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path: root/buch/chapters/05-zahlen
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-01-27 16:58:22 +0100
committerGitHub <noreply@github.com>2021-01-27 16:58:22 +0100
commit36e21da26d7f8f1f747f34a086738ef83cd03582 (patch)
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parentIllustrationen zum Kapitel über positive Matrizen (diff)
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-rw-r--r--buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex8
-rw-r--r--buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex14
-rw-r--r--buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex13
-rw-r--r--buch/chapters/05-zahlen/reell.tex14
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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
index fe294d6..56ef096 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/chapter.tex
@@ -10,10 +10,10 @@
Das Thema dieses Buches ist die Konstruktion interessanter
mathematischer Objekte mit Hilfe von Matrizen.
-Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen, wir wollen
-von diesen als den grundlegenden Bausteinen ausgehen.
+Die Einträge dieser Matrizen sind natürlich Zahlen.
+Wir wollen von diesen grundlegenden Bausteinen ausgehen.
Dies schliesst natürlich nicht aus, dass man auch Zahlenmengen
-mit Hilfe Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die
+mit Hilfe von Matrizen beschreiben kann, wie wir es später für die
komplexen Zahlen machen werden.
In diesem Kapitel sollen daher die Eigenschaften der bekannten
@@ -21,7 +21,7 @@ Zahlensysteme der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und
komplexen Zahlen nochmals in einer Übersicht zusammengetragen
werden.
Dabei wird besonderes Gewicht darauf gelegt, wie in jedem Fall
-einerseits neue Objekte postuliert werden können, andererseits
+einerseits neue Objekte postuliert, andererseits
aber auch konkrete Objekte konstruiert werden können.
\input{chapters/05-zahlen/natuerlich.tex}
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
index 8dd4a62..8a13de8 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -57,7 +57,7 @@ a+b' = a'+b.
\]
Man nennt eine solche Menge eine {\em Äquivalenzklasse} der Relation $\sim$.
-Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} Ist die Menge aller solchen
+Die Menge $\mathbb{Z}$ der {\em ganzen Zahlen} ist die Menge aller solchen
Äquivalenzklassen.
Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ist in evidenter Weise
darin eingebettet als die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren der
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
index 0c5eb70..3cbf473 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
@@ -6,8 +6,8 @@
\section{Komplexe Zahlen
\label{buch:section:komplexe-zahlen}}
\rhead{Komplexe Zahlen}
-In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen,
-andere, z.~B.~die Gleichung
+In den reellen Zahlen lassen sich viele algebraische Gleichungen lösen.
+Andere, z.~B.~die Gleichung
\begin{equation}
x^2+1=0,
\label{buch:zahlen:eqn:igleichung}
@@ -50,7 +50,7 @@ wie folgt definiert werden:
\end{aligned}
\label{buch:zahlen:cregeln}
\end{equation}
-Diese Regeln sich ganz natürlich, sie ergeben sich aus den Rechenregeln
+Diese Regeln ergeben sich ganz natürlich aus den Rechenregeln
in $\mathbb{R}$ unter Berücksichtigung der Regel $i^2=-1$.
Eine komplexe Zahl ist ein solches Paar, die Menge der komplexen Zahlen
@@ -68,7 +68,7 @@ reeller Vektorraum.
Ist $z=a+bi$ eine komplexe Zahl, dann heisst $a$ der Realteil $a=\Re z$
und $b$ heisst der Imaginärteil $\Im z$.
Real- und Imaginärteil sind lineare Abbildungen $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$,
-sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechen
+sie projizieren einen Punkt auf die Koordinatenachsen, die entsprechend
auch die reelle und die imaginäre Achse heissen.
Die Multiplikation mit $i$ vertauscht Real- und Imaginärteil:
@@ -122,8 +122,8 @@ In $\mathbb{R}$ kann man die Ordnungsrelation dazu verwenden zu entscheiden,
ob eine Zahl $0$ ist.
Wenn $x\ge 0$ ist und $x\le 0$, dann ist $x=0$.
In $\mathbb{C}$ steht diese Ordnungsrelation nicht mehr zur Verfügung.
-Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn der Vektor in der
-Zahlenebene Länge verschieden von $0$ ist.
+Eine komplexe Zahl ist von $0$ verschieden, wenn die Länge des Vektors in der
+Zahlenebene verschieden von $0$ ist.
Wir definieren daher den Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ als
\[
|z|^2
@@ -145,7 +145,7 @@ Der Betrag ist immer eine reelle Zahl.
\subsubsection{Division}
Die Erweiterung zu den komplexen Zahlen muss auch die Division erhalten.
Dies ist durchaus nicht selbstverständlich.
-Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums, nur für
+Man kann zeigen, dass ein Produkt von Vektoren eines Vektorraums nur für
einige wenige, niedrige Dimensionen überhaupt möglich ist.
Für die Division sind die Einschränkungen noch gravierender, die einzigen
Dimensionen $>1$, in denen ein Produkt mit einer Division definiert werden
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index 278aa5e..086658f 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -34,7 +34,7 @@ $n'\in \mathbb{N}$.
\item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben,
$n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$.
\item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren
-Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$.
+Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. %TODO: X = N?...
\end{enumerate}
\subsubsection{Addition}
@@ -145,7 +145,7 @@ a\cdot(b+c) = ab+ac
\qquad\text{und}\qquad
(a+b)c = ac+bc
\]
-gilt.
+gelten.
Das Distributivgesetz drückt die wohlbekannte Regel des
Ausmultiplizierens aus.
Ein Distributivgesetz ist also grundlegend dafür, dass man mit den
@@ -165,13 +165,14 @@ Lösung in $\mathbb{N}$ hat.
\index{teilbar}%
Jede natürlich Zahl $n$ ist durch $1$ teilbar und auch durch sich selbst,
denn $n\cdot 1 = n$.
-Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich, die Zahlen
+Andere Teiler sind dagegen nicht selbstverständlich.
+Die Zahlen
\[
\mathbb{P}
=
-\{2,3,5,7,11,17,19,23,29,\dots\}
+\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots\}
\]
-haben keine weiteren Teiler, sie heissen {\em Primzahlen}.
+haben keine weiteren Teiler. Sie heissen {\em Primzahlen}.
\index{Primzahl}%
Die Menge der natürlichen Zahlen ist die naheliegende Arena
für die Zahlentheorie.
@@ -205,7 +206,7 @@ Die natürlichen Zahl sind also nacheinander die Mengen
\begin{align*}
0 &= \emptyset
\\
-1 &= \emptyset \cup \{\emptyset\} = \{0\}
+1 &= 0 \cup \{0\} = \emptyset \cup \{0\} = \{0\}
\\
2 &= 1 \cup \{ 1\} = \{0\}\cup\{1\} = \{0,1\}
\\
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
index 1f241a2..4064887 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/reell.tex
@@ -12,8 +12,8 @@ Dass die Gleichung $x^2=2$ keine rationale Lösung hat, ist schon den
Pythagoräern aufgefallen.
Die geometrische Intuition der Zahlengeraden führt uns dazu, nach
Zahlen zu suchen, die gute Approximationen für $\sqrt{2}$ sind.
-Wir können zwar keine Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber
-wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft git, dann können
+Wir können zwar keinen Bruch angeben, dessen Quadrat $2$ ist, aber
+wenn es eine Zahl $\sqrt{2}$ mit dieser Eigenschaft gibt, dann können
wir dank der Ordnungsrelation feststellen, dass sie in all den folgenden,
kleiner werdenden Intervallen
\[
@@ -28,13 +28,13 @@ schnell, sie sind mit der sogenannten Kettenbruchentwicklung der
Zahl $\sqrt{2}$ gewonnen.}.
Jedes der Intervalle enthält auch das nachfolgende Intervall, und
die intervalllänge konvergiert gegen 0.
-Eine solche Intervallschachtelung beschreibt also genau eine Zahl,
+Eine solche \emph{Intervallschachtelung} beschreibt also genau eine Zahl,
aber möglicherweise keine, die sich als Bruch schreiben lässt.
-Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann auch als die Menge
-aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
-Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn für jedes $\varepsilon>0$
-es eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$
+Die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen kann man auch als Menge
+aller Cauchy-Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ betrachten.
+Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn es für jedes $\varepsilon>0$
+eine Zahl $N(\varepsilon)$ gibt derart, dass $|a_n-a_m|<\varepsilon$
für $n,m>N(\varepsilon)$.
Ab einer geeigneten Stelle $N(\varepsilon)$ sind die Folgenglieder also
mit Genauigkeit $\varepsilon$ nicht mehr unterscheidbar.