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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc
index f769a79..f211854 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc
@@ -11,6 +11,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/10-matrizenvektoren/ringe.tex				\
 	chapters/10-matrizenvektoren/algebren.tex			\
 	chapters/10-matrizenvektoren/koerper.tex			\
+	chapters/10-matrizenvektoren/skalarprodukt.tex			\
 	chapters/10-matrizenvektoren/hadamard.tex			\
 	chapters/10-matrizenvektoren/uebungsaufgaben/1001.tex		\
 	chapters/10-matrizenvektoren/uebungsaufgaben/1002.tex		\
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex
index e59374c..a2fa94b 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex
@@ -9,6 +9,7 @@
 \rhead{}
 
 \input{chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex}
+\input{chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex}
 \input{chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex}
 \input{chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex}
 
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
index 0ff1004..9848469 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
@@ -303,6 +303,36 @@ genauer untersucht.
 Das Beispiel suggeriert, dass man sich die Elemente von $G/H$
 als Reste vorstellen kann.
 
+\subsubsection{Darstellungen}
+Abstrakt definierte Gruppen können schwierig zu verstehen sein.
+Oft hilft es, wenn man eine geometrische Darstellung der Gruppenoperation
+finden kann.
+Die Gruppenelemente werden dann zu umkehrbaren linearen Operationen
+auf einem geeigneten Vektorraum.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung}
+Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus 
+$G\to\operatorname{GL}_(\mathbb{R})$.
+\index{Darstellung}
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Die Gruppen $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$,
+$\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ oder $\operatorname{SO}(n)$ 
+sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}$.
+Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die
+{\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$.
+\index{reguläre Darstellung}
+\end{beispiel}
+
+In Kapitel~\ref{buch:chapter:permutationen} wird gezeigt, 
+dass Permutationen einer endlichen eine Gruppe bilden und wie
+sie durch Matrizen dargestellt werden können.
+
+
+
 
 
 
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
new file mode 100644
index 0000000..df284b2
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
@@ -0,0 +1,41 @@
+%
+% skalarprodukt.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschulen
+%
+\section{Skalarprodukt
+\label{buch:section:skalarprodukt}}
+\rhead{Skalarprodukt}
+In der bisher dargestellten Form ist die lineare Algebra nicht
+in der Lage, unsere vom Abstandsbegriff dominierte Geometrie adäquat
+darzustellen.
+Als zusätzliches Hilfsmittel wird eine Methode benötigt, Längen
+und Winkel auszudrücken.
+Das Skalarprodukt passt in den algebraischen Rahmen der
+linearen Algebra, bringt aber auch einen Abstandsbegriff hervor,
+der genau der geometrischen Intuition entspricht.
+
+\subsection{Bilinearformen
+\label{buch:subsection:bilinearformen}}
+% XXX Bilinearität
+% XXX Polarformel
+% XXX Positiv definite Form
+% XXX Sesquilinearform
+
+\subsection{Orthogonale und unitäre Matrizen
+\label{buch:subsection:orthogonale-und-unitaere-matrizen}}
+% XXX Skalarprodukt und Lineare Abbildungen
+% XXX Symmetrische Matrizen
+% XXX Selbstadjungierte Matrizen
+
+\subsection{Orthogonale Unterräume
+\label{buch:subsection:orthogonale-unterraeume}}
+% XXX Invariante Unterräume 
+% XXX Kern und Bild orthogonaler Abbildungen
+
+\subsection{Andere Normen auf Vektorräumen
+\label{buch:subsection:andere-normen}}
+% XXX l1 Norm
+% XXX linfty Norm
+% XXX Normen auf Funktionenräumen
+% XXX Operatornorm