n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$.
 \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren
-Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. %TODO: X = N?...
+Nachfolger, dann ist $\mathbb{N}\subset X$.
 \end{enumerate}
 
+\subsubsection{Vollständige Induktion}
+Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der vollständigen Induktion.
+Um eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n$
+mit vollständiger Induktion zu beweisen, bezeichnet man mit
+$X$ die Menge aller Zahlen, für die $P(n)$ wahr ist.
+Die Induktionsverankerung beweist, dass $P(0)$ wahr ist, dass also $0\in X$.
+Der Induktionsschritt beweist, dass mit einer Zahl $n\in X$ auch der
+Nachfolger $n'\in X$ ist.
+Nach dem letzten Axiom ist $\mathbb{N}\subset X$, oder anders ausgedrückt,
+die Aussage $P(n)$ ist wahr für jede natürliche Zahl.
+
 \subsubsection{Addition}
 Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung
 die vertrautere Addition konstruieren.