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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
index 9848469..cb37d05 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
@@ -182,7 +182,7 @@ begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist.
 Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe
 bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$.
 
-\subsubsection{Homomorphismen}
+\subsubsection{Homomorphismen} \label{buch:gruppen:subsection:homomorphismen}
 Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus,
 dass sie die algebraische Struktur des Vektorraumes respektieren.
 Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung,
@@ -313,14 +313,14 @@ auf einem geeigneten Vektorraum.
 \begin{definition}
 \label{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung}
 Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus 
-$G\to\operatorname{GL}_(\mathbb{R})$.
+$G\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
 \index{Darstellung}
 \end{definition}
 
 \begin{beispiel}
 Die Gruppen $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$,
 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ oder $\operatorname{SO}(n)$ 
-sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}$.
+sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
 Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
 ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die
 {\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$.
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
index 2fcf199..ac2b85d 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
@@ -839,6 +839,83 @@ die Eigenschaft $A^{-1}A=I$ ganz allgemein gezeigt.
 \subsubsection{Determinante}
 XXX TODO
 
+\begin{beispiel}
+Die Inverse der Matrix
+\begin{equation}
+A=\begin{pmatrix}
+1&a&a\\
+a&1&a\\
+a&a&1
+\end{pmatrix}
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1}
+\end{equation}
+ist mit Hilfe von Determinanten besonders einfach zu invertieren.
+Die Determinante von $A$ ist nach der Sarrus-Formel
+\[
+\det A
+=
+1 + 2a^3  - 3a^2.
+\]
+Die adjungiert Matrix ist
+\begin{align*}
+A^{-1}
+&=
+\frac{1}{\det{A}}
+\begin{pmatrix}
+\det A_{11} & \det A_{21} & \det A_{31} \\
+\det A_{12} & \det A_{22} & \det A_{32} \\
+\det A_{13} & \det A_{23} & \det A_{33} 
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\frac{1}{2a^3-3a^2+1}
+\renewcommand\arraystretch{1.1}
+\begin{pmatrix*}[r]
+\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right|
+&
+-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right|
+&
+\left|\begin{matrix}a&a\\1&a\end{matrix}\right|
+\\
+-\left|\begin{matrix}a&a\\a&1\end{matrix}\right|
+&
+\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right|
+&
+-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right|
+\\
+\left|\begin{matrix}a&1\\a&a\end{matrix}\right|
+&
+-\left|\begin{matrix}1&a\\a&a\end{matrix}\right|
+&
+\left|\begin{matrix}1&a\\a&1\end{matrix}\right|
+\end{pmatrix*}
+\\
+&=
+\frac{1}{2a^3-3a^2+1}
+\begin{pmatrix}
+1-a^2 & a^2-a & a^2-a\\
+a^2-a & 1-a^2 & a^2-a\\
+a^2-a & a^2-a & 1-a^2
+\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Mit $1-a^2=(1+a)(1-a)$ und $a^2-a=a(a-1)$ kann man dies noch etwas
+vereinfachen, indem man den gemeinsamen Faktor $1-a$ ausklammern.
+Man erhält so die Form
+\begin{equation}
+A^{-1}
+=
+\frac{1-a}{2a^3-3a^2+1}
+\begin{pmatrix}
+1+a &  -a &  -a \\
+ -a & 1+a &  -a \\
+ -a &  -a & 1+a
+\end{pmatrix}.
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn2}
+\end{equation}
+für die Inverse einer Matrix der Form 
+\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:abeispiel:eqn1}.
+\end{beispiel}
+
 %
 % Lineare Abbildungen
 %
@@ -1133,3 +1210,8 @@ n-\operatorname{def}A.
 
 \subsubsection{Quotient}
 TODO: $\operatorname{im} A \simeq \Bbbk^m/\ker A$
+
+
+
+
+