Rationale Zahlen als Paare (a, b).

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index aeb0b6b..5c76896 100644
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@@ -3,6 +3,7 @@
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 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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+% !TeX spellcheck = de_CH
 \section{Rationale Zahlen
 \label{buch:section:rationale-zahlen}}
 \rhead{Rationale Zahlen}
@@ -11,34 +12,86 @@ lösbar, es gibt keine ganze Zahl $x$ mit $3x=1$.
 Die nötige Erweiterung der ganzen Zahlen lernen Kinder noch bevor sie
 die negativen Zahlen kennenlernen.
 
+Wir können hierbei denselben Trick anwenden,
+wie schon beim Übergang von den natürlichen zu den ganzen Zahlen.
+Wir kreieren wieder Paare $(z, n)$, deren Elemente nennen wir \emph{Zähler} und
+\emph{Nenner}, wobei $z, n \in \mathbb Z$ und zudem $n \ne 0$.
+Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation lauten
+\[
+(a, b) + (c, d)
+=
+(ad + bc, bd)
+\qquad \text{und} \qquad
+(a, b) \cdot (c, d)
+=
+(ac, bd)
+.
+\]
+Die ganzen Zahlen lassen sich als in dieser Darstellung als
+$z \mapsto (z, 1)$ einbetten.
+
+Ähnlich wie schon bei den ganzen Zahlen ist diese Darstellung
+aber nicht eindeutig.
+Zwei Paare sind äquivalent, wenn sich deren beide Elemente um denselben Faktor
+unterscheiden,
+\[
+(a, b)
+\sim
+(c, d)
+\quad \Leftrightarrow \quad
+\exists \lambda \in \mathbb Z \colon
+\lambda a = c
+\wedge
+\lambda b = d
+.
+\]
+Dass es sich hierbei wieder um eine Äquivalenzrelation handelt, lässt sich
+einfach nachprüfen.
+
+Durch die neuen Regen gibt es nun zu jedem Paar $(a, b)$ mit $a \ne 0$
+ein Inverses $(b, a)$ bezüglich der Multiplikation,
+wie man anhand der folgenden Rechnung sieht,
+\[
+(a, b) \cdot (b, a)
+=
+(a \cdot b, b \cdot a)
+=
+(a \cdot b, a \cdot b)
+\sim
+(1, 1)
+.
+\]
+
 \subsubsection{Brüche}
-Rationale Zahlen sind Paare von ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$,
-die in der speziellen Schreibweise $\frac{a}{b}$ dargestellt werden.
-Die Rechenregeln für Addition und Multiplikation sind
-\begin{align*}
+Rationale Zahlen sind genau die Äquivalenzklassen dieser Paare $(a, b)$ von
+ganzen Zahlen $a$ und $b\ne 0$.
+Da diese Schreibweise recht unhandlich ist, wird normalerweise die Notation
+als Bruch $\frac{a}{b}$ verwendet.
+Die Rechenregeln werden dadurch zu den wohlvertrauten
+\[
 \frac{a}{b}+\frac{c}{d}
-&=
+=
 \frac{ad+bc}{bd},
-\\
+\qquad\text{und}\qquad
 \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}
-&=
-\frac{ac}{bd}.
-\end{align*}
-Die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die
+=
+\frac{ac}{bd}
+\]
+und die speziellen Brüche $\frac{0}{b}$ und $\frac{1}{1}$ erfüllen die
 Regeln
-\begin{align*}
-\frac{a}{b}+\frac{0}{d} &= \frac{ad}{bd}
-\\
-\frac{a}{b}\cdot \frac{0}{c} &= \frac{0}{bc}
-\\
-\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{1} &= \frac{a}{b}.
-\end{align*}
+\[
+\frac{a}{b}+\frac{0}{d} = \frac{ad}{bd} \sim \frac{a}{b},
+\qquad
+\frac{a}{b}\cdot \frac{0}{c} = \frac{0}{bc}
+\qquad\text{und}\qquad
+\frac{a}{b}\cdot \frac{1}{1} = \frac{a}{b}.
+\]
 Wir sind uns gewohnt, die Brüche $\frac{0}{b}$ mit der Zahl $0$ und
 $\frac{1}{1}$ mit der Zahl $1$ zu identifizieren.
 
 \subsubsection{Kürzen}
 Wie bei den ganzen Zahlen entstehen durch die Rechenregeln viele Brüche,
-denen wir den gleichen Wert zuordnen möchten
+denen wir den gleichen Wert zuordnen möchten.
 Zum Beispiel folgt
 \[
 \frac{ac}{bc} - \frac{a}{b} 
@@ -50,8 +103,8 @@ Zum Beispiel folgt
 wir müssen also die beiden Brüche als gleichwertig betrachten.
 Allgemein gelten die zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$
 als äquivalent, wenn $ad-bc= 0$ gilt.
-
-Die Definition bestätigt, dass die beiden Brüche
+Dies ist gleichbedeutend mit der früher definierten Äquivalenzrelation
+und bestätigt, dass die beiden Brüche
 \[
 \frac{ac}{bc} 
 \qquad\text{und}\qquad