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diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
index 4809e29..fab2dcb 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/ganz.tex
@@ -28,6 +28,14 @@ Die Rechenoperationen sind wie folgt definiert:
 \end{aligned}
 \label{buch:zahlen:ganze-rechenregeln}
 \end{equation}
+Die Darstellung ganzer Zahlen als Paare von natürlichen Zahlen
+findet man auch in der Buchhaltung, wo man statt eines Vorzeichen
+{\em Soll} und {\em Haben} verwendet.
+Dabei kommt es nur auf die Differenz der beiden Positionen an.
+Fügt man beiden Positionen den gleichen Betrag hinzu, ändert sich
+nichts.
+Viele der Paare $(a,b)$ müssen also als äquivalent angesehen
+werden.
 
 \subsubsection{Äquivalenzrelation}
 Die Definition~\eqref{buch:zahlen:ganze-rechenregeln}
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d502e3c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex
new file mode 100644
index 0000000..8cda85b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/images/komplex.tex
@@ -0,0 +1,39 @@
+%
+% komplex.tex -- Betrag und Argument einer komplexen Zahl
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1.5}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\pgfmathparse{atan(2/3)}
+\xdef\winkel{\pgfmathresult}
+\fill[color=blue!20] (0,0) -- (1.5,0) arc (0:\winkel:1.5) -- cycle;
+\draw[->] (-1,0) -- (4,0) coordinate[label={$\Re z$}];
+\draw[->] (0,-1) -- (0,3) coordinate[label={right:$\Im z$}];
+\draw[line width=0.5pt] (3,0) -- (3,2);
+\node at (3,1) [right] {$\Im z=b$};
+\node at (1.5,0) [below] {$\Re z=a$};
+\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (3,2);
+\node at (3,2) [above right] {$z=a+bi$};
+\def\punkt#1{
+	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.04];
+	\draw #1 circle[radius=0.04];
+}
+\punkt{(0,0)}
+\punkt{(3,2)}
+\node[color=red] at (1.5,1) [rotate=\winkel,above] {$r=|z|$};
+\node[color=blue] at ({\winkel/2}:1.0)
+	[rotate={\winkel/2}] {$\varphi=\operatorname{arg}z$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
index 3cbf473..2a9b4a9 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/komplex.tex
@@ -188,27 +188,7 @@ genauer untersuchen müssen.
 
 \begin{figure}
 \centering
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=1.5]
-\pgfmathparse{atan(2/3)}
-\xdef\winkel{\pgfmathresult}
-\fill[color=blue!20] (0,0) -- (1.5,0) arc (0:\winkel:1.5) -- cycle;
-\draw[->] (-1,0) -- (4,0) coordinate[label={$\Re z$}];
-\draw[->] (0,-1) -- (0,3) coordinate[label={right:$\Im z$}];
-\draw[line width=0.5pt] (3,0) -- (3,2);
-\node at (3,1) [right] {$\Im z=b$};
-\node at (1.5,0) [below] {$\Re z=a$};
-\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (3,2);
-\node at (3,2) [above right] {$z=a+bi$};
-\def\punkt#1{
-	\fill[color=white] #1 circle[radius=0.04];
-	\draw #1 circle[radius=0.04];
-}
-\punkt{(0,0)}
-\punkt{(3,2)}
-\node[color=red] at (1.5,1) [rotate=\winkel,above] {$r=|z|$};
-\node[color=blue] at ({\winkel/2}:1.0)
-	[rotate={\winkel/2}] {$\varphi=\operatorname{arg}z$};
-\end{tikzpicture}
+\includegraphics{chapters/05-zahlen/images/komplex.pdf}
 \caption{Argument und Betrag einer komplexen Zahl $z=a+ib$ in der 
 Gaussschen Zahlenebene
 \label{buch:zahlen:cfig}}
diff --git a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
index 3863191..acad943 100644
--- a/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
+++ b/buch/chapters/05-zahlen/natuerlich.tex
@@ -35,9 +35,20 @@ $n'\in \mathbb{N}$.
 \item Wenn zwei Zahlen $n,m\in\mathbb{N}$ den gleichen Nachfolger haben,
 $n'=m'$, dann sind sie gleich $n=m$.
 \item Enthält eine Menge $X$ die Zahl $0$ und mit jeder Zahl auch ihren
-Nachfolger, dann ist $X\subset\mathbb{N}$. %TODO: X = N?...
+Nachfolger, dann ist $\mathbb{N}\subset X$.
 \end{enumerate}
 
+\subsubsection{Vollständige Induktion}
+Es letzte Axiom formuliert das Prinzip der vollständigen Induktion.
+Um eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen $n$
+mit vollständiger Induktion zu beweisen, bezeichnet man mit
+$X$ die Menge aller Zahlen, für die $P(n)$ wahr ist.
+Die Induktionsverankerung beweist, dass $P(0)$ wahr ist, dass also $0\in X$.
+Der Induktionsschritt beweist, dass mit einer Zahl $n\in X$ auch der
+Nachfolger $n'\in X$ ist.
+Nach dem letzten Axiom ist $\mathbb{N}\subset X$, oder anders ausgedrückt,
+die Aussage $P(n)$ ist wahr für jede natürliche Zahl.
+
 \subsubsection{Addition}
 Aus der Nachfolgereigenschaft lässt sich durch wiederholte Anwendung
 die vertrautere Addition konstruieren.