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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc
index 69468f6..f211854 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc
@@ -6,9 +6,13 @@
 
 CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/10-matrizenvektoren/linear.tex				\
+	chapters/10-matrizenvektoren/strukturen.tex			\
 	chapters/10-matrizenvektoren/gruppen.tex			\
 	chapters/10-matrizenvektoren/ringe.tex				\
 	chapters/10-matrizenvektoren/algebren.tex			\
+	chapters/10-matrizenvektoren/koerper.tex			\
+	chapters/10-matrizenvektoren/skalarprodukt.tex			\
+	chapters/10-matrizenvektoren/hadamard.tex			\
 	chapters/10-matrizenvektoren/uebungsaufgaben/1001.tex		\
 	chapters/10-matrizenvektoren/uebungsaufgaben/1002.tex		\
 	chapters/10-matrizenvektoren/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex
index 821c408..9e1d3dc 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex
@@ -3,5 +3,131 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Algebren
-\label{buch:grundlagen:section:algebren}}
+\subsection{Algebren
+\label{buch:grundlagen:subsection:algebren}}
+Die Skalar-Multiplikation eines Vektorraums ist in einem Ring nicht
+vorhanden.
+Die Menge der Matrizen $M_n(\Bbbk)$ ist sowohl ein Ring als auch
+ein Vektorraum.
+Man nennt eine {\em $\Bbbk$-Algebra} oder {\em Algebra über $\Bbbk$}
+ein Ring $A$, der auch eine $\Bbbk$-Vektorraum ist.
+Die Multiplikation des Ringes muss dazu mit der Skalarmultiplikation
+verträglich sein.
+Dazu müssen Assoziativgesetze
+\[
+\lambda(\mu a) = (\lambda \mu) a
+\qquad\text{und}\qquad
+\lambda(ab) = (\lambda a) b
+\]
+für $a,b\in A$ und $\lambda,\mu\in\Bbbk$
+und eine Regel der Form
+\begin{equation}
+a(\lambda b) = \lambda (ab)
+\label{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ}
+\end{equation}
+gelten.
+Die Bedingung \eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ} ist
+eine Folge der Forderung, dass die Multiplikation 
+eine lineare Abbildung sein soll.
+Dies bedeutet, dass
+\begin{equation}
+a(\lambda b+\mu c) = \lambda (ab) + \mu (ac),
+\label{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebralinear}
+\end{equation}
+woraus 
+\eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebrakommutativ}
+für $\mu=0$ folgt.
+Die Regel \eqref{buch:vektorenmatrizen:eqn:algebralinear}
+beinhaltet aber auch das Distributivgesetz.
+$M_n(\Bbbk)$ ist eine Algebra.
+
+\subsubsection{Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$}
+Sie $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$.
+Auf $\Bbbk^X$ kann man Addition, Multiplikation mit Skalaren und
+Multiplikation von Funktionen punktweise definieren.
+Für zwei Funktion $f,g\in\Bbbk^X$ und $\lambda\in\Bbbk$ definiert man
+\[
+\begin{aligned}
+&\text{Summe $f+g$:}
+&
+(f+g)(x) &= f(x)+g(x)
+\\
+&\text{Skalare $\lambda f$:}
+&
+(\lambda f)(x) &= \lambda f(x)
+\\
+&\text{Produkt $f\cdot g$:}
+&
+(f\cdot g)(x) &= f(x) g(x)
+\end{aligned}
+\]
+Man kann leicht nachprüfen, dass die Menge der Funktionen $\Bbbk^X$
+mit diesen Verknüfungen die Struktur einer $\Bbbk$-Algebra erhält.
+
+Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$ hat auch ein Einselement:
+die konstante Funktion
+\[
+1\colon [a,b] \to \Bbbk : x \mapsto 1
+\]
+mit Wert $1$ erfüllt
+\[
+(1\cdot f)(x) = 1(x) f(x) = f(x)
+\qquad\Rightarrow\qquad 1\cdot f = f,
+\]
+die Eigenschaft einer Eins in der Algebra.
+
+\subsubsection{Die Algebra der stetigen Funktionen $C([a,b])$}
+Die Menge der stetigen Funktionen $C([a,b])$ ist natürlich eine Teilmenge
+aller Funktionen: $C([a,b])\subset \mathbb{R}^{[a,b]}$ und erbt damit
+auch die Algebraoperationen.
+Man muss nur noch sicherstellen, dass die Summe von stetigen Funktionen,
+das Produkt einer stetigen Funktion mit einem Skalar und das Produkt von
+stetigen Funktionen wieder eine stetige Funktion ist.
+Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn an jeder Stelle der Grenzwert
+mit dem Funktionswert übereinstimmt.
+Genau dies garantieren die bekannten Rechenregeln für stetige Funktionen.
+Für zwei stetige Funktionen $f,g\in C([a,b])$ und einen Skalar
+$\lambda\in\mathbb{R}$ gilt
+\[
+\begin{aligned}
+&\text{Summe:}
+&
+\lim_{x\to x_0} (f+g)(x)
+&=
+\lim_{x\to x_0} (f(x)+g(x))
+=
+\lim_{x\to x_0} f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x)
+=
+f(x_0)+g(x_0) = (f+g)(x_0)
+\\
+&\text{Skalare:}
+&
+\lim_{x\to x_0} (\lambda f)(x)
+&=
+\lim_{x\to x_0} (\lambda f(x)) = \lambda \lim_{x\to x_0} f(x)
+=
+\lambda f(x_0) = (\lambda f)(x_0)
+\\
+&\text{Produkt:}
+&
+\lim_{x\to x_0}(f\cdot g)(x)
+&=
+\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot g(x)
+=
+\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot
+\lim_{x\to x_0} g(x)
+=
+f(x_0)g(x_0)
+=
+(f\cdot g)(x_0).
+\end{aligned}
+\]
+für jeden Punkt $x_0\in[a,b]$.
+Damit ist $C([a,b])$ eine $\mathbb{R}$-Algebra.
+Die Algebra hat auch eine Eins, da die konstante Funktion $1(x)=1$ 
+stetig ist.
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex
index 51b91ab..a2fa94b 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex
@@ -9,11 +9,12 @@
 \rhead{}
 
 \input{chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex}
-\input{chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex}
-\input{chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex}
-\input{chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex}
+\input{chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex}
+\input{chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex}
+\input{chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex}
 
 \section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
 \aufgabetoplevel{chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben}
 \begin{uebungsaufgaben}
 \uebungsaufgabe{1001}
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
index fe77009..9848469 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex
@@ -3,6 +3,336 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapeprswil
 %
-\section{Gruppen
-\label{buch:grundlagen:setion:gruppen}}
-\rhead{Gruppen}
+\subsection{Gruppen
+\label{buch:grundlagen:subsection:gruppen}}
+Die kleinste sinnvolle Struktur ist die einer Gruppe.
+Eine solche besteht aus einer Menge $G$ mit einer Verknüpfung,
+die additiv
+\begin{align*}
+G\times G \to G&: (g,h) = gh
+\intertext{oder multiplikativ }
+G\times G \to G&: (g,h) = g+h
+\end{align*}
+geschrieben werden kann.
+Ein Element $0\in G$ heisst {\em neutrales Element} bezüglich der additiv
+geschriebenen Verknüpfung falls $0+x=x$ für alle $x\in G$.
+\index{neutrales Element}%
+Ein Element $e\in G$ heisst neutrales Element bezüglich der multiplikativ 
+geschriebneen Verknüpfung, wenn $ex=x$ für alle $x\in G$.
+In den folgenden Definitionen werden wir immer die multiplikative
+Schreibweise verwenden, für Fälle additiv geschriebener siehe auch die
+Beispiele weiter unten.
+
+\begin{definition}
+\index{Gruppe}%
+Ein {\em Gruppe}
+\index{Gruppe}%
+ist eine Menge $G$ mit einer Verknüfung mit folgenden
+Eigenschaften:
+\begin{enumerate}
+\item
+Die Verknüpfung ist assoziativ: $(ab)c=a(bc)$ für alle $a,b,c\in G$.
+\item
+Es gibt ein neutrales Element $e\in G$
+\item
+Für jedes Element $g\in G$ gibt es ein Element $h\in G$ mit 
+$hg=e$.
+\end{enumerate}
+Das Element $h$ heisst auch das Inverse Element zu $g$.
+\end{definition}
+
+Falls nicht jedes Element invertierbar ist, aber wenigstens ein neutrales
+Element vorhanden ist, spricht man von einem {\em Monoid}.
+\index{Monoid}%
+Hat man nur eine Verknüpfung, spricht man oft von einer {\em Halbruppe}.
+\index{Halbgruppe}%
+
+\begin{definition}
+Eine Gruppe $G$ heisst abelsch, wenn $ab=ba$ für alle $a,b\in G$.
+\end{definition}
+
+Additiv geschrieben Gruppen werden immer als abelsch angenommen,
+multiplikativ geschrieben Gruppen können abelsch oder nichtabelsch sein.
+
+\subsubsection{Beispiele von Gruppen}
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge $\mathbb{Z}$ mit der Addition ist eine additive Gruppe mit
+dem neutralen Element $0$.
+Das additive Inverse eines Elementes $a$ ist $-a$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die von Null verschiedenen Elemente $\Bbbk^*$ eines Zahlekörpers bilden
+bezüglich der Multiplikation eine Gruppe mit neutralem Element $1$.
+Das multiplikative Inverse eines Elementes $a\in \Bbbk$ mit $a\ne 0$
+ist $a^{-1}=\frac1{a}$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Vektoren $\Bbbk^n$ bilden bezüglich der Addition eine Gruppe mit
+dem Nullvektor als neutralem Element.
+Betrachtet man $\Bbbk^n$ als Gruppe, verliert man die Multiplikation
+mit Skalaren aus den Augen.
+$\Bbbk^n$ als Gruppe zu bezeichnen ist also nicht falsch, man
+verliert dadurch aber 
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge aller quadratischen $n\times n$-Matrizen $M_n(\Bbbk)$ ist
+eine Gruppe bezüglich der Addition mit der Nullmatrix als neutralem
+Element.
+Bezügich der Matrizenmultiplikation ist $M_n(\Bbbk)$ aber keine
+Gruppe, da sich die singulären Matrizen nicht inverieren lassen.
+Die Menge der invertierbaren Matrizen
+\[
+\operatorname{GL}_n(\Bbbk)
+=
+\{
+A\in M_n(\Bbbk)\;|\; \text{$A$ invertierbar}
+\}
+\]
+ist bezüglich der Multiplikation eine Gruppe.
+Die Gruppe $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ ist eine echte Teilmenge 
+von $M_n(\Bbbk)$, die Addition und Multiplikation führen im Allgemeinen
+aus der Gruppe heraus, es gibt also keine Mögichkeit, in der Gruppe
+$\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ diese Operationen zu verwenden.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Einige einfache Rechenregeln in Gruppen}
+Die Struktur einer Gruppe hat bereits eine Reihe von
+Einschränkungen zur Folge.
+Zum Beispiel sprach die Definition des neutralen Elements $e$ nur von
+Produkten der Form $ex=x$, nicht von Produkten $xe$.
+Und die Definition des inversen Elements $h$ von $g$ hat nur
+verlangt, dass $gh=e$, es wurde nichts gesagt über das Produkt $hg$.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln}
+Ist $G$ eine Gruppe mit neutralem Element $e$, dann gilt
+\begin{enumerate}
+\item
+$xe=x$ für alle $x\in G$
+\item
+Es gibt nur ein neutrales Element.
+Wenn also $f\in G$ mit $fx=x$ für alle $x\in G$, ist dann folgt $f=e$.
+\item 
+Wenn $hg=e$ gilt, dann auch $gh=e$ und $h$ ist durch $g$ eindeutig bestimmt.
+\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir beweisen als Erstes den ersten Teil der Eigenschaft~3.
+Sei $h$ die Inverse von $g$, also $hg=e$.
+Sei weiter $i$ die Inverse von $h$, also $ih=e$.
+Damit folgt jetzt
+\[
+g
+=
+eg
+=
+(ih)g
+=
+i(hg)
+=
+ie.
+\]
+Wende man dies auf das Produkt $gh$ an, folgt
+\[
+gh
+=
+(ie)h
+=
+i(eh)
+=
+ih
+=
+e
+\]
+Es ist also nicht nur $hg=e$ sondern immer auch $gh=e$.
+
+Für eine Inverse $h$ von $g$ folgt
+\[
+ge
+=
+g(hg)
+=
+(gh)g
+=
+eg
+=
+g,
+\]
+dies ist die Eigenschaft~1.
+
+Sind $f$ und $e$ neutrale Elemente, dann folgt
+\[
+f = fe = e
+\]
+aus der Eigenschaft~1.
+
+Schliesslich sei $x$ ein beliebiges Inverses von $g$, dann ist
+$xg=e$, dann folgt
+$x=xe=x(gh)=(xg)h = eh = h$, es gibt also nur ein Inverses von $g$.
+\end{proof}
+
+Diesem Problem sind wir zum Beispiel auch in
+Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gleichungssyteme}
+begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist.
+Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe
+bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$.
+
+\subsubsection{Homomorphismen}
+Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen zeichnen sich dadurch aus,
+dass sie die algebraische Struktur des Vektorraumes respektieren.
+Für eine Abbildung zwischen Gruppen heisst dies, dass die Verknüpfung,
+das neutrale Element und die Inverse respektiert werden müssen.
+
+\begin{definition}
+Ein Abbildung $\varphi\colon G\to H$ zwischen Gruppen heisst ein
+{\em Homomorphismus}, wenn 
+$\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)$ für alle $g_1,g_2\in G$ gilt.
+\index{Homomorphismus}%
+\end{definition}
+
+Der Begriff des Kerns einer linearen Abbildung lässt sich ebenfalls auf
+die Gruppensituation erweitern.
+Auch hier ist der Kern der Teil der Gruppe, er unter dem 
+Homomorphismus ``unsichtbar'' wird.
+
+\begin{definition}
+Ist $\varphi\colon G\to H$ ein Homomorphisus, dann ist
+\[
+\ker\varphi
+=
+\{g\in G\;|\; \varphi(g)=e\}
+\]
+eine Untergruppe.
+\index{Kern}%
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Normalteiler}
+Der Kern eines Homomorphismus ist nicht nur eine Untergruppe, er erfüllt
+noch eine zusätzliche Bedingung. 
+Für jedes $g\in G$ und $h\in\ker\varphi$ gilt 
+\[
+\varphi(ghg^{-1})
+=
+\varphi(g)\varphi(h)\varphi(g^{-1})
+=
+\varphi(g)\varphi(g^{-1})
+=
+\varphi(gg^{-1})
+=
+\varphi(e)
+=
+e
+\qquad\Rightarrow\qquad
+ghg^{-1}\in\ker\varphi.
+\]
+Der Kern wird also von der Abbildung $h\mapsto ghg^{-1}$,
+der {\em Konjugation} in sich abgebildet.
+
+\begin{definition}
+Eine Untergruppe $H \subset G$ heisst ein {\em Normalteiler},
+geschrieben $H \triangleleft G$
+wenn $gHg^{-1}\subset H$ für jedes $g\in G$.
+\index{Normalteiler}
+\end{definition}
+
+Die Konjugation selbst ist ebenfalls keine Unbekannte, sie ist uns
+bei der Basistransformationsformel schon begegnet.
+Die Tatsache, dass $\ker\varphi$ unter Konjugation erhalten bleibt,
+kann man also interpretieren als eine Eigenschaft, die unter
+Basistransformation erhalten bleibt.
+
+\subsubsection{Faktorgruppen}
+Ein Unterraum $U\subset V$ eines Vektorraumes gibt Anlass zum
+Quotientenraum, der dadurch entsteht, dass man die Vektoren in $U$
+zu $0$ kollabieren lässt.
+Eine ähnliche Konstruktion könnte man für eine Untergruppe $H \subset G$
+versuchen.
+Man bildet also wieder die Mengen von Gruppenelementen, die sich um
+ein Elemente in $H$ unterscheiden.
+Man kann diese Mengen in der Form $gH$ mit $g\in G$ schreiben.
+
+Man möchte jetzt aber auch die Verknüpfung für solche Mengen 
+definieren, natürlich so, dass $g_1H\cdot g_2H = (g_1g_2)H$ ist.
+Da die Verknüpfung nicht abelsch sein muss, entsteht hier
+ein Problem.
+Für $g_1=e$ folgt, dass $Hg_2H=g_2H$ sein muss.
+Das geht nur, wenn $Hg_2=g_2H$ oder $g_2Hg_2^{-1}=H$ ist, wenn
+also $H$ ein Normalteiler ist.
+
+\begin{definition}
+Für eine Gruppe $G$ mit Normalteiler  $H\triangleleft G$ ist die
+Menge
+\[
+G/H = \{ gH \;|\; g\in G\}
+\]
+eine Gruppe mit der Verknüpfung $g_1H\cdot g_2H=(g_1g_2)H$.
+$G/H$ heisst {\em Faktorgruppe} oder {\em Quotientengruppe}.
+\index{Faktorgruppe}%
+\index{Quotientengruppe}%
+\end{definition}
+
+Für abelsche Gruppen ist die Normalteilerbedingung keine zusätzliche
+Einschränkung, jeder Untergruppe ist auch ein Normalteiler.
+
+\begin{beispiel}
+Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ bilden eine abelsche Gruppe und
+die Menge der Vielfachen von $n$
+$n\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$ ist eine Untergruppe.
+Da $\mathbb{Z}$ abelsch ist, ist $n\mathbb{Z}$ ein Normalteiler
+und die Faktorgruppe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ist wohldefiniert.
+Nur die Elemente
+\[
+0+n\mathbb{Z},
+1+n\mathbb{Z},
+2+n\mathbb{Z},
+\dots
+(n-1)+n\mathbb{Z}
+\]
+sind in der Faktorgruppe verschieden.
+Die Gruppe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ besteht also aus den Resten
+bei Teilung durch $n$.
+Diese Gruppe wird in Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper}
+genauer untersucht.
+\end{beispiel}
+
+Das Beispiel suggeriert, dass man sich die Elemente von $G/H$
+als Reste vorstellen kann.
+
+\subsubsection{Darstellungen}
+Abstrakt definierte Gruppen können schwierig zu verstehen sein.
+Oft hilft es, wenn man eine geometrische Darstellung der Gruppenoperation
+finden kann.
+Die Gruppenelemente werden dann zu umkehrbaren linearen Operationen
+auf einem geeigneten Vektorraum.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:vektorenmatrizen:def:darstellung}
+Eine Darstellung einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus 
+$G\to\operatorname{GL}_(\mathbb{R})$.
+\index{Darstellung}
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Die Gruppen $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$,
+$\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ oder $\operatorname{SO}(n)$ 
+sind alle Teilmengen von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}$.
+Die Einbettungsabbildung $G\hookrightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+ist damit automatisch eine Darstellung, sie heisst auch die
+{\em reguläre Darstellung} der Gruppe $G$.
+\index{reguläre Darstellung}
+\end{beispiel}
+
+In Kapitel~\ref{buch:chapter:permutationen} wird gezeigt, 
+dass Permutationen einer endlichen eine Gruppe bilden und wie
+sie durch Matrizen dargestellt werden können.
+
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex
new file mode 100644
index 0000000..1fd0373
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex
@@ -0,0 +1,307 @@
+%
+% hadamard.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Hadamard-Algebra
+\label{buch:section:hadamard-algebra}}
+\rhead{Hadamard-Algebra}
+Das Matrizenprodukt ist nicht die einzige Möglichkeit, ein Produkt auf
+Vektoren oder Matrizen zu definieren.
+In diesem Abschnitt soll das Hadamard-Produkt beschrieben werden,
+welches zu einer kommutativen-Algebra-Struktur führt.
+
+%
+% Definition des Hadamard-Produktes
+%
+\subsection{Hadamard-Produkt
+\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:hadamard-produkt}}
+Im Folgenden werden wir $\Bbbk^n =M_{n\times 1}(\Bbbk)$ setzen
+und den Fall der Vektoren nicht mehr separat diskutieren.
+Die Addition und Multiplikation mit Skalaren ist in 
+$M_{m\times n}(\Bbbk)$ komponentenweise definiert.
+Wir können natürlich auch ein Produkt komponentenweise definieren,
+dies ist das Hadamard-Produkt.
+
+\begin{definition}
+Das {\em Hadamard-Produkt} zweier Matrizen
+$A,B\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ ist definiert als die Matrix
+$A\odot B$ 
+mit den Komponenten
+\[
+(A\odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}.
+\]
+Wir nennen $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit der Multiplikation $\odot$ 
+auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$.
+\end{definition}
+
+Dies ist jedoch nur interessant, wenn $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit diesem
+Produkt eine interessante algebraische Struktur erhält.
+Dazu müssen die üblichen Verträglichkeitsgesetze zwischen den
+Vektorraumoperationen von $M_{m\times n}(\Bbbk)$ und dem neuen Produkt
+gelten, wir erhalten dann eine Algebra.
+Da alle Operationen elementweise definiert sind, muss man auch alle
+Rechengesetze nur elementweise prüfen.
+Es gilt
+\begin{align*}
+A\odot(B\odot C) &= (A\odot B)\odot C
+&&\Leftrightarrow&
+a_{ij}(b_{ij}c_{ij}) &= (a_{ij}b_{ij})c_{ij}
+\\
+A\odot(B+C) &= A\odot B + A\odot C
+&&\Leftrightarrow&
+a_{ij}(b_{ij}+c_{ij}) &= a_{ij}b_{ij} + a_{ij}c_{ij}
+\\
+(A+B)\odot C&=A\odot C+B\odot C
+&&\Leftrightarrow&
+(a_{ij}+b_{ij})c_{ij}&=a_{ij}c_{ij} + b_{ij}c_{ij}
+\\
+(\lambda A)\odot B &= \lambda (A\odot B)
+&&\Leftrightarrow&
+(\lambda a_{ij})b_{ij}&=\lambda(a_{ij}b_{ij})
+\\
+A\odot(\lambda B)&=\lambda(A\odot B)
+&&\Leftrightarrow&
+a_{ij}(\lambda b_{ij})&=\lambda(a_{ij}b_{ij})
+\end{align*}
+für alle $i,j$.
+
+Das Hadamard-Produkt ist kommutativ, da die Multiplikation in $\Bbbk$
+kommuativ ist.
+Das Hadamard-Produkt kann auch für Matrizen mit Einträgen in einem
+Ring definiert werden, in diesem Fall ist es möglich, dass die entsehende
+Algebra nicht kommutativ ist.
+
+Die Hadamard-Algebra hat auch ein Eins-Elemente, nämlich die Matrix,
+die aus lauter Einsen besteht.
+
+\begin{definition}
+Die sogenannte {\em Einsmatrix} $U$ ist die Matrix
+\[
+U=\begin{pmatrix}
+1&1&\dots&1\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+1&1&\dots&1
+\end{pmatrix}
+\in
+M_{m\times n}(\Bbbk)
+\]
+mit lauter Einträgen $1\in\Bbbk$.
+\end{definition}
+
+Die Hadamard-Algebra ist ein Spezialfall der Algebra der Funktionen
+$\Bbbk^X$.
+Ordnet man dem Vektor $v\in \Bbbk^n$ mit den Komponenten $v_i$ 
+die Abbildung
+\[
+v\colon [n] \to \Bbbk: i \mapsto v_i
+\]
+zu, dann geht die Addition von Vektoren in die Addition von
+Funktionen über, die Multiplikation von Skalaren mit Vektoren
+geht in die Multiplikation von Funktionen mit Skalaren über 
+und die Hadamard-Multiplikation geht über in das Produkt von
+Funktionen.
+
+Auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$ kann als Funktionenalgebra
+betrachtet werden.
+Einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\Bbbk)$ ordnet man die Funktion
+\[
+a\colon [m]\times [n] : (i,j) \mapsto a_{ij}
+\]
+zu.
+Dabei gehen die Algebraoperationen von $H_{m\times n}(\Bbbk)$ über
+in die Algebraoperationen der Funktionenalgebra $\Bbbk^{[m]\times [n]}$.
+Aus der Einsmatrix der Hadamard-Algebra wird dabei zur konstanten
+Funktion $1$ auf $[m]\times[n]$.
+
+\subsection{Hadamard-Produkt und Matrizenalgebra
+\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:vertraeglichkeit}}
+Es ist nur in Ausnahmefällen, Hadamard-Produkt und Matrizen-Produkt
+gleichzeitig zu verwenden.
+Das liegt daran, dass die beiden Produkte sich überhaupt nicht 
+vertragen.
+
+\subsubsection{Unverträglichkeit von Hadamard- und Matrizen-Produkt}
+Das Hadamard-Produkt und das gewöhnliche Matrizenprodukt sind
+in keiner Weise kompatibel.
+Die beiden Matrizen 
+\[
+A=\begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix}
+\qquad\text{und}\qquad
+B=\begin{pmatrix}-5&4\\4&-3\end{pmatrix}
+\]
+sind inverse Matrizen bezüglich des Matrizenproduktes, also
+$AB=E$.
+Für das Hadamard-Produkt gilt dagegen
+\[
+A\odot B
+=
+\begin{pmatrix}
+-15& 16\\
+ 16&-15
+\end{pmatrix}.
+\]
+Die Inverse einer Matrix $A$ Bezüglich des Hadamard-Produktes hat
+die Einträge $a_{ij}^{-1}$.
+Die Matrix $E$ ist bezüglich des gewöhnlichen Matrizenproduktes
+invertierbar, aber sie ist bezüglich des Hadamard-Produktes nicht
+invertierbar.
+
+\subsubsection{Einbettung der Hadamard-Algebra ein eine Matrizenalgebra}
+Hadamard-Algebren können als Unteralgebren einer Matrizenalgebra
+betrachtet werden.
+Der Operator $\operatorname{diag}$ bildet Vektoren ab in Diagonalmatrizen
+nach der Regel
+\[
+\operatorname{diag}
+\colon
+\Bbbk^n \to M_n(\Bbbk)
+:
+\begin{pmatrix}
+v_1\\
+\vdots\\
+v_n
+\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+v_1&\dots&0\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&\dots&v_n
+\end{pmatrix}
+\]
+Das Produkt von Diagonalmatrizen ist besonders einfach.
+Für zwei Vektoren $a,b\in\Bbbk^n$ 
+\[
+a\odot b
+=
+\begin{pmatrix}
+a_1b_1\\
+\vdots\\
+a_nb_n
+\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+a_1b_1&\dots&0\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&\dots&a_nb_n
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+a_1&\dots&0\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&\dots&a_n
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+b_1&\dots&0\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+0&\dots&b_n
+\end{pmatrix}.
+\]
+Das Hadamard-Produkt der Vektoren geht also über in das gewöhnliche
+Matrizenprodukt der Diagonalmatrizen.
+
+Für die Hadamard-Matrix ist die Einbettung etwas komplizierter.
+Wir machen aus einer Matrix erst einen Vektor, den wir dann mit
+dem $\operatorname{diag}$ in eine Diagonalmatrix umwandeln:
+\[
+\begin{pmatrix}
+a_{11}&\dots&a_{1n}\\
+\vdots&\ddots&\vdots\\
+a_{m1}&\dots
+\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+a_{11}\\
+\vdots\\
+a_{1n}\\
+a_{21}\\
+\vdots\\
+a_{2n}\\
+\vdots\\
+a_{nn}
+\end{pmatrix}
+\]
+Bei dieser Abbildung geht die Hadamard-Multiplikation wieder in
+das gewöhnliche Matrizenprodukt über.
+
+% XXX Faltungsmatrizen und Fouriertheorie
+\subsubsection{Beispiel: Faltung und Fourier-Theorie}
+
+\subsection{Weitere Verknüpfungen
+\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:weitere}}
+
+\subsubsection{Transposition}
+Das Hadamard-Produkt verträgt sich mit der Transposition:
+\[
+(A\odot B)^t = A^t \odot B^t.
+\]
+Insbesondere ist das Hadamard-Produkt zweier symmetrischer Matrizen auch 
+wieder symmetrisch.
+
+\subsubsection{Frobeniusnorm}
+Das Hadamard-Produkt in der Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\mathbb{R})$
+nimmt keine Rücksicht auf die Dimensionen einer Matrix und ist nicht
+unterscheidbar von $\mathbb{R}^{m\times n}$ mit dem Hadamard-Produkt.
+Daher darf auch der Begriff einer mit den algebraischen Operationen
+verträglichen Norm nicht von von den Dimensionen abhängen.
+Dies führt auf die folgende Definition einer Norm.
+
+\begin{definition}
+Die {\em Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}\mathbb{R})$
+mit den Einträgen $(a_{ij})=A$ ist
+\[
+\| A\|_F
+=
+\sqrt{
+\sum_{i,j} a_{ij}^2
+}.
+\]
+Das {\em Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen
+$A,B\in H_{m\times n}(\mathbb{R})$
+ist
+\[
+\langle A,B\rangle_F
+=
+\sum_{i,j} a_{ij} b_{ij}
+=
+\operatorname{Spur} A^t B
+\]
+und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$.
+\end{definition}
+
+Für komplexe Matrizen muss 
+
+\begin{definition}
+Die {\em komplexe Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$
+ist
+\[
+\| A\|
+=
+\sqrt{
+\sum_{i,j} |a_{ij}|^2
+}
+=
+\sqrt{
+\sum_{i,u} \overline{a}_{ij} a_{ij}
+}
+\]
+das {\em komplexe Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen
+$A,B\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$ ist das Produkt
+\[
+\langle A,B\rangle_F
+=
+\sum_{i,j}\overline{a}_{ij} b_{ij}
+=
+\operatorname{Spur} (A^* B)
+\]
+und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$.
+\end{definition}
+
+% XXX Frobeniusnorm
+
+\subsubsection{Skalarprodukt}
+
+% XXX Skalarprodukt 
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..2c94e8a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/Makefile
@@ -0,0 +1,18 @@
+#
+# Makefile -- build images
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	ideale.pdf gausszahlen.pdf strukturen.pdf rref.pdf
+
+ideale.pdf:	ideale.tex
+	pdflatex ideale.tex
+
+gausszahlen.pdf:	gausszahlen.tex
+	pdflatex gausszahlen.tex
+
+strukturen.pdf:	strukturen.tex
+	pdflatex strukturen.tex
+
+rref.pdf:	rref.tex
+	pdflatex rref.tex
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf
new file mode 100644
index 0000000..181499c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.tex
new file mode 100644
index 0000000..6786f05
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.tex
@@ -0,0 +1,48 @@
+%
+% gausszahlen.tex -- Ganze Gausssche Zahlen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usepackage{color}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8]
+\draw[->] (-8.5,0) -- (8.5,0) coordinate[label={$\Re z$}];
+\draw[->] (0,-4.5) -- (0,4.5) coordinate[label={right:$\Im z$}];
+\foreach \x in {-8,...,8}{
+	\foreach \y in {-4,...,4}{
+		\fill (\x,\y) circle[radius=0.05];
+	}
+}
+
+
+\coordinate (O) at (0,0);
+\coordinate (A) at (2,2);
+\coordinate (B) at (-3,1);
+\coordinate (C) at (-8,-4);
+\coordinate (D) at (-1,3);
+\draw[line width=0.5pt] (A)--(D)--(B);
+\draw[->,color=red] (O) -- (A);
+\draw[->,color=red] (O) -- (B);
+\draw[->,color=blue] (O) -- (C);
+\draw[->,color=darkgreen] (O) -- (D);
+\fill[color=red] (A) circle[radius=0.08];
+\fill[color=red] (B) circle[radius=0.08];
+\fill[color=blue] (C) circle[radius=0.08];
+\fill[color=darkgreen] (D) circle[radius=0.08];
+\fill[color=black] (O) circle[radius=0.08];
+\node[color=red] at (A) [above right] {$z$};
+\node[color=red] at (B) [above left] {$w$};
+\node[color=darkgreen] at (D) [above] {$z+w$};
+\node[color=blue] at (C) [below right] {$z\cdot w$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.pdf b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.pdf
new file mode 100644
index 0000000..439afcc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.pdf
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.tex
new file mode 100644
index 0000000..9793c8e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.tex
@@ -0,0 +1,72 @@
+%
+% ideale.tex -- Ideale in den ganzen Gaussschen Zahlen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.35]
+\begin{scope}[xshift=-9.5cm]
+\begin{scope}
+\clip (-8.3,-8.3) rectangle (8.3,8.3);
+	\foreach \x in {-8,...,8}{
+		\foreach \y in {-8,...,8}{
+			\fill (\x,\y) circle[radius=0.08];
+		}
+	}
+	\foreach \x in {-8,...,8}{
+		\foreach \y in {-8,...,8}{
+			\fill[color=blue]
+				({\x-2*\y},{2*\x+\y}) circle[radius=0.12];
+		}
+	}
+	\foreach \x in {-8,...,8}{
+		\draw[color=blue,line width=0.5pt]
+			({\x-2*(-8)},{2*\x+(-8)}) 
+			--
+			({\x-2*8},{2*\x+8});
+	}
+	\foreach \y in {-8,...,8}{
+		\draw[color=blue,line width=0.5pt]
+			({(-8)-2*\y},{2*(-8)+\y}) 
+			--
+			({8-2*\y},{2*8+\y});
+	}
+\end{scope}
+	\draw[->] (-8.3,0) -- (9.1,0) coordinate[label={$\Re z$}];
+	\draw[->] (0,-8.3) -- (0,8.9) coordinate[label={right:$\Im z$}];
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=9.5cm]
+\begin{scope}
+\clip (-8.3,-8.3) rectangle (8.3,8.3);
+	\foreach \x in {-8,...,8}{
+		\foreach \y in {-8,...,8}{
+			\fill[color=red] ({\x-\y},{\x+\y}) circle[radius=0.12];
+		}
+	}
+	\foreach \x in {-8,...,8}{
+		\foreach \y in {-8,...,8}{
+			\fill (\x,\y) circle[radius=0.08];
+		}
+	}
+	\foreach \x in {-8,...,8}{
+		\draw[color=red,line width=0.5pt]
+			({\x+8},{\x-8}) -- ({\x-8},{\x+8});
+		\draw[color=red,line width=0.5pt]
+			({-8-\x},{-8+\x}) -- ({8-\x},{8+\x});
+	}
+\end{scope}
+	\draw[->] (-8.3,0) -- (9.1,0) coordinate[label={$\Re z$}];
+	\draw[->] (0,-8.3) -- (0,8.9) coordinate[label={right:$\Im z$}];
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.pdf b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.pdf
new file mode 100644
index 0000000..56fbfee
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.pdf
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.tex
new file mode 100644
index 0000000..9b2bf50
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.tex
@@ -0,0 +1,253 @@
+%
+% rref.tex -- Visualisierung des Gauss-Algorithmus
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{0.21}
+\def\r{0.4}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\pivot#1#2{
+	\fill[color=red!20] ({#1-0.5},{-#2+0.5}) circle[radius=\r];
+	\draw[color=red] ({#1-0.5},{-#2+0.5}) circle[radius=\r];
+}
+
+\def\spalteoben#1#2#3{
+	\fill[color=blue!20] ({(#1)-0.5+\r},{-(#3)})
+		-- ({(#1)-0.5+\r},{-(#2)+0.5}) arc (0:180:\r)
+		-- ({(#1)-0.5-\r},{-(#3)}) -- cycle;
+	\draw[color=blue] ({(#1)-0.5+\r},{-(#3)})
+		-- ({(#1)-0.5+\r},{-(#2)+0.5}) arc (0:180:\r)
+		-- ({(#1)-0.5-\r},{-(#3)});
+}
+
+\def\spalteunten#1#2#3{
+	\fill[color=blue!20] ({(#1)-0.5-\r},{-(#2)+1})
+		-- ({(#1)-0.5-\r},{-(#3)+0.5}) arc (-180:0:\r)
+		-- ({(#1)-0.5+\r},{-(#2)+1});
+	\draw[color=blue] ({(#1)-0.5-\r},{-(#2)+1})
+		-- ({(#1)-0.5-\r},{-(#3)+0.5}) arc (-180:0:\r)
+		-- ({(#1)-0.5+\r},{-(#2)+1});
+}
+
+\def\fuellung{
+	\fill[color=gray!50] (0,0) rectangle (8,-6);
+}
+\def\rahmen{
+	\draw (0,0) rectangle (8,-6);
+	\draw (7,0) -- (7,-6);
+}
+
+\def\eins#1#2{
+	\fill[color=gray] ({#1-1},{-#2}) rectangle ({#1},{-#2+1});
+}
+
+\def\null#1#2#3{
+	\fill[color=white] ({#1-1-0.01},{-#3-0.01})
+		rectangle ({#1+0.01},{-#2+1+0.01});
+}
+
+\fill[color=darkgreen!20] (-1.0,-10.81) rectangle (67.0,5);
+\fill[color=orange!20] (-1.0,-27) rectangle (67.0,-11.94);
+
+\node at (33,2) [above] {Vorwärtsreduktion};
+\node at (33,-24) [below] {Rückwärtseinsetzen};
+
+\draw[->] (9,-3.375)--(11,-3.375);
+\draw[->] (21,-3.375)--(23,-3.375);
+\draw[->] (33,-3.375)--(35,-3.375);
+\draw[->] (45,-3.375)--(47,-3.375);
+
+\draw[->] (57,-3.375) .. controls (62,-3.375) .. (62,-7.5);
+\draw[->] (62,-15.375) .. controls (62,-19.375) .. (57,-19.375);
+
+\draw[<-] (9,-19.375)--(11,-19.375);
+\draw[<-] (21,-19.375)--(23,-19.375);
+\draw[<-] (33,-19.375)--(35,-19.375);
+\draw[<-] (45,-19.375)--(47,-19.375);
+
+\begin{scope}[xshift=-0.5cm,scale=1.125]
+\fuellung
+\pivot{1}{1} 
+\spalteoben{1}{2}{6}
+\rahmen
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=11.5cm,scale=1.125]
+\fuellung
+\eins{1}{1}
+\null{1}{2}{6}
+\pivot{2}{2}
+\spalteoben{2}{3}{6}
+\rahmen
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=23.54cm,scale=1.125]
+\fuellung
+\eins{1}{1}
+\null{1}{2}{6}
+\eins{2}{2}
+\null{2}{3}{6}
+\pivot{3}{3}
+\spalteoben{3}{4}{6}
+\rahmen
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=35.5cm,scale=1.125]
+\fuellung
+\eins{1}{1}
+\null{1}{2}{6}
+\eins{2}{2}
+\null{2}{3}{6}
+\eins{3}{3}
+\null{3}{4}{6}
+\null{4}{4}{6}
+\pivot{5}{4}
+\spalteoben{5}{5}{6}
+\rahmen
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=47.5cm,scale=1.125]
+\fuellung
+\eins{1}{1}
+\null{1}{2}{6}
+\eins{2}{2}
+\null{2}{3}{6}
+\eins{3}{3}
+\null{3}{4}{6}
+\eins{5}{4}
+\null{5}{5}{6}
+\null{6}{5}{6}
+\pivot{7}{5}
+\spalteoben{7}{6}{6}
+\rahmen
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=57.5cm,yshift=-8cm,scale=1.125]
+\fuellung
+\eins{1}{1}
+\null{1}{2}{6}
+\eins{2}{2}
+\null{2}{3}{6}
+\eins{3}{3}
+\null{3}{4}{6}
+\null{4}{4}{6}
+\eins{5}{4}
+\null{5}{5}{6}
+\null{6}{5}{6}
+\eins{7}{5}
+\null{7}{6}{6}
+\rahmen
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=47.5cm,yshift=-16cm,scale=1.125]
+\fuellung
+\eins{1}{1}
+\null{1}{2}{6}
+\eins{2}{2}
+\null{2}{3}{6}
+\eins{3}{3}
+\null{3}{4}{6}
+\null{4}{4}{6}
+\eins{5}{4}
+\null{5}{5}{6}
+\null{6}{5}{6}
+\eins{7}{5}
+\null{7}{6}{6}
+\spalteunten{7}{1}{4}
+\rahmen
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=35.5cm,yshift=-16cm,scale=1.125]
+\fuellung
+\eins{1}{1}
+\null{1}{2}{6}
+\eins{2}{2}
+\null{2}{3}{6}
+\eins{3}{3}
+\null{3}{4}{6}
+\null{4}{4}{6}
+\eins{5}{4}
+\null{5}{5}{6}
+\null{6}{5}{6}
+\eins{7}{5}
+\null{7}{6}{6}
+\null{7}{1}{4}
+\spalteunten{5}{1}{3}
+\rahmen
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=23.5cm,yshift=-16cm,scale=1.125]
+\fuellung
+\eins{1}{1}
+\null{1}{2}{6}
+\eins{2}{2}
+\null{2}{3}{6}
+\eins{3}{3}
+\null{3}{4}{6}
+\null{4}{4}{6}
+\eins{5}{4}
+\null{5}{5}{6}
+\null{6}{5}{6}
+\eins{7}{5}
+\null{7}{6}{6}
+\null{7}{1}{4}
+\null{5}{1}{3}
+\spalteunten{3}{1}{2}
+\rahmen
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=11.5cm,yshift=-16cm,scale=1.125]
+\fuellung
+\eins{1}{1}
+\null{1}{2}{6}
+\eins{2}{2}
+\null{2}{3}{6}
+\eins{3}{3}
+\null{3}{4}{6}
+\null{4}{4}{6}
+\eins{5}{4}
+\null{5}{5}{6}
+\null{6}{5}{6}
+\eins{7}{5}
+\null{7}{6}{6}
+\null{7}{1}{4}
+\null{5}{1}{3}
+\null{3}{1}{2}
+\spalteunten{2}{1}{1}
+\rahmen
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=-0.5cm,yshift=-16cm,scale=1.125]
+\fuellung
+\eins{1}{1}
+\null{1}{2}{6}
+\eins{2}{2}
+\null{2}{3}{6}
+\eins{3}{3}
+\null{3}{4}{6}
+\null{4}{4}{6}
+\eins{5}{4}
+\null{5}{5}{6}
+\null{6}{5}{6}
+\eins{7}{5}
+\null{7}{6}{6}
+\null{7}{1}{4}
+\null{5}{1}{3}
+\null{3}{1}{2}
+\null{2}{1}{1}
+\rahmen
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.pdf b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.pdf
new file mode 100644
index 0000000..14f7e59
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.pdf
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.tex
new file mode 100644
index 0000000..02ca71d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.tex
@@ -0,0 +1,122 @@
+%
+% strukturen.tex -- Bezug der verschiedenen algebraischen Strukturen
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+% assoziative Verknüpfung
+\draw[rounded corners=1cm] (-7,-11.5) rectangle (7,7);
+
+\begin{scope}[yshift=6cm]
+\node at (0,0.5) [left] {{\bf assoziative Verknüpfung}:\strut};
+\node at (0,0.5) [right] {$a(bc)=(ab)c\;\forall a,b,c$\strut};
+\node at (0,-0.3) {\small $\mathbb{N}$, $\Sigma^*$};
+\end{scope}
+
+% Gruppe
+\fill[rounded corners=1cm,color=gray!40] (-6.5,-11.0) rectangle (6.5,5.3);
+\draw[rounded corners=1cm] (-6.5,-11.0) rectangle (6.5,5.3);
+
+\begin{scope}[xshift=-3cm,yshift=4.3cm]
+\node at (0,0.5) [left] {{\bf Gruppe}:};
+\node at (0,0.5) [right] {neutrales Element $e$:\strut};
+\node at (3.3,0.5)  [right] {$eg=ge=g$\strut};
+\node at (5.7,0.5) [right] {$\forall g\in G$\strut};
+\node at (0,0.0) [right] {inverses Element $g^{-1}$:\strut};
+\node at (3.3,0.0) [right] {$gg^{-1}=g^{-1}g=e$\strut};
+\node at (5.7,0.0) [right] {$\forall g\in G$\strut};
+\node at (3,-1) {\small $\mathbb{Z}$, $\operatorname{GL}_n(\mathbb R)$, $S_n$, $A_n$};
+\end{scope}
+
+% abelsche Gruppe
+\fill[rounded corners=0.7cm,color=gray!20] (-6.2,-10.7) rectangle (6.2,2.7);
+\draw[rounded corners=0.7cm] (-6.2,-10.7) rectangle (6.2,2.7);
+\begin{scope}[yshift=1.5cm]
+\node at (0,0.5) [left] {{\bf abelsche Gruppe}:\strut};
+\node at (0,0.5) [right] {$a+b=b+a\;\forall a,b$\strut};
+\node at (0,0.0) {Addition\strut};
+
+\node at (0,-1) {\small $\mathbb{Q}^*$, $\operatorname{SO}(2)$, $C_n$ };
+\end{scope}
+
+\fill[rounded corners=0.5cm,color=white] (-2,-10.5) rectangle (6,-0.5);
+\fill[rounded corners=0.5cm,color=blue!20] (-6,-10.1) rectangle (2,0);
+%\draw[rounded corners=0.5cm] (-6,-10.0) rectangle (2,0);
+
+% Vektorraum
+\begin{scope}[yshift=-1cm]
+\node at (-5.8,0.5) [right] {{\bf Vektorraum}:\strut};
+\node at (-5.8,0.0) [right] {Skalarmultiplikation\strut};
+
+\node at (-5.8,-0.5) [right] {$\lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b$\strut};
+\node at (-5.8,-1.0) [right] {$(\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a$\strut};
+\node at (-5.8,-1.5) [right] {$\forall\lambda,\mu\in \Bbbk\;\forall a,b\in V$};
+
+\node at (-5.8,-2.5) [right] {\small $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}^n$, $l^2$};
+\end{scope}
+
+\fill[rounded corners=0.5cm,color=red!40,opacity=0.5]
+	(-2,-10.5) rectangle (6,-0.5);
+\draw[rounded corners=0.5cm] (-2,-10.5) rectangle (6,-0.5);
+
+\begin{scope}[yshift=-1cm]
+\node at (0,0.0) {{\bf Algebra}:\strut};
+\node at (0,-1.0) {$a(\lambda b) = \lambda ab$\strut};
+\node at (0,-1.5) {$\forall a,b\in A, \lambda\in \Bbbk$\strut};
+\node at (0,-3.0) {\small $c_0(\mathbb{R})$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1cm]
+\node at (5.8,0) [left] {{\bf Ring}:};
+\node at (5.8,-0.5) [left] {Multiplikation};
+
+\node at (5.8,-1.0) [left] {$a(b+c)=ab+ac$\strut};
+\node at (5.8,-1.5) [left] {$(a+b)c=ac+bc$\strut};
+\node at (5.8,-2.0) [left] {$\forall a,b,c\in R$\strut};
+
+\node at (5.8,-3) [left] {\small $c_0(\mathbb{Z})$, $L^2(\mathbb R)$};
+\end{scope}
+
+\fill[rounded corners=0.3cm,color=yellow!20,opacity=0.5]
+	(-1.8,-10.3) rectangle (5.8,-4.5);
+\draw[rounded corners=0.3cm] (-1.8,-10.3) rectangle (5.8,-4.5);
+
+% boundary of blue area
+\draw[rounded corners=0.5cm] (-6,-10.1) rectangle (2,0);
+
+\begin{scope}[yshift=-5cm]
+\node at (5.6,0) [left] {{\bf Ring mit Eins}:};
+\node at (5.6,-1) [left] {$1\cdot a= a\cdot 1 = a\forall a\in R$\strut};
+\node at (5.6,-3) [left] {\small $\mathbb{Z}[X]$, $M_n(\mathbb{Z})$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-5cm]
+\node at (0,0)  {{\bf Algebra mit Eins}};
+\node at (0,-1.2) {\small $M_n(\mathbb R)$, $C([a,b])$};
+\end{scope}
+
+\fill[rounded corners=0.1cm,color=darkgreen!20]
+	(-1.6,-9.9) rectangle (1.6,-6.9);
+\draw[rounded corners=0.1cm] (-1.6,-9.9) rectangle (1.6,-6.9);
+
+\begin{scope}[yshift=-7cm]
+\node at (0,-0.3) {{\bf Körper}:\strut};
+\node at (0,-1) {$a\in K\setminus\{0\}\Rightarrow \exists a^{-1}$\strut};
+\node at (0,-2.2) {\small $\mathbb{F}_p$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}(X)$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex
new file mode 100644
index 0000000..e1dda6d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex
@@ -0,0 +1,20 @@
+%
+% koerper.tex -- Definition eines Körpers
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschwêizer Fachhochschule
+%
+\subsection{Körper
+\label{buch:subsection:koerper}}
+Die Multiplikation ist in einer Algebra nicht immer umkehrbar.
+Die Zahlenkörper von Kapitel~\ref{buch:chapter:zahlen} sind also
+sehr spezielle Algebren, man nennt sie Körper.
+In diesem Abschnitt sollen die wichtigsten Eigenschaften von Körpern
+zusammengetragen werden.
+
+
+XXX TODO
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
index 25fa1af..2fcf199 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex
@@ -6,3 +6,1130 @@
 \section{Lineare Algebra
 \label{buch:grundlagen:section:linearealgebra}}
 \rhead{Lineare Algebra}
+In diesem Abschnitt tragen wir die bekannten Resultate der linearen
+Algebra zusammen.
+Meistens lernt man diese zuerst für Vektoren und Gleichungssyteme mit
+reellen Variablen.
+In der linearen Algebra werden aber nur die arithmetischen
+Grundoperationen verwendet, es gibt also keinen Grund, warum sich
+die Theorie nicht über einem beliebigen Zahlenkörper entwickeln
+lassen sollte.
+Die in Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper} untersuchten
+endlichen Körper sind zum Beispiel besser geeignet für Anwendungen in
+der Kryptographie oder für die diskrete schnelle Fourier-Transformation.
+Daher geht es in diesem Abschnitt weniger darum alles herzuleiten,
+sondern vor allem darum, die Konzepte in Erinnerung zu rufen und
+so zu formulieren, dass offensichtlich wird, dass alles mit einem
+beliebigen Zahlkörper $\Bbbk$ funktioniert.
+
+%
+% Vektoren
+%
+\subsection{Vektoren
+\label{buch:grundlagen:subsection:vektoren}}
+Koordinatensysteme haben ermöglicht, Punkte als Zahlenpaare zu beschreiben.
+Dies ermöglicht, geometrische Eigenschaften als Gleichungen auszudrücken,
+aber mit Punkten kann man trotzdem noch nicht rechnen.
+Ein Vektor fasst die Koordinaten eines Punktes in einem Objekt zusammen,
+mit dem man auch rechnen und zum Beispiel Parallelverschiebungen
+algebraisieren kann.
+Um auch Streckungen ausdrücken zu können, wird auch eine Menge von 
+Streckungsfaktoren benötigt, mit denen alle Komponenten eines Vektors
+multipliziert werden können.
+Sie heissen auch {\em Skalare} und liegen in $\Bbbk$.
+
+\subsubsection{Zeilen- und Spaltenvektoren}
+Vektoren sind Tupel von Elementen aus $\Bbbk$.
+
+\begin{definition}
+Ein $n$-dimensionaler {\em Spaltenvektor} ist ein $n$-Tupel von Zahlen aus
+$\Bbbk$ geschrieben als
+\[
+v = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}
+\in \Bbbk^n.
+\]
+Ein $m$-dimensionaler {\em Zeilenvektor} wird geschrieben als
+\[
+u = \begin{pmatrix}u_1&u_2&\dots&u_m\end{pmatrix} \in \Bbbk^m.
+\]
+\end{definition}
+
+Für Vektoren gleicher Dimension sind zwei Rechenoperationen definiert.
+Die {\em Addition von Vektoren} $a,a\in\Bbbk^n$  und die Multiplikation
+eines Vektors mit einem Skalar $\lambda\in\Bbbk$ erfolgt elementweise:
+\[
+a+b
+=
+\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
++
+\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}a_1+b_1\\\vdots\\a_n+b_n\end{pmatrix},
+\qquad
+\lambda a
+=
+\lambda
+\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}\lambda a_1\\\vdots\\\lambda a_n\end{pmatrix}.
+\]
+Die üblichen Rechenregeln sind erfüllt, nämlich 
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+&\text{Kommutativität:}
+&
+a+b&=b+a
+&&
+&&\forall a,b\in V
+\\
+&\text{Assoziativgesetze:}
+&
+(a+b)+c&=a+(b+c)
+&
+(\lambda\mu)a&=\lambda(\mu a)
+&&\forall a,b,c\in V,\; \lambda,\mu\in\Bbbk
+\\
+&\text{Distributivgesetze:}
+&
+\lambda(a+b)&=\lambda a + \lambda b
+&
+(\lambda+\mu)a&=\lambda a + \mu a
+&&\forall a,b\in V,\; \lambda,\mu\in\Bbbk.
+\\
+\end{aligned}
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze}
+\end{equation}
+Diese Gesetze drücken aus, dass man mit Vektoren so rechnen kann, wie man
+das in der Algebra gelernt hat, mit der einzigen Einschränkung, dass
+man Skalare immer links von Vektoren schreiben muss.
+Die Distributivgesetze zum Beispiel sagen, dass man Ausmultipilizieren
+oder Ausklammern kann genauso wie in Ausdrücken, die nur Zahlen enthalten.
+
+Man beachte, dass es im allgemeinen kein Produkt von Vektoren gibt.
+Das aus der Vektorgeometrie bekannte Vektorprodukt ist eine Spezialität
+des dreidimensionalen Raumes, es gibt keine Entsprechung dafür in anderen
+Dimensionen.
+
+\subsubsection{Standardbasisvektoren}
+In $\Bbbk^n$ findet man eine Menge von speziellen Vektoren, durch die
+man alle anderen Vektoren ausdrücken kann.
+Mit den sogenannten {\em Standardbasisvektoren}
+\[
+e_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},
+e_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},
+\dots,
+e_n=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}
+\]
+kann der Vektor $a\in\Bbbk^n$ als
+\[
+a
+=
+\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
+=
+a_1 \begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}
++
+a_2 \begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}
++
+\dots
++
+a_n \begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}
+=
+a_1e_1+a_2e_2+\dots+a_ne_n
+\]
+ausgedrückt werden.
+
+\subsubsection{Vektorraum}
+Die Rechnungen, die man gemäss der Rechengesetze
+\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze}
+anstellen kann, verlangen nicht, dass Elemente $a$ und $b$, mit denen man
+da rechnet, Zeilen- oder Spaltenvektoren sind.
+Jede Art von mathematischem Objekt, mit dem man so rechen kann,
+kann als (abstrakter) Vektor betrachtet werden.
+
+\begin{definition}
+Eine Menge $V$ von Objekten, auf der zwei Operationen definiert,
+nämlich die Addition, geschrieben $a+b$ für $a,b\in V$ und die
+Multiplikation mit Skalaren, geschrieben $\lambda a$ für $a\in V$ und 
+$\lambda\in \Bbbk$, heisst ein {\em $\Bbbk$-Vektorraum} oder {\em Vektorraum
+über $\Bbbk$} (oder
+einfach nur {\em Vektorraum}, wenn $\Bbbk$ aus dem Kontext klar sind),
+wenn die Rechenregeln~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze}
+gelten
+\end{definition}
+
+Die Mengen von Spaltenvektoren $\Bbbk^n$ sind ganz offensichtlich
+Vektorräume.
+Die in Kapitel~\ref{buch:chapter:polynome} studierten Mengen von
+Polynomen mit Koeffizienten in $\Bbbk$ sind ebenfalls Vektorräume.
+
+\begin{beispiel}
+Die Zahlenmenge $\mathbb{C}$ ist ein $\mathbb{R}$-Vektorraum.
+Elemente von $\mathbb{C}$ können addiert und mit reellen Zahlen
+multipliziert werden.
+Die Rechenregeln für die komplexen Zahlen umfassen auch alle Regeln
+\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze}, also ist
+$\mathbb{C}$ ein Vektorraum über $\mathbb{R}$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge $C([a,b])$ der stetigen Funktionen $[a,b]\to\mathbb{Re}$ 
+bildet ein Vektorraum.
+Funktionen können addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden:
+\[
+(f+g)(x) = f(x) + g(x)
+\qquad\text{und}\qquad
+(\lambda f)(x) = \lambda f(x).
+\]
+Dies reicht aber noch nicht ganz, denn $f+g$ und $\lambda f$ müssen
+ausserdem auch {\em stetige} Funktionen sein.
+Das dem so ist, lernt man in der Analysis.
+Die Vektorraum-Rechenregeln
+\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vrgesetze} sind ebenfalls erfüllt.
+\end{beispiel}
+
+Die Beispiele zeigen, dass der Begriff des Vektorraums die algebraischen
+Eigenschaften eine grosse Zahl sehr verschiedenartiger mathematischer 
+Objekte beschreiben kann.
+Alle Erkenntnisse, die man ausschliesslich aus Vekotorraumeigenschaften
+gewonnen hat, sind auf alle diese Objekte übertragbar.
+Im folgenden werden wir alle Aussagen für einen Vektorraum $V$ formulieren,
+wenn wir die Darstellung als Tupel $\Bbbk^n$ nicht brauchen.
+
+\subsubsection{Gleichungssysteme in Vektorform}
+Die Vektorraum-Operationen erlauben nun auch, lineare Gleichungssysteme
+in {\em Vektorform} zu schreiben:
+\index{Vektorform eines Gleichungssystems}%
+\begin{equation}
+\left.
+\begin{linsys}{4}
+a_{11} x_1 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& b_1\\
+\vdots     & & \ddots& & \vdots    & & \vdots \\
+a_{m1} x_1 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& b_m\\
+\end{linsys}
+\quad
+\right\}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+x_1
+\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{m1} \end{pmatrix}
++
+\dots
++
+x_n
+\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots\\a_{mn} \end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
+\end{equation}
+Die rechte Seite von~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
+ist eine Linearkombination der Spaltenvektoren.
+
+\begin{definition}
+Eine Linearkombination der Vektoren $v_1,\dots,v_n\in V$ ist ein Ausdruck
+der Form
+\[
+v
+=
+\lambda_1v_1+\dots + \lambda_n v_n
+\]
+mit $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in \Bbbk$.
+\end{definition}
+
+Die Menge aller Vektoren, die sich als Linearkombinationen einer gegebenen
+Menge ausdrücken lässt, heisst der aufgespannte Raum.
+
+\begin{definition}
+\index{aufgespannter Raum}%
+Sind $a_1,\dots,a_n\in V$ Vektoren, dann heisst die Menge
+\[
+\langle a_1,\dots,a_n\rangle
+=
+\{x_1a_1+\dots+x_na_n\;|\; x_1,\dots,x_n\in\Bbbk\}
+\]
+aller Vektoren, die sich durch Linearkombination aus den Vektoren
+$a_1,\dots,a_n$ gewinnen lassen, der von $a_1,\dots,a_n$
+aufgespannte Raum.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Lineare Abhängigkeit}
+Die Gleichung~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}
+drückt aus, dass sich der Vektor $b$ auf der rechten Seite als
+Linearkombination der Spaltenvektoren ausdrücken lässt.
+Oft ist eine solche Darstellung auf nur eine Art und Weise möglich.
+Betrachten wir daher jetzt den Fall, dass es zwei verschiedene
+Linearkombinationen der Vektoren $a_1,\dots,a_n$ gibt, die beide den
+Vektor $b$ ergeben.
+Deren Differenz ist
+\begin{equation}
+\left.
+\begin{linsys}{4}
+x_1 a_1 &+& \dots &+& x_n a_n &=& b \\
+x_1'a_1 &+& \dots &+& x_n'a_n &=& b \\
+\end{linsys}
+\quad\right\}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+(\underbrace{x_1-x_1'}_{\lambda_1}) a_1
++
+\dots
++
+(\underbrace{x_n-x_n'}_{\lambda_n}) a_n
+=
+0.
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhkomb}
+\end{equation}
+Die Frage, ob ein Gleichungssystem genau eine Lösung hat, hängt also
+damit zusammen, ob es Zahlen $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ gibt, für
+die die Gleichung~\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhkomb}
+erfüllt ist.
+
+\begin{definition}
+Die Vektoren $a_1,\dots,a_n$ heissen linear abhängig, wenn es Zahlen
+$\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\Bbbk$ gibt, die nicht alle $0$ sind, so dass
+\begin{equation}
+\lambda_1a_1+\dots+\lambda_na_n = 0.
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhdef}
+\end{equation}
+Die Vektoren heissen linear abhängig, wenn aus
+\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhdef}
+folgt, dass alle $\lambda_1,\dots,\lambda_n=0$ sind.
+\end{definition}
+
+Lineare Abhängigkeit der Vektoren $a_1,\dots,a_n$ bedeutet auch, dass
+man einzelne der Vektoren durch andere ausdrücken kann.
+Hat man nämlich eine
+Linearkombination~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:linabhdef} und 
+ist der Koeffizient $\lambda_k\ne 0$, dann kann man nach $a_k$ auflösen:
+\[
+a_k = -\frac{1}{\lambda_k}(\lambda_1a_1+\dots+\widehat{\lambda_ka_k}+\dots+\lambda_na_n).
+\]
+Darin bedeutet der Hut, dass der entsprechende Term weggelassen werden
+muss.
+Da dies für jeden von $0$ verschiedenen Koeffizienten möglich ist,
+sagt man eben nicht, $a_k$ ist linear abhängig von den anderen, sondern
+man sagt $a_1,\dots,a_n$ sind (untereinander) linear abhängig.
+
+\subsubsection{Basis}
+Ein lineares Gleichungssystem fragt danach, ob und wie ein Vektor $b$ als
+Linearkombination der Vektoren $a_1,\dots,a_n$ ausgedrückt werden kann.
+Wenn dies eindeutig möglich ist, dann haben die Vektoren $a_1,\dots,a_n$
+offenbar eine besondere Bedeutung.
+
+\begin{definition}
+\index{Basis}%
+\index{Dimension}%
+Eine linear unabhängig Menge von Vektoren
+$\mathcal{B}=\{a_1,\dots,a_n\}\subset V$
+heisst {\em Basis} von $V$.
+Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in $V$ heisst 
+{\em Dimension} von $V$.
+\end{definition}
+
+Die Standardbasisvektoren bilden eine Basis von $V=\Bbbk^n$.
+
+\subsubsection{Unterräume}
+Die Mengen $\langle a_1,\dots,a_n\rangle$ sind Teilmengen
+von $V$, in denen die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit 
+Skalaren immer noch möglich ist.
+
+\begin{definition}
+Eine Teilmenge $U\subset V$ heisst ein {\em Unterraum} von $V$, wenn
+$U$ selbst ein $\Bbbk$-Vektorraum ist, also
+\[
+\begin{aligned}
+a,b&\in U &&\Rightarrow &a+b&\in U
+\\
+a&\in U, \lambda\in\Bbbk &&\Rightarrow & \lambda a&\in U
+\end{aligned}
+\]
+gilt.
+\end{definition}
+
+%
+% Matrizen
+%
+\subsection{Matrizen
+\label{buch:grundlagen:subsection:matrizen}}
+Die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems finden in einem 
+Zeilen- oder Spaltenvektor nicht Platz.
+Wir erweitern das Konzept daher in einer Art, dass Zeilen- und
+Spaltenvektoren Spezialfälle sind.
+
+\subsubsection{Definition einer Matrix}
+\begin{definition}
+Eine $m\times n$-Matrix $A$ (über $\Bbbk$) ist rechteckiges Schema
+\index{Matrix}%
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\
+a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\\
+\end{pmatrix}
+\]
+mit $a_{ij}\in\Bbbk$.
+Die Menge aller $m\times n$-Matrizen wird mit
+\[
+M_{m\times n}(\Bbbk) = \{ A\;|\; \text{$A$ ist eine $m\times n$-Matrix}\}.
+\]
+Falls $m=n$ gilt, heisst die Matrix $A$ auch {\em quadratisch}
+\index{quadratische Matrix}%
+Man kürzt die Menge der quadratischen Matrizen als 
+$M_n(\Bbbk) = M_{n\times n}(\Bbbk)$ ab.
+\end{definition}
+
+Die $m$-dimensionalen Spaltenvektoren $v\in \Bbbk^m$ sind $m\times 1$-Matrizen 
+$v\in M_{n\times 1}(\Bbbk)$, die $n$-dimensionalen Zeilenvetoren $u\in\Bbbk^n$
+sind $1\times n$-Matrizen $v\in M_{1\times n}(\Bbbk)$.
+Eine $m\times n$-Matrix $A$ mit den Koeffizienten $a_{ij}$ besteht aus 
+den $n$ Spaltenvektoren
+\[
+a_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix},\quad
+a_2 = \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix},\dots,
+a_n = \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}.
+\]
+Sie besteht auch aus den $m$ Zeilenvektoren
+\[
+\begin{pmatrix} a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kn} \end{pmatrix}
+\]
+mit $k=1,\dots,m$.
+
+\subsubsection{Addition und Multiplikation mit Skalaren}
+Die $m\times n$-Matrizen $M_{m\times n}(\Bbbk)$ bilden eine Vektorraum,
+die Addition von Matrizen und die Multiplikation wird wie folgt definiert.
+
+\begin{definition}
+Sind $A,B\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und $\lambda\in\Bbbk$, dann setzt man
+\[
+A+B
+=
+\begin{pmatrix}
+a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\dots &a_{1n}+b_{1n}\\
+a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\dots &a_{2n}+b_{2n}\\
+\vdots       &\vdots       &\ddots&\vdots       \\
+a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\dots &a_{mn}+b_{mn}
+\end{pmatrix}
+\qquad\text{und}\qquad
+\lambda A
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\dots &\lambda a_{1n}\\
+\lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\dots &\lambda a_{2n}\\
+\vdots        &\vdots        &\ddots&\vdots        \\
+\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\dots &\lambda a_{mn}
+\end{pmatrix}.
+\]
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Multiplikation}
+Will man ein lineares Gleichungssystem mit Hilfe der Matrix $A$ der
+Koeffizienten schreiben, bekommt es die Form $Ax=b$, wobei der Vektor
+der rechten Seiten ist, und $x$ ein Vektor von unbekannten Zahlen.
+Dies ist jedoch nur sinnvoll, wenn das Produkt $Ax$ sinnvoll definiert
+werden kann.
+
+\begin{definition}
+Eine $m\times n$-Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ und eine
+$n\times l$-Matrix $B\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ haben als Produkt
+eine $n\times l$-Matrix $C=AB\in M_{n\times l}(\Bbbk)$ mit den
+Koeffizienten
+\begin{equation}
+c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.
+\label{buch:vektoren-unbd-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
+\end{equation}
+\end{definition}
+
+Die Koeffizienten $a_{ik}$ kommen aus der Zeile $i$ von $A$, die Koeffizienten
+$b_{kj}$ stehen in der Spalte $j$ von $B$, die Multiplikationsregel
+\eqref{buch:vektoren-unbd-matrizen:eqn:matrixmultiplikation}
+besagt also, dass das Element $c_{ij}$ entsteht als das Produkt
+der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $C$.
+
+\subsubsection{Einheitsmatrix}
+Welche $m\times m$-Matrix $I\in M_{m}(\Bbbk)$ hat die Eigenschaft, dass
+$IA=A$ für jede beliebige Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$.
+Wir bezeichnen die Einträge von $I$ mit $\delta_{ij}$.
+Die Bedingung $IA=A$ bedeutet
+\[
+a_{ij} = \delta_{i1}a_{1j} + \dots + \delta_{im}a_{mj},
+\]
+Da auf der linken Seite nur $a_{ij}$ vorkommt, müssen alle Terme auf der
+rechten Seite verschwinden ausser dem Term mit $a_{ij}$, dessen
+Koeffizient $\delta_{ii}=1$ sein muss.
+Die Koeffizienten sind daher
+\[
+\delta_{ij}
+=
+\begin{cases}
+1&\qquad i=j\\
+0&\qquad\text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+Die Zahlen $\delta_{ij}$ heissen auch das {\em Kronecker-Symbol} oder
+{\em Kronecker-Delta}.
+\index{Kronecker-$\delta$}%
+\index{Kronecker-Symbol}%
+Die Matrix $I$ hat die Einträge $\delta_{ij}$ und heisst die
+{\em Einheitsmatrix}
+\index{Einheitsmatrix}%
+\[
+I
+=
+\begin{pmatrix}
+1     &0     &\dots &0     \\
+0     &1     &\dots &0     \\[-2pt]
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+0     &0     &\dots &1  
+\end{pmatrix}.
+\]
+
+
+%
+% Gleichungssysteme
+%
+\subsection{Gleichungssysteme
+\label{buch:grundlagen:subsection:gleichungssyteme}}
+Lineare Gleichungssysteme haben wir bereits in Vektorform geschrieben.
+Matrizen wurden eingeführt, um sie noch kompakter in der Matrixform
+$Ax=b$ zu schreiben.
+In diesem Abschnitt sollen die bekannten Resultate über die Lösung
+von linearen Gleichungssytemen zusammengetragen werden.
+
+\subsubsection{Eindeutige Lösung}
+Mit Hilfe der Vektorform eines linearen Gleichungssystems wurde
+gezeigt, dass die Lösung genau dann eindeutig ist, wenn die Spaltenvektoren
+der Koeffizientenmatrix linear unabhängig sind.
+Dies bedeutet, dass das Gleichungssystem
+\begin{equation}
+\begin{linsys}{3}
+a_{11}x_1 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& 0      \\
+\vdots    & & \ddots& & \vdots    & & \vdots \\
+a_{m1}x_1 &+& \dots &+& a_{mn}x_n &=& 0
+\end{linsys}
+\label{buch:grundlagen:eqn:homogenessystem}
+\end{equation}
+eine nichttriviale Lösung haben muss.
+Das Gleichungssystem $Ax=b$ ist also genau dann eindeutig lösbar, wenn
+das homogene Gleichungssystem $Ax=0$ nur die Nulllösung hat.
+
+\subsubsection{Inhomogene und homogene Gleichungssysteme}
+Ein Gleichungssystem mit $0$ auf der rechten Seite ist also bereits
+ausreichend um zu entscheiden, ob die Lösung eindeutig ist.
+Ein Gleichungssystem mit rechter Seite $0$ heisst {\em homogen}.
+\index{homogenes Gleichungssystem}%
+Zu jedem {\em inhomogenen} Gleichungssystem $Ax=b$ mit $b\ne 0$ 
+ist $Ax=0$ das zugehörige homogene Gleichungssystem.
+
+Ein homogenes Gleichungssytem $Ax=0$ hat immer mindestens die 
+Lösung $x=0$, man nennt sie auch die {\em triviale} Lösung.
+Eine Lösung $x\ne 0$ heisst auch eine nichttriviale Lösung.
+Die Lösungen eines inhomgenen Gleichungssystem $Ax=b$ ist also nur dann
+eindeutig, wenn das zugehörige homogene Gleichungssystem eine nichttriviale
+Lösung hat.
+
+\subsubsection{Gauss-Algorithmus}
+Der Gauss-Algorithmus oder genauer Gausssche Eliminations-Algorithmus
+löst ein lineare Gleichungssystem der
+Form~\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:vektorform}.
+Die Koeffizienten werden dazu in das Tableau 
+\[
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+a_{11}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
+\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+a_{m1}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
+\hline
+\end{tabular}
+\]
+geschrieben.
+Die vertikale Linie erinnert an die Position des Gleichheitszeichens.
+Es beinhaltet alle Informationen zur Durchführung des Algorithmus.
+Der Algorithmus is so gestaltet, dass er nicht mehr Speicher als
+das Tableau benötigt, alle Schritte operieren direkt auf den Daten
+des Tableaus.
+
+In jedem Schritt des Algorithmus wird zunächst eine Zeile $i$ und 
+Spalte $j$ ausgewählt, das Elemente $a_{ij}$ heisst das Pivotelement.
+\index{Pivotelement}%
+Die {\em Pivotdivision}
+\[
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
+\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+a_{i1}&\dots &{\color{red}a_{ij}}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
+\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
+\hline
+\end{tabular}
+\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+a_{11}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}&b_1   \\[-2pt]
+\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+{\color{red}\frac{a_{i1}}{a_{ij}}}&\dots &{\color{red}1}&\dots &{\color{red}\frac{a_{in}}{a_{ij}}}&{\color{red}\frac{b_i}{a_{ij}}}\\[-2pt]
+\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+a_{m1}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}&b_m   \\
+\hline
+\end{tabular}
+\]
+stellt sicher, dass das Pivot-Element zu $1$ wird.
+\index{Pivotdivision}
+Dies ist gleichbedeutend mit der Auflösung der Gleichung $i$ noch der
+Variablen $x_j$.
+Mit der {\em Zeilensubtraktion} auf Zeile $k\ne i$ können die Einträge in der
+Spalte $j$ zu Null gemacht werden.
+Dazu wird das $a_{kj}$-fache der Zeile $i$ von Zeile $k$ subtrahiert:
+\[
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+a_{i1}&\dots &{\color{red}1}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
+\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+a_{k1}&\dots &a_{kj}&\dots &a_{kn}&b_m   \\[-2pt]
+\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+\hline
+\end{tabular}
+\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+a_{i1}&\dots &{\color{red}1}&\dots &a_{in}&b_i   \\[-2pt]
+\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+{\color{blue}a_{k1}-a_{kj}a_{i1}}&\dots &{\color{blue}0}&\dots &{\color{blue}a_{kn}-a_{kj}a_{in}}&{\color{blue}b_m-a_{kj}b_{n}}\\[-2pt]
+\vdots&      &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+\hline
+\end{tabular}
+\]
+Typischerweise werden nach jeder Pivotdivision mehrer Zeilensubtraktionen
+durchgeführt um alle anderen Elemente der Pivotspalte ausser dem
+Pivotelement zu $0$ zu machen.
+Beide Operationen können in einem Durchgang durchgeführt werden.
+
+Die beiden Operationen Pivotdivision und Zeilensubtraktion werden jetzt
+kombiniert um im linken Teil des Tableaus möglichst viele Nullen und
+Einsen zu erzeugen.
+Im Idealfall wird ein Tableau der Form
+\[
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+     1&     0&\dots &     0&u_1   \\
+     0&     1&\dots &     0&u_2   \\[-2pt]
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
+     0&     0&\dots &     1&u_m   \\
+\hline
+\end{tabular}
+\]
+erreicht, was natürlich nur $m=n$ möglich ist.
+Interpretiert man die Zeilen dieses Tableaus wieder als Gleichungen,
+dann liefert die Zeile $i$ den Wert $x_i=u_i$ für die Variable $i$.
+Die Lösung kann also in der Spalte rechts abgelesen werden.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/10-vektorenmatrizen/images/rref.pdf}
+\caption{Zweckmässiger Ablauf der Berechnung des Gauss-Algorithmus.
+Falls in einer Spalte kein weiteres von $0$ verschiedenes Pivotelement
+zur Verfügung steht, wird die Zeile übersprungen.
+Weisse Felder enthalten $0$, dunkelgraue $1$.
+Die roten Kreise bezeichnen Pivot-Elemente, die blauen Felder
+die mit einer Zeilensubtraktion zu $0$ gemacht werden sollen.
+\label{buch:grundlagen:fig:gaussalgorithmus}}
+\end{figure}
+Die effizienteste Strategie für die Verwendung der beiden Operationen
+ist in Abbildung~\ref{buch:grundlagen:fig:gaussalgorithmus} dargestellt.
+In der Phase der {\em Vorwärtsreduktion} werden Pivotelemente von links
+nach rechts möglichst auf der Diagonale gewählt und mit Zeilensubtraktionen
+die darunterliegenden Spalten freigeräumt.
+\index{Vorwärtsreduktion}%
+Während des Rückwärtseinsetzens werden die gleichen Pivotelemente von 
+rechts nach links genutzt, um mit Zeilensubtraktionen auch die
+Spalten über den Pivotelemnten frei zu räumen.
+\index{Rückwärtseinsetzen}%
+Wenn in einer Spalte kein von $0$ verschiedenes Element als Pivotelement
+zur Verfügung steht, wird diese Spalte übersprungen.
+Die so erzeuge Tableau-Form heisst auch die {\em reduzierte Zeilenstufenform}
+({\em reduced row echelon form}, RREF).
+\index{reduzierte Zeilenstufenform}%
+\index{reduced row echelon form}%
+
+Da der Ablauf des Gauss-Algorithmus vollständig von den Koeffizienten der
+Matrix $A$ bestimmt ist, kann er gleichzeitig für mehrere Spalten auf der
+rechten Seite oder ganz ohne rechte Seite durchgeführt werden.
+
+\subsubsection{Lösungsmenge}
+\index{Lösungsmenge}%
+Die Spalten, in denen im Laufe des Gauss-Algorithmus kein Pivotelement
+gefunden werden kann, gehören zu Variablen, nach denen sich das
+Gleichungssystem nicht auflösen lässt.
+Diese Variablen sind daher nicht bestimmt, sie können beliebig gewählt
+werden.
+Alle anderen Variablen sind durch diese frei wählbaren Variablen
+bestimmt.
+
+Für ein Gleichungssystem $Ax=b$ mit Schlusstableau
+\index{Schlusstableau}%
+\begin{equation}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+   x_1&   x_2&\dots &x_{j_i-1}&{\color{darkgreen}x_{j_1}}&x_{j_1+1}&\dots &x_{j_2-1}&{\color{darkgreen}x_{j_2}}&\dots&{\color{darkgreen}x_{j_k}}& \\
+\hline
+     1&     0&\dots &        0&c_{1j_1}   &     0&\dots &     0&c_{1j_2}     &\dots &c_{1j_k}     &d_1      \\
+     0&     1&\dots &        0&c_{2j_1}   &     0&\dots &     0&c_{2j_2}     &\dots &c_{1j_k}     &d_2      \\[-2pt]
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots   &\vdots     &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots       &\ddots&\vdots       &\vdots   \\
+     0&     0&\dots &        1&c_{i_1,j_1}&     0&\dots &     0&c_{i_1,j_2}  &\dots &c_{i_1j_k}   &d_{i_1}  \\
+     0&     0&\dots &        0&          0&     1&\dots &     0&c_{i_1+1,j_2}&\dots &c_{i_1+1,j_k}&d_{i_1+1}\\[-2pt]
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots   &\vdots     &\vdots&\vdots&\vdots&\vdots       &\ddots&\vdots       &\vdots   \\
+     0&     0&\dots &        0&          0&     0&\dots &     1&c_{i_2,j_2}  &\dots &c_{i_2j_k}   &d_{i_2}  \\
+     0&     0&\dots &        0&          0&     0&\dots &     0&            0&\dots &c_{i_2+1,j_k}&d_{i_2+1}\\[-2pt]
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots   &\vdots     &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots       &\ddots&\vdots       &\vdots   \\
+     0&     0&\dots &        0&          0&     0&\dots &     0&            0&\dots &            0&d_{m}    \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{equation}
+mit den $k$ frei wählbaren Variablen
+$x_{j_1}, x_{j_2},\dots, x_{j_k}$ kann die Lösungsmenge als
+\[
+\mathbb{L}
+=
+\left\{
+\left.
+\begin{pmatrix}
+d_1\\
+d_2\\
+\vdots\\
+d_{i_1}\\
+d_{i_1+1}\\
+\vdots\\
+d_{i_2}\\
+d_{i_2+1}\\
+\vdots\\
+d_{m}
+\end{pmatrix}
++
+{\color{darkgreen}x_{j_1}}
+\begin{pmatrix}
+-c_{1j_1}\\
+-c_{2j_1}\\
+\vdots\\
+-c_{i_1,j_1}\\
+{\color{darkgreen}1}\\
+\vdots\\
+0\\
+0\\
+\vdots\\
+0\\
+\end{pmatrix}
++
+{\color{darkgreen}x_{j_1}}
+\begin{pmatrix}
+-c_{1j_2}\\
+-c_{2j_2}\\
+\vdots\\
+-c_{j_1,j_2}\\
+-c_{j_1+1,j_2}\\
+\vdots\\
+-c_{i_2,j_2}\\
+{\color{darkgreen}1}\\
+\vdots\\
+0\\
+\end{pmatrix}
++
+\dots
++
+{\color{darkgreen}x_{j_k}}
+\begin{pmatrix}
+-c_{1j_k}\\
+-c_{2j_k}\\
+\vdots\\
+-c_{j_1,j_k}\\
+-c_{j_1+1,j_k}\\
+\vdots\\
+-c_{i_2,j_k}\\
+-c_{i_2+1,j_k}\\
+\vdots\\
+0\\
+\end{pmatrix}
+\;
+\right|
+{\color{darkgreen}x_{i_1}},{\color{darkgreen}x_{i_2}},\dots,{\color{darkgreen}x_{i_k}}\in\Bbbk
+\right\}
+\]
+geschrieben werden.
+Insbesondere ist die Lösungsmenge $k$-dimensional.
+
+\subsubsection{Inverse Matrix}
+Zu jeder quadratischen Matrix $A\in M_n(\Bbbk)$ kann man versuchen, die
+Gleichungen
+\[
+Ac_1 = e_1,\quad Ac_2 = e_2, \dots, Ac_n = e_n
+\]
+mit den Standardbasisvektoren $e_i$ als rechten Seiten zu lösen, wobei
+die $c_i$ Vektoren in $\Bbbk^n$ sind.
+Diese Vektoren kann man mit Hilfe des Gauss-Algorithmus finden:
+\[
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}&1     &0     &\dots &0     \\
+a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}&0     &1     &\dots &0     \\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}&0     &0     &\dots &1     \\
+\hline
+\end{tabular}
+\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+1     &0     &\dots &0     &c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}\\
+0     &1     &\dots &0     &c_{21}&c_{22}&\dots &c_{2n}\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+0     &0     &\dots &1     &c_{n1}&c_{n2}&\dots &c_{nn}\\
+\hline
+\end{tabular}
+\]
+Die Vektoren $c_k$ sind die Spaltenvektoren der Matrix $C$ mit den
+Einträgen $c_{ij}$.
+
+Mit den Vektoren $c_k$ können jetzt beliebige inhomogene Gleichungssysteme
+$Ax=b$ gelöst werden.
+Da $b = b_1e_1 + b_2e_2 + \dots + b_ne_n$, kann man die Lösung $x$ als
+$x = b_1c_1+b_2c_2+\dots+b_nc_n$ konstruieren.
+Tatsächlich gilt
+\begin{align*}
+Ax
+&= 
+A( b_1c_1+b_2c_2+\dots+b_nc_n)
+\\
+&=
+b_1Ac_1 + b_2Cc_2 + \dots + b_nAc_n
+\\
+&=
+b_1e_1 + b_2e_2 + \dots + b_ne_n
+=
+b.
+\end{align*}
+Die Linearkombination $x=b_1c_1+\dots+b_nc_n$ kann in Vektorform als $x=Cb$
+geschrieben werden.
+
+Die Konstruktion von $C$ bedeutet auch, dass $AC=E$, daher heisst $C$ auch
+die zu $A$ {\em inverse Matrix}.
+\index{inverse Matrix}
+Sie wird auch $C=A^{-1}$ geschrieben.
+
+Die Definition der inversen Matrix stellt sicher, dass $AA^{-1}=I$ gilt,
+daraus folgt aber noch nicht, dass auch $A^{-1}A=I$ ist.
+Diese Eigenschaft kann man jedoch wie folgt erhalten.
+Sei $C$ die inverse Matrix von $A$, also $AC=I$.
+Sei weiter $D$ die inverse Matrix von $C$, also $CD=I$.
+Dann ist zunächst $A=AE=A(CD)=(AC)D=ID=D$ und weiter
+$CA=CD=I$.
+Mit der Bezeichnung $C=A^{-1}$ erhalten wir also auch $A^{-1}A=I$.
+
+Die Eigenschaften der Matrizenmultiplikation stellen sicher,
+dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Struktur bilden,
+die man Gruppe nennt, die in Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen}
+genauer untersucht wird.
+In diesem Zusammenhang wird dann auf
+Seite~\pageref{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln}
+die Eigenschaft $A^{-1}A=I$ ganz allgemein gezeigt.
+
+\subsubsection{Determinante}
+XXX TODO
+
+%
+% Lineare Abbildungen
+%
+\subsection{Lineare Abbildungen
+\label{buch:grundlagen:subsection:lineare-abbildungen}}
+Der besondere Nutzen der Matrizen ist, dass sie auch lineare Abbildungen
+zwischen Vektorräumen beschreiben können.
+In diesem Abschnitt werden lineare Abbildungen abstrakt definiert
+und die Darstellung als Matrix mit Hilfe einer Basis eingeführt.
+
+
+\subsubsection{Definition}
+Eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen muss so gestaltet sein,
+dass die Operationen des Vektorraums erhalten bleiben.
+Dies wird von der folgenden Definition erreicht.
+
+\begin{definition}
+Eine Abbildung $f\colon V\to U$ zwischen Vektorräumen $V$ und $U$
+heisst linear, wenn
+\[
+\begin{aligned}
+f(v+w) &= f(v) + f(w)&&\forall v,w\in V 
+\\
+f(\lambda v) &= \lambda f(v) &&\forall v\in V,\lambda \in \Bbbk
+\end{aligned}
+\]
+gilt.
+\end{definition}
+
+Lineare Abbildungen sind in der Mathematik sehr verbreitet.
+
+\begin{beispiel}
+Sie $V=C^1([a,b])$ die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen 
+auf dem Intervall $[a,b]$ und $U=C([a,b])$ die Menge der
+stetigen Funktion aif $[a,b]$. 
+Die Ableitung $\frac{d}{dx}$ macht aus einer Funktion $f(x)$ die
+Ableitung $f'(x)$.
+Die Rechenregeln für die Ableitung stellen sicher, dass 
+\[
+\frac{d}{dx}
+\colon
+C^1([a,b]) \to  C([a,b]) 
+:
+f \mapsto f'
+\]
+eine lineare Abbildung ist.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Sei $V$ die Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen auf dem
+Intervall $[a,b]$ und $U=\mathbb{R}$.
+Das bestimmte Integral
+\[
+\int_a^b \;\colon V \to U : f \mapsto \int_a^b f(x)\,dx
+\]
+ist nach den bekannten Rechenregeln für bestimmte Integrale
+eine lineare Abbildung.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Matrix}
+Um mit linearen Abbildungen rechnen zu können, ist eine Darstellung 
+mit Hilfe von Matrizen nötig.
+Sei also $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ eine Basis von $V$ und
+$\mathcal{C} = \{ c_1,\dots,c_m\}$ eine Basis von $U$.
+Das Bild des Basisvektors $b_i$ kann als Linearkombination der
+Vektoren $c_1,\dots,c_m$ dargestellt werden.
+Wir verwenden die Bezeichnung
+\[
+f(b_i) 
+=
+a_{1i} c_1 + \dots + a_{mi} c_m.
+\]
+Die lineare Abbildung $f$ bildet den Vektor $x$ mit Koordinaten
+$x_1,\dots,x_n$ ab auf 
+\begin{align*}
+f(x)
+&=
+f(x_1b_1  + \dots x_nb_n)
+\\
+&=
+x_1 f(b_1) + \dots x_nf(b_n)
+\\
+&=
+x_1(a_{11} c_1 + \dots + a_{m1} c_m)
++
+\dots
++
+x_n(a_{1n} c_1 + \dots + a_{mn} c_m)
+\\
+&=
+( a_{11} x_1 + \dots + a_{1n} x_n ) c_1
++
+\dots
++
+( a_{m1} x_1 + \dots + a_{mn} x_n ) c_m
+\end{align*}
+Die Koordinaten von $f(x)$ in der Basis $\mathcal{C}$ in $U$ sind 
+also gegeben durch das Matrizenprodukt $Ax$, wenn $x$ der Spaltenvektor
+aus den Koordinaten in der Basis $\mathcal{B}$ in $V$ ist.
+
+Die Matrix einer linearen Abbildung macht Aussagen über eine lineare
+Abbilung der Rechnung zugänglich.
+Allerdings hängt die Matrix einer linearen Abbildung von der Wahl der
+Basis ab.
+Gleichzeitig ist dies eine Chance, durch Wahl einer geeigneten Basis
+kann man eine Matrix in eine Form bringen, die zur Lösung eines
+Problems optimal geeignet ist.
+
+\subsubsection{Basiswechsel}
+In einem Vektorraum $V$ seien zwei Basen $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$
+und $\mathcal{B}'=\{b_1',\dots,b_n'\}$ gegeben.
+Ein Vektor $v\in V$ kann in beiden beiden Basen dargestellt werden.
+Wir bezeichnen mit dem Spaltenvektor $x$ die Koordinaten von $v$ in der
+Basis $\mathcal{B}$ und mit dem Spaltenvektor $x'$ die Koordinaten
+in der Basisi $\mathcal{B}'$.
+Um die Koordinaten umzurechnen, muss man die Gleichung
+\begin{equation}
+x_1b_1 + \dots + x_nb_n = x_1'b_1' + \dots + x_n'b_n'
+\label{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselgleichung}
+\end{equation}
+lösen.
+
+Stellt man sich die Vektoren $b_i$ und $b_j'$ als $m$-dimensionale
+Spaltenvektoren vor mit $m\ge n$, dann bekommt
+\eqref{buch:vektoren-und-matrizen:eqn:basiswechselgleichung}
+die Form eines Gleichungssystems
+\[
+\begin{linsys}{6}
+b_{11}x_1&+& \dots &+&b_{1n}x_n&=&b_{11}'x_1'&+& \dots &+&b_{1n}'x_n'\\
+\vdots   & & \ddots& &\vdots   & &\vdots     & & \ddots& &\vdots     \\
+b_{m1}x_1&+& \dots &+&b_{mn}x_n&=&b_{m1}'x_1'&+& \dots &+&b_{mn}'x_n'
+\end{linsys}
+\]
+Dieses Gleichungssystem kann man mit Hilfe eines Gauss-Tableaus lösen.
+Wir schreiben die zugehörigen Variablen 
+\[
+\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$} >{$}c<{$} >{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+x_1&\dots&x_n&x_1'&\dots&x_n'\\
+\hline
+b_{11}&\dots &b_{1n}&b_{11}'&\dots &v_{1n}'\\
+\vdots&\ddots&\vdots&\vdots &\ddots&\vdots \\
+b_{n1}&\dots &b_{nn}&b_{n1}'&\dots &v_{nn}'\\
+\hline
+b_{n+1,1}&\dots &b_{n+1,n}&b_{n+1,1}'&\dots &v_{n+1,n}'\\
+\vdots&\ddots&\vdots&\vdots &\ddots&\vdots \\
+b_{m1}&\dots &b_{mn}&b_{m1}'&\dots &v_{mn}'\\
+\hline
+\end{tabular}
+\rightarrow
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$} >{$}c<{$} >{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
+\hline
+x_1&\dots&x_n&x_1'&\dots&x_n'\\
+\hline
+1     &\dots &0     &t_{11}             &\dots              &t_{1n}        \\
+\vdots&\ddots&\vdots&\vdots             &\ddots             &\vdots        \\
+0     &\dots &1     &t_{n1}             &\dots              &t_{nn}        \\
+\hline
+0     &\dots &0     &{\color{red}0}     &{\color{red}\dots} &{\color{red}0}\\
+\vdots&\ddots&\vdots&{\color{red}\vdots}&{\color{red}\ddots}&{\color{red}\vdots}\\
+0     &\dots &0     &{\color{red}0}     &{\color{red}\dots} &{\color{red}0}\\
+\hline
+\end{tabular}
+\]
+Das rechte untere Teiltableau enthält lauter Nullen genau dann, wenn jeder
+Vektor in $V$ sich in beiden Mengen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}'$
+ausdrücken lässt.
+Dies folgt aber aus der Tatsache, dass $\mathcal{B}$ und $\mathcal{B}'$
+beide Basen sind, also insbesondere den gleichen Raum aufspannen.
+Die $n\times n$-Matrix $T$ mit Komponenten $t_{ij}$ rechnet Koordinaten
+in der Basis $\mathcal{B}'$ um in Koordinaten in der Basis $\mathcal{B}$.
+
+\subsubsection{Umkehrabbbildung}
+Sei $f$ eine umkehrbare lineare Abbildung $U\to V$ und $g\colon V\to U$.
+die zugehörige Umkehrabbildung.
+Für zwei Vektoren $u$ und $w$ in $U$ gibt es daher Vektoren $a=g(u)$
+und $b=g(w)$ in $V$ derart, dass $f(a)=u$ und $f(b)=w$.
+Weil $f$ linear ist, folgt daraus $f(a+b)=u+w$ und $f(\lambda a)=\lambda a$
+für jedes $\lambda\in\Bbbk$.
+Damit kann man jetzt 
+\begin{align*}
+g(u+w)&=g(f(a)+f(b)) = g(f(a+b)) = a+b = g(u)+g(w)
+\\
+g(\lambda u) &= g(\lambda f(a))=g(f(\lambda a)) = \lambda a = \lambda g(u)
+\end{align*}
+berechnen, was zeigt, dass auch $g$ eine lineare Abbildung ist.
+Hat $f$ in geeignet gewählten Basen die Matrix $F$, dann hat die
+Umkehrabbildung $g=f^{-1}$ die Matrix $G=F^{-1}$.
+Da auch $f(g(y))=y$ gilt für jeden Vektor $y\in V$ folgt, dass $FF^{-1}=E$
+und $F^{-1}F=E$.
+
+\subsubsection{Kern und Bild}
+Für die Eindeutigkeit der Lösung eines linearen Gleichungssytems
+ist entscheidend, ob das zugehörige homogene Gleichungssystem $Ax=0$
+eine nichttriviale Lösung hat.
+Seine Lösungmenge spielt also eine besondere Rolle, was rechtfertigt,
+ihr einen Namen zu geben.
+
+\begin{definition}
+\index{Kern}%
+Ist $f$ eine lineare Abbildung $U\to V$, dann heisst die Menge
+\[
+\ker f
+=
+\{x\in U\;|\; f(x)=0\}
+\]
+der {\em Kern} oder {\em Nullraum} der linearen Abbildung $f$.
+Ist $A \in M_{m\times n}(\Bbbk)$ Matrix, dann gehört dazu eine lineare
+Abbildung $f\colon\Bbbk^n\to\Bbbk^m$.
+Der Kern oder Nullraum der Matrix $A$ ist die Menge
+\[
+\ker A
+=
+\{ x\in\Bbbk^m \;|\; Ax=0\}.
+\]
+\end{definition}
+
+Der Kern ist ein Unterraum, denn für zwei Vektoren $u,w\in \ker f$ 
+\[
+\begin{aligned}
+f(u+v)&=f(u) + f(v) = 0+0 = 0 &&\Rightarrow& u+v&\in\ker f\\
+f(\lambda u)&=\lambda f(u) = \lambda\cdot 0=0&&\Rightarrow& \lambda u&\in\ker f
+\end{aligned}
+\]
+gilt.
+
+Ob ein Gleichungssystem $Ax=b$ überhaupt eine Lösung hat, hängt davon,
+ob der Vektor $b$ als Bild der durch $A$ beschriebenen linearen Abbildung
+$\Bbbk^n \to \Bbbk^m$ enthalten ist.
+Wir definieren daher das Bild einer linearen Abbildung oder Matrix.
+
+\begin{definition}
+Ist $f\colon V\to U$ eine lineare Abbildung dann ist das Bild von $f$
+der Unterraum 
+\[
+\operatorname{im}f = \{ f(v)\;|\;v\in V\} \subset U
+\]
+von $U$.
+Das Bild einer $m\times n$-Matrix $A$ ist die Menge
+\[
+\operatorname{im}A = \{ Av \;|\; v\in\Bbbk^n\} \subset \Bbbk^m.
+\]
+\end{definition}
+
+Zwei Vektoren $a,b\in\operatorname{im} f$ haben Urbilder $u,w\in V$ mit
+$f(u)=a$ und $f(w)=b$.
+Für Summe und Multiplikation mit Skalaren folgt
+\[
+\begin{aligned}
+a+b&= f(u)+f(v)=f(u+v) &&\Rightarrow a+b\in\operatorname{im}f\\
+\lambda a&=\lambda f(u) = f(\lambda u) &&\Rightarrow \lambda a&\in\operatorname{im}f,
+\end{aligned}
+\]
+also ist auch das Bild $\operatorname{im}f$ ein Unterraum von $U$.
+Das Bild der Matrix $A$ ist der Unterraum
+\[
+\{ x_1f(b_1) + \dots x_n f(b_n) | x_i\in\Bbbk\}
+=
+\langle f(b_1),\dots,f(b_n)\rangle
+=
+\langle a_1,\dots,a_n\rangle
+\]
+von $\Bbbk^m$, aufgespannt von den Spaltenvektoren $a_i$ von $A$.
+
+\subsubsection{Rang und Defekt}
+Die Dimensionen von Bild und Kern sind wichtige Kennzahlen einer Matrix.
+\begin{definition}
+Sei $A$ eine Matrix $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$.
+Der {\em Rang} der Matrix $A$ ist die Dimension des Bildraumes von $A$:
+$\operatorname{rank}A=\dim\operatorname{im} A$.
+\index{Rang einer Matrix}%
+Der {\em Defekt} der Matrix $A$ ist die Dimension des Kernes von $A$:
+$\operatorname{def}A=\dim\ker A$.
+\index{Defekt einer Matrix}%
+\end{definition}
+
+Da der Kern mit Hilfe des Gauss-Algorithmus bestimmt werden kann,
+können Rang und Defekt aus dem Schlusstableau 
+eines homogenen Gleichungssystems mit $A$ als Koeffizientenmatrix
+abgelesen werden.
+
+\begin{satz}
+Ist $A\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ eine $m\times n$-Matrix,
+dann gilt
+\[
+\operatorname{rank}A
+=
+n-\operatorname{def}A.
+\]
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Quotient}
+TODO: $\operatorname{im} A \simeq \Bbbk^m/\ker A$
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
index f35c490..21b29c2 100644
--- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex
@@ -3,6 +3,364 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Ringe und Moduln
-\label{buch:grundlagen:section:ringe}}
-\rhead{Ringe}
+\subsection{Ringe und Moduln
+\label{buch:grundlagen:subsection:ringe}}
+Die ganzen Zahlen haben ausser der Addition mit neutralem Element $0$
+auch noch eine Multiplikation mit dem neutralen Element $1$.
+Die Multiplikation ist aber nicht immer invertierbar und zwar
+nicht nur für $0$.
+Eine ähnliche Situation haben wir bei $M_n(\Bbbk)$ angetroffen.
+$M_n(\Bbbk)$ ist eine zunächst eine Gruppe bezüglich der Addition,
+hat aber auch noch eine Multiplikation, die nicht immer umkehrbar ist.
+Diese Art von Struktur nennt man einen Ring.
+
+\subsubsection{Definition eines Rings}
+
+\begin{definition}
+\index{Ring}%
+Eine Menge $R$ mit einer additiven Operation $+$ mit neutralem Element
+$0$ und einer multiplikativ geschriebenen Operation $\cdot$ heisst ein
+{\em Ring}, wenn folgendes gilt.
+\begin{enumerate}
+\item
+$R$ ist eine Gruppe bezüglich der Addition.
+\item
+$R\setminus\{0\}$ ist eine Halbgruppe.
+\item
+Es gelten die {\em Distributivgesetze}
+\[
+a(b+c)=ab+ac
+\qquad\text{und}\qquad
+(a+b)c=ac+bc
+\]
+für beliebige Elemente $a,b,c\in R$.
+\index{Distributivgesetz}%
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Die Distributivgesetze stellen sicher, dass man in $R$ beliebig
+ausmultiplizieren kann.
+Man kann also so rechnen kann, wie man sich das gewohnt ist.
+Es stellt auch sicher, dass die Multiplikation mit $0$ immer $0$
+ergibt, denn es ist
+\[
+r0 = r(a-a) = ra-ra=0.
+\]
+
+Man beachte, dass weder verlangt wurde, dass die Multiplikation
+ein neutrales Element hat oder kommutativ ist.
+Der Ring $\mathbb{Z}$ erfüllt beide Bedingungen.
+Die Beispiele weiter unten werden zeigen, dass es auch Ringe gibt,
+in denen die Multiplikation nicht kommutativ ist, die Multiplikation
+kein neutrales Element hat oder beides.
+
+\begin{definition}
+\index{Ring mit Eins}%
+Ein Ring $R$ heisst ein Ring mit Eins, wenn die Multiplikation ein
+neutrales Element hat.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+\index{Ring!kommutativ}%
+\index{kommutativer Ring}%
+Ein Ring $R$ heisst kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ
+ist.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Beispiele von Ringen}
+
+\begin{beispiel}
+Alle Zahlenkörper aus Kapitel~\ref{buch:chapter:zahlen} sind kommutative
+Ringe mit Eins.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge $c(\mathbb{Z})$ der Folgen $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit
+Folgengliedern in $\mathbb{Z}$ wird eine Ring, wenn man die Addition
+und Multiplikation elementweise definiert, also
+\begin{align*}
+&\text{Addition:}
+&
+a+b&\text{\;ist die Folge mit Folgengliedern}&
+(a+b)_n &= a_nb_n \quad\text{für alle $n\in\mathbb{N}$}
+\\
+&\text{Multiplikation:}
+&
+a\cdot b&\text{\;ist die Folge mit Folgengliedern}&
+(a\cdot b)_n &=  a_nb_n \quad\text{für alle $n\in\mathbb{N}$}
+\end{align*}
+für $a,b\in c(\mathbb{Z})$.
+Die Algebra ist kommutativ und hat die konstante Folge 
+$u_n = 1\;\forall n$ als Eins.
+
+Wir betrachten jetzt ein Unterring $c_0(\mathbb{Z})\subset c(\mathbb{Z})$
+bestehend aus den Folgen, die nur für endlich viele Folgenglieder von
+$0$ verschieden sind.
+Für eine Folge $a\in c_0(\mathbb{Z})$ gibt es eine Zahl $N$ derart, dass
+$a_n=0$ für $n\ge N$.
+Die konstante Folge $u_n=1$, die in $c(\mathbb{Z})$ erfüllt diese
+Bedingung nicht, die Eins des Ringes $c(\mathbb{Z})$ ist also nicht in
+$c_0(\mathbb{Z})$.
+$c_0(\mathbb{Z})$ ist immer noch ein Ring, aber er hat kein Eins.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/10-vektorenmatrizen/images/gausszahlen.pdf}
+\caption{Der Ring der ganzen Gausschen Zahlen besteht aus den ganzahligen
+Gitterpunkten in der Gausschen Zahlenebene
+\label{buch:vektorenmatrizen:fig:ganzgauss}}
+\end{figure}
+Die Menge
+\[
+\mathbb{Z} + i\mathbb{Z}
+=
+\{a+bi\;|\; a,b\in\mathbb{Z}\}
+=
+\mathbb{Z}[i]
+\subset
+\mathbb{C}
+\]
+ist eine Teilmenge von $\mathbb{C}$ und erbt natürlich die 
+arithmetischen Operationen.
+Die Summe zweier solcher Zahlen $a+bi\in\mathbb{Z}[i]$ und
+$c+di\in\mathbb{Z}[i]$ ist
+$(a+bi)+(c+di)=(a+c) + (b+d)i\in \mathbb{Z}[i]$, weil $a+c\in\mathbb{Z}$
+und $b+d\in\mathbb{Z}$ ganze Zahlen sind.
+Ebenso ist das Produkt dieser Zahlen
+\(
+(a+bi)(c+di)
+=
+(ac-bd) + (ad+bc)i
+\in \mathbb{Z}[i]
+\)
+weil Realteil $ac-bd\in\mathbb{Z}$ und der Imaginärteil $ad+bc\in\mathbb{Z}$
+ganze Zahlen sind.
+Die Menge $\mathbb{Z}[i]$ ist also ein kommutative Ring mit Eins, er
+heisst der Ring der ganzen {\em Gaussschen Zahlen}.
+\index{Gausssche Zahlen}%
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge der Matrizen $M_n(\mathbb{Z})$ ist ein Ring mit Eins.
+Für $n>1$ ist er nicht kommutativ.
+Der Ring $M_2(\mathbb{Z})$ enthält den Teilring
+\[
+G
+=
+\biggl\{
+\begin{pmatrix}
+a&-b\\b&a
+\end{pmatrix}
+\;\bigg|\;
+a,b\in\mathbb{Z}
+\biggr\}
+=
+\mathbb{Z}+ \mathbb{Z}J
+\subset
+M_2(\mathbb{Z}).
+\]
+Da die Matrix $J$ die Relation $J^2=-E$ erfüllt, ist der Ring $G$
+nichts anderes als der Ring der ganzen Gaussschen Zahlen.
+Der Ring $\mathbb{Z}[i]$ ist also ein Unterring des Matrizenrings
+$M_2(\mathbb{Z})$.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Einheiten}
+In einem Ring mit Eins sind normalerweise nicht alle von $0$ verschiedenen
+Elemente intertierbar.
+Die Menge der von $0$ verschiedenen Elemente in $R$ wir mit $R^*$
+bezeichnet.
+\index{$R^*$}%
+Die Menge der invertierbaren Elemente verdient einen besonderen Namen.
+
+\begin{definition}
+Ist $R$ ein Ring mit Eins, dann heissen die Elemente von
+\[
+U(R) = \{ r\in R \;|\; \text{$r$ in $R$ invertierbar}\}.
+\]
+die {\em Einheiten} von $R$.
+\index{Einheit}%
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+$U(R)$ ist eine Gruppe, die sogenannte {\em Einheitengruppe}.
+\index{Einheitengruppe}%
+\end{satz}
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge $M_2(\mathbb{Z})$ ist ein Ring mit Eins, die Einheitengruppe
+besteht aus den invertierbaren $2\times 2$-Matrizen. 
+Aus der Formel für 
+\[
+\begin{pmatrix}
+a&b\\
+c&d
+\end{pmatrix}^{-1}
+=
+\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
+d&-b\\
+-c&a
+\end{pmatrix}
+\]
+zeigt, dass $U(M_2(\mathbb{Z})) = \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Die Einheitengruppe von $M_n(\Bbbk)$ ist die allgemeine lineare Gruppe 
+$U(M_n(\Bbbk))=\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Nullteiler}
+Ein möglicher Grund, warum ein Element $r\in R$ nicht invertierbar
+ist, kann sein, dass es ein Element $s\in R$ gibt mit $rs=0$.
+Wäre nämlich $t$ ein inverses Element, dann wäre $0=t0 = t(rs) = (tr)s=s$.
+
+\begin{definition}
+Ein Element $r\in R^*$ heisst ein {\em Nullteiler} in $R$,
+wenn es ein $s\in R^*$ gibt mit $rs=0$
+Ein Ring ohne Nullteiler heisst {\em nullteilerfrei}.
+\end{definition}
+
+In $\mathbb{R}$ ist man sich gewohnt zu argumentieren, dass wenn ein
+Produkt $ab=0$ ist, dann muss einer der Faktoren $a=0$ oder $b=0$ sein.
+Dieses Argument funktioniert nur, weil $\mathbb{R}$ ein nullteilerfreier
+Ring ist.
+In $M_2(\mathbb{R})$ ist dies nicht mehr möglich.
+Die beiden Matrizen
+\[
+A=\begin{pmatrix}
+1&0\\0&0
+\end{pmatrix}
+,\qquad
+B=\begin{pmatrix}
+0&0\\0&1
+\end{pmatrix}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+AB=0
+\]
+sind Nullteiler in $M_2(\mathbb{Z})$.
+
+\subsubsection{Homomorphismus}
+Eine Abbildung zwischen Ringen muss die algebraische Struktur respektieren,
+wenn sich damit Eigenschaften vom einen Ring auf den anderen transportieren
+lassen sollen.
+
+\begin{definition}
+Eine Abbildung $\varphi:R \to S$ zwischen Ringen heisst ein
+{\em Homomorphismus}
+\index{Homomorphismus}%
+oder {\em Ringhomomorphismus},
+\index{Ringhomomorphismus}%
+wenn $\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus der additiven Gruppen der Ringe
+ist und ausserdem gilt
+\[
+\varphi(r_1r_2) = \varphi(r_1)\varphi(r_2).
+\]
+Der Kern ist die Menge
+\[
+\ker\varphi = \{ r\in R\;|\; \varphi(r)=0\}
+\]
+\index{Kern}%
+\end{definition}
+
+Wieder hat der Kern zusätzliche Eigenschaften.
+Er ist natürlich bezüglich der additiven Struktur des Ringes ein
+Normalteiler, aber weil die additive Gruppe ja abelsch ist, ist das
+keine wirkliche Einschränkung.
+Für ein beliebiges Element $r\in R$ und $k\in \ker\varphi$ gilt
+\begin{align*}
+\varphi(kr) &= \varphi(k)\varphi(r) = 0\cdot\varphi(r) = 0
+\\
+\varphi(rk) &= \varphi(r)\varphi(k) = \varphi(r)\cdot 0 = 0.
+\end{align*}
+Für den Kern gilt also, dass $\ker\varphi\cdot R\subset \ker\varphi$
+und $R\cdot\ker\varphi\subset\ker\varphi$.
+
+\subsubsection{Ideale}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/10-vektorenmatrizen/images/ideale.pdf}
+\caption{Ideale im Ring der ganzen Gaussschen Zahlen $\mathbb{Z}[i]$.
+Für jedes Element $r\in \mathbb{Z}[i]$ ist die Menge  $r\mathbb{Z}[i]$
+ein ein Ideal in $\mathbb{Z}[i]$.
+Links das Ideal $(1+2i)\mathbb{Z}[i]$ (blau), rechts das Ideal
+$(1+i)\mathbb{Z}[i]$ (rot).
+\label{buch:vektorenmatrizen:fig:ideale}}
+\end{figure}
+Bei der Betrachtung der additiven Gruppe des Ringes $\mathbb{Z}$ der
+ganzen Zahlen wurde bereits die Untergruppe $n\mathbb{Z}$ diskutiert
+und die Faktorgruppe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ der Reste konstruiert.
+Reste können aber auch multipliziert werden, es muss also auch möglich
+sein, der Faktorgruppe eine multiplikative Struktur zu verpassen.
+
+Sei jetzt also $I\subset R$ ein Unterring.
+Die Faktorgruppe $R/I$ hat bereits die additive Struktur, es muss
+aber auch die Multiplikation definiert werden.
+Die Elemente $r_1+I$ und $r_2+I$ der Faktorgruppe $R/I$ haben das
+Produkt
+\[
+(r_1+I)(r_2+I)
+=
+r_1r_2 + r_1I + Ir_2 + II.
+\]
+Dies stimmt nur dann mit $r_1r_2+I$ überein, wenn $r_1I\subset I$ und
+$r_2I\subset I$ ist.
+
+\begin{definition}
+Ein Unterring $I\subset R$ heisst ein {\em Ideal}, wenn für jedes $r\in R$ gilt
+$rI\subset I$ und $Ir\subset I$ gilt.
+\index{Ideal}%
+Die Faktorgruppe $R/I$ erhält eine natürliche Ringstruktur, $R/I$ 
+heisst der {\em Quotientenring}.
+\index{Quotientenring}%
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Die Menge $n\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$ besteht aus den durch $n$ teilbaren
+Zahlen.
+Multipliziert man durch $n$ teilbare Zahlen mit einer ganzen Zahl,
+bleiben sie durch $n$ teilbar, $n\mathbb{Z}$ ist also ein Ideal in
+$\mathbb{Z}$.
+Der Quotientenring ist der Ring der Reste bei Teilung durch $n$,
+er wird in 
+Kapitel~\ref{buch:chapter:endliche-koerper}
+im Detail untersucht.
+\end{beispiel}
+
+Ein Ideal $I\subset R$ drückt als die Idee ``gemeinsamer Faktoren''
+auf algebraische Weise aus und der Quotientenring $R/I$ beschreibt
+das, was übrig bleibt, wenn man diese Faktoren ignoriert.
+
+\begin{beispiel}
+In Abbildung~\ref{buch:vektorenmatrizen:fig:ideale} sind zwei
+Ideale im Ring der ganzen Gaussschen Zahlen dargestellt.
+Die blauen Punkte sind $I_1=(1+2i)\mathbb{Z}$ und die roten Punkte sind
+$I_2=(1+i)\mathbb{Z}$.
+Die Faktorgruppen $R/I_1$ und $R/I_2$ fassen jeweils Punkte, die sich
+um ein Element von $I_1$ bzw.~$I_2$ unterscheiden, zusammen.
+
+Im Falle von $I_2$ gibt es nur zwei Arten von Punkten, nämlich
+die roten und die schwarzen, der Quotientenring hat
+daher nur zwei Elemente, $R/I_2 = \{0+I_2,1+I_2\}$.
+Wegen $1+1=0$ in diesem Quotientenring, ist $R/I_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
+
+Im Falle von $I_1$ gibt es fünf verschiedene Punkte, als Menge ist
+\[
+R/I_1 
+=
+\{
+0+I_1,
+1+I_1,
+2+I_1,
+3+I_1,
+4+I_1
+\}.
+\]
+Die Rechenregeln sind also dieselben wie im Ring $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$.
+In gewisser Weise verhält sich die Zahl $1+2i$ in den ganzen 
+Gaussschen Zahlen bezüglich Teilbarkeit ähnlich wie die Zahl $5$ in den
+ganzen Zahlen.
+\end{beispiel}
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
new file mode 100644
index 0000000..d951221
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/skalarprodukt.tex
@@ -0,0 +1,813 @@
+%
+% skalarprodukt.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschulen
+%
+\section{Skalarprodukt
+\label{buch:section:skalarprodukt}}
+\rhead{Skalarprodukt}
+In der bisher dargestellten Form ist die lineare Algebra nicht
+in der Lage, unsere vom Abstandsbegriff dominierte Geometrie adäquat
+darzustellen.
+Als zusätzliches Hilfsmittel wird eine Methode benötigt, Längen
+und Winkel auszudrücken.
+Das Skalarprodukt passt in den algebraischen Rahmen der
+linearen Algebra, bringt aber auch einen Abstandsbegriff hervor,
+der genau der geometrischen Intuition entspricht.
+
+\subsection{Bilinearformen und Skalarprodukte
+\label{buch:subsection:bilinearformen}}
+Damit man mit einem Skalarprodukt rechnen kann wie mit jedem anderen
+Produkt, müssen man auf beiden Seiten des Zeichesn ausmultiplizieren können:
+\begin{align*}
+(\lambda x_1 + \mu x_2)\cdot y &= \lambda x_1\cdot y + \mu x_2\cdot y\\
+x\cdot (\lambda y_1 + \mu y_2) &= \lambda x\cdot y_1 + \mu x\cdot y_2.
+\end{align*}
+Man kann dies interpretieren als Linearität der Abbildungen 
+$x\mapsto x\cdot y$ und $y\mapsto x\cdot y$.
+Dies wird Bilinearität genannt und wie folgt definiert.
+
+% XXX Bilinearität
+\begin{definition}
+Seien $U,V,W$ $\Bbbk$-Vektorräume.
+Eine Abbildung $f\colon U\times V\to W$  heisst {\em bilinear},
+\index{bilinear}%
+wenn die partiellen Abbildungen $U\to W:x\mapsto f(x,y_0)$ und
+$V\to W:y\mapsto f(x_0,y)$
+linear sind für alle $x_0\in U$ und $y_0\in V$, d.~h.
+\begin{align*}
+f(\lambda x_1 + \mu x_2,y) &= \lambda f(x_1,y) + \mu f(x_2,y)
+\\
+f(x,\lambda y_1 + \mu y_2) &= \lambda f(x,y_1) + \mu f(x,y_2)
+\end{align*}
+Eine bilineare Funktion mit Werten in $\Bbbk$ heisst auch {\em Bilinearform}.
+\index{Bilinearform}%
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Symmetrische bilineare Funktionen}
+Das Skalarprodukt hängt nicht von der Reihenfolge der Faktoren ab.
+In Frage dafür kommen daher nur Bilnearformen $f\colon V\times V\to\Bbbk$,
+die zusätzlich $f(x,y)=f(y,x)$ erfüllen.
+Solche Bilinearformen heissen symmetrisch.
+Für eine symmetrische Bilinearform gilt die binomische Formel
+\begin{align*}
+f(x+y,x+y)
+&=
+f(x,x+y)+f(y,x+y)
+=
+f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)
+\\
+&=
+f(x,x)+2f(x,y)+f(y,y)
+\end{align*}
+wegen $f(x,y)=f(y,x)$.
+
+\subsubsection{Positiv definite Bilinearformen und Skalarprodukt}
+Bilinearität alleine genügt nicht, um einen Vektorraum mit einem
+nützlichen Abstandsbegriff auszustatten.
+Dazu müssen die berechneten Abstände vergleichbar sein, es muss also
+eine Ordnungsrelation definiert sein, wie wir sie nur in $\mathbb{R}$
+kennen.
+Wir sind daher gezwungen uns auf $\mathbb{R}$- oder
+$\mathbb{Q}$-Vektorräume zu beschränken.
+
+Man lernt in der Vektorgeometrie, dass sich mit einer Bilinearform
+$f\colon V\times V\to\mathbb{R}$ 
+die Länge eines Vektors $x$ definieren lässt, indem man $\|x\|^2 = f(x,x)$
+setzt.
+Ausserdem muss $f(x,x)\ge 0$ sein für alle $x$, was die Bilinearität
+allein nicht garantieren kann.
+Verschiedene Punkte in einem Vektorraum sollen in dem aus der Bilinearform
+abgeleiteten Abstandsbegriff immer unterscheidbar sein.
+Dazu muss jeder von $0$ verschiedene Vektor positive Länge haben.
+
+% XXX Positiv definite Form
+\begin{definition}
+Eine Bilinearform $f\colon V\times V\to\mathbb{R}$
+heisst {\em positiv definit}, wenn
+\index{positiv definit}%
+\[
+f(x,x) > 0\qquad\forall x\in V\setminus\{0\}.
+\]
+Das zugehörige {\em Skalarprodukt} wird $f(x,y)=\langle x,y\rangle$
+geschrieben.
+\index{Skalarprodukt}%
+Die {\em $l^2$-Norm} $\|x\|_2$ eines Vektors ist definiert durch
+$\|x\|_2^2 = \langle x,x\rangle$.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Dreiecksungleichung}
+% XXX Dreiecksungleichung
+Damit man sinnvoll über Abstände sprechen kann, muss die Norm
+$\|\;\cdot\;\|_2$ der geometrischen Intuition folgen, die durch
+die Dreiecksungleichung ausgedrückt wird.
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass die $l^2$-Norm
+diese immer erfüllt.
+Dazu sei $V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum mit Skalarprodukt
+$\langle\;,\;\rangle$.
+
+\begin{satz}[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]
+Für $x,y\in V$ gilt
+\[
+|\langle x,y\rangle |
+\le
+\| x\|_2\cdot \|y\|_2
+\]
+mit Gleichheit genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir die Norm von $z=x-ty$:
+\begin{align}
+\|x-ty\|_2^2
+&=
+\|x\|_2^2 -2t\langle x,y\rangle +t^2\|y\|_2^2 \ge 0.
+\notag
+\end{align}
+Sie nimmt den kleinsten Wert genau dann an, wenn es ein $t$ gibt derart,
+dass $x=ty$.
+Die rechte Seite ist ein quadratischer Ausdruck in $t$,
+er hat sein Minimum bei
+\begin{align*}
+t&=-\frac{-2\langle x,y\rangle}{2\|y\|_2^2}
+&&\Rightarrow&
+\biggl\|
+x  - \frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|_2^2}y
+\biggr\|_2^2
+&=
+\|x\|_2^2 
+-
+2\frac{(\langle x,y\rangle)^2}{\|y\|_2^2}
++
+\frac{(\langle x,y\rangle)^2}{\|y\|_2^4} \|y\|_2^2
+\\
+&&&&
+&=
+\|x\|_2^2 
+-
+\frac{(\langle x,y\rangle)^2}{\|y\|_2^2}
+=
+\frac{
+\|x\|_2^2\cdot\|y\|_2^2 - (\langle x,y\rangle)^2
+}{
+\|y\|_2^2
+}
+\ge 0
+\intertext{Es folgt}
+&&&\Rightarrow&
+\|x\|_2^2\cdot\|y\|_2^2 - (\langle x,y\rangle)^2 &\ge 0
+\\
+&&&\Rightarrow&
+\|x\|_2\cdot\|y\|_2 &\ge |\langle x,y\rangle |
+\end{align*}
+mit Gleichheit genau dann, wenn es ein $t$ gibt mit $x=ty$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Dreiecksungleichung]
+Für $x,y\in V$ ist
+\[
+\| x + y \|_2 \le \|x\|_2 + \|y\|_2
+\]
+mit Gleichheit genau dann, wenn $x=ty$ ist für ein $t\ge 0$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+\begin{align*}
+\|x+y\|_2^2
+&=
+\langle x+y,x+y\rangle
+=
+\langle x,x\rangle
++
+2\langle x,y\rangle
++
+\langle y,y\rangle
+\\
+&=
+\|x\|_2^2
++
+2\langle x,y\rangle
++
+\|y\|_2^2
+=
+\|x\|_2^2 + 2\langle x,y\rangle + \|y\|_2^2
+\le
+\|x\|_2^2 + 2\|x\|_2\cdot\|y\|_2 + \|y\|_2^2
+\\
+&=
+(\|x\|_2 + \|y\|_2)^2
+\\
+\|x\|_2 + \|y\|_2
+&\le \|x\|_2 + \|y\|_2,
+\end{align*}
+Gleichheit tritt genau dann ein, wenn 
+$\langle x,y\rangle=\|x\|_2\cdot \|y\|_2$.
+Dies tritt genau dann ein, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Polarformel}
+% XXX Polarformel
+Auf den ersten Blick scheint die Norm $\|x\|_2$ weniger Information 
+zu beinhalten, als die symmetrische Bilinearform, aus der sie
+hervorgegangen ist.
+Dem ist aber nicht so, denn die Bilinearform lässt sich aus der
+Norm zurückgewinnen.
+Dies ist der Inhalt der sogenannte Polarformel.
+
+\begin{satz}[Polarformel]
+Ist $\|\cdot\|_2$ eine Norm, die aus einer symmetrischen Bilinearform
+$\langle\;,\;\rangle$ hervorgegangen ist, dann kann die Bilinearform
+mit Hilfe der Formel
+\begin{equation}
+\langle x,y\rangle
+=
+\frac12(
+\|x+y\|_2^2
+-
+\|x\|_2^2
+-
+\|y\|_2^2
+)
+\label{buch:grundlagen:eqn:polarformel}
+\end{equation}
+für $x,y\in V$ wiedergewonnen werden.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die binomischen Formel
+\begin{align*}
+\|x+y\|_2^2
+&=
+\|x\|_2^2 + 2\langle x,y\rangle + \|y\|_2^2
+\intertext{kann nach $\langle x,y\rangle$ aufgelöst werden, was}
+\langle x,y\rangle &= \frac12 (
+\|x+y\|_2^2 - \|x\|_2^2 - \|y\|_2^2
+)
+\end{align*}
+ergibt.
+Damit ist die
+Polarformel~\eqref{buch:grundlagen:eqn:polarformel}
+bewiesen.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Komplexe Vektorräume und Sesquilinearformen}
+% XXX Sesquilinearform
+Eine Bilinearform auf einem komplexen Vektorraum führt nicht
+auf eine Grösse, die sich als Norm eignet.
+Selbst wenn $\langle x,x\rangle >0$ ist,
+\[
+\langle ix,iy\rangle = i^2 \langle x,y\rangle
+=
+-\langle x,y\rangle < 0.
+\]
+Dies kann verhindert werden, wenn verlangt wird, dass der Faktor
+$i$ im ersten Faktor der Bilinearform als $-i$ aus der Bilinearform
+herausgenommen werden muss.
+
+\begin{definition}
+Seien $U,V,W$ komplexe Vektorräume.
+Eine Abbildung $f\colon U\times V\to W$ heisst
+{\em sesquilinear}\footnote{Das lateinische Wort {\em sesqui} bedeutet
+eineinhalb, eine Sesquilinearform ist also eine Form, die in einem 
+Faktor (dem zweiten) linear ist, und im anderen nur halb linear.}
+\index{sesquilinear}
+wenn gilt
+\begin{align*}
+f(\lambda x_1+\mu x_2,y) &= \overline{\lambda}f(x_1,y) + \overline{\mu}f(x_2,y)
+\\
+f(x,\lambda y_1+\mu y_2) &= \lambda f(x,y_1) + \mu f(x,y_2)
+\end{align*}
+\end{definition}
+
+Für die Norm $\|x\|_2^2=\langle x,x\rangle$ bedeutet dies jetzt
+\[
+\|\lambda x\|_2^2
+=
+\langle \lambda x,\lambda x\rangle
+=
+\overline{\lambda}\lambda \langle x,x\rangle
+=
+|\lambda|^2 \|x\|_2^2
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\|\lambda x\|_2 = |\lambda|\, \|x\|_2.
+\]
+
+\subsection{Orthognormalbasis
+\label{buch:subsection:orthonormalbasis}}
+\index{orthonormierte Basis}%
+
+\subsubsection{Gram-Matrix}
+Sei $V$ ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt und $\{b_1,\dots,b_n\}$ eine
+Basis von $V$.
+Wie kann man das Skalarprodukt aus den Koordinaten $\xi_i$ und $\eta_i$
+der Vektoren 
+\[
+x = \sum_{i=1}^n \xi_i b_i,
+\quad\text{und}\quad
+y = \sum_{i=1}^n \eta_i b_i
+\]
+berechnen?
+Setzt man $x$ und $y$ in das Skalarprodukt ein, erhält man
+\begin{align*}
+\langle x,y\rangle
+&=
+\biggl\langle
+\sum_{i=1}^n \xi_i b_i,
+\sum_{j=1}^n \eta_j b_j
+\biggr\rangle
+=
+\sum_{i,j=1}^n \xi_i\eta_j \langle b_i,b_j\rangle.
+\end{align*}
+Die Komponente $g_{ij}=\langle b_i,b_j\rangle$ bilden die sogenannte
+Gram-Matrix $G$.
+Mit ihr kann das Skalarprodukt auch in Vektorform geschrieben werden
+als $\langle x,y\rangle = \xi^t G\eta$.
+
+\subsubsection{Orthonormalbasis}
+Eine Basis $\{a_1,\dots,a_n\}$ aus orthogonalen Einheitsvektoren,
+also mit
+$
+\langle a_i,a_j\rangle=\delta_{ij}
+$
+heisst {\em Orthonormalbasis}.
+In einer Orthonormalbasis ist die Bestimmung der Koordinaten eines
+beliebigen Vektors besonders einfach, ist nämlich
+\begin{equation}
+v=\sum_{i=1}^n \langle v,a_i\rangle a_i.
+\label{buch:grundlagen:eqn:koordinaten-in-orthonormalbasis}
+\end{equation}
+Die Gram-Matrix einer Orthonormalbasis ist die Einheitsmatrix.
+
+\subsubsection{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung}
+Mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsprozesses kann aus
+einer beliebige Basis $\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\subset V$ eines Vektorraums
+mit einem SKalarprodukt eine orthonormierte Basis 
+$\{b_1,b_2,\dots,b_n\}$ gefunden werden derart, dass für alle $k$
+$\langle b_1,\dots,b_k\rangle = \langle a_1,\dots ,a_k\rangle$.
+\index{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung}%
+Der Zusammenhang zwischen den Basisvektoren $b_i$ und $a_i$ ist
+gegeben durch
+\begin{align*}
+b_1&=\frac{a_1}{\|a_1\|_2}
+\\
+b_2&=\frac{a_2-b_1\langle b_1,a_2\rangle}{\|a_2-b_1\langle b_1,a_2\rangle\|_2}
+\\
+b_3&=\frac{a_3-b_1\langle b_1,a_3\rangle-b_2\langle b_2,a_3\rangle}{\|a_3-b_1\langle b_1,a_3\rangle-b_2\langle b_2,a_3\rangle\|_2}
+\\
+&\phantom{n}\vdots\\
+b_n
+&=
+\frac{
+a_n-b_1\langle b_1,a_n\rangle-b_2\langle b_2,a_n\rangle
+-\dots-b_{n-1}\langle b_{n-1},a_n\rangle
+}{
+\|
+a_n-b_1\langle b_1,a_n\rangle-b_2\langle b_2,a_n\rangle
+-\dots-b_{n-1}\langle b_{n-1},a_n\rangle
+\|_2
+}.
+\end{align*}
+Die Gram-Matrix der Matrix $\{b_1,\dots,b_n\}$ ist die Einheitsmatrix.
+
+\subsubsection{Orthogonalisierung}
+Der Normalisierungsschritt im Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsprozess
+ist nur möglich, wenn Quadratwurzeln unbeschränkt gezogen werden können.
+Das ist in $\mathbb{R}$ möglich, nicht jedoch in $\mathbb{Q}$.
+Es ist aber mit einer kleinen Anpassung auch über $\mathbb{Q}$
+immer noch möglich, aus einer Basis $\{a_1,\dots,a_n\}$ eine orthogonale
+Basis zu konstruieren.
+Man verwendet dazu die Formeln
+\begin{align*}
+b_1&=a_1
+\\
+b_2&=a_2-b_1\langle b_1,a_2\rangle
+\\
+b_3&=a_3-b_1\langle b_1,a_3\rangle-b_2\langle b_2,a_3\rangle
+\\
+&\phantom{n}\vdots\\
+b_n
+&=
+a_n-b_1\langle b_1,a_n\rangle-b_2\langle b_2,a_n\rangle
+-\dots-b_{n-1}\langle b_{n-1},a_n\rangle.
+\end{align*}
+Die Basisvektoren $b_i$ sind orthogonal, aber $\|b_i\|_2$ kann auch
+von $1$ abweichen.
+Damit ist es zwar nicht mehr so einfach 
+wie in \eqref{buch:grundlagen:eqn:koordinaten-in-orthonormalbasis},
+einen Vektor in der Basis zu zerlegen.
+Ein Vektor $v$ hat nämlich in der Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$ die Zerlegung
+\begin{equation}
+v
+=
+\sum_{i=1}^n
+\frac{\langle b_i,v\rangle}{\|b_i\|_2^2} b_i,
+\label{buch:grundlagen:eqn:orthogonal-basiszerlegung}
+\end{equation}
+Die Koordinaten bezüglich dieser Basis sind also
+$\langle b_i,v\rangle/\|b_i\|_2^2$.
+
+Die Gram-Matrix einer Orthogonalen Basis ist immer noch diagonal,
+auf der Diagonalen stehen die Normen der Basisvektoren.
+Die Nenner in der Zerlegung
+\eqref{buch:grundlagen:eqn:orthogonal-basiszerlegung}
+sind die Einträge der inverse Matrix der Gram-Matrix.
+
+\subsubsection{Orthonormalbasen in komplexen Vektorräumen}
+Die Gram-Matrix einer Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$ in einem komplexen
+Vektorraum hat die Eigenschaft
+\[
+g_{ij}
+=
+\langle b_i,b_j\rangle
+=
+\overline{\langle b_j,b_i\rangle},
+=
+\overline{g}_{ji}
+\quad 1\le i,j\le n.
+\]
+Sie ist nicht mehr symmetrisch, aber selbstadjungiert, gemäss 
+der folgenden Definition.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:grundlagen:definition:selstadjungiert}
+Sei $A$ eine komplexe Matrix mit Einträgen $a_{ij}$, dann ist
+$\overline{A}$ die Matrix mit komplex konjugierten Elementen
+$\overline{a}_{ij}$.
+Die {\em adjungierte} Matrix ist $A^*=\overline{A}^t$.
+Eine Matrix heisst selbstadjungiert, wenn $A^*=A$.
+\end{definition}
+
+\subsection{Symmetrische und selbstadjungierte Abbilungen
+\label{buch:subsection:symmetrisch-und-selbstadjungiert}}
+In Definition~\ref{buch:grundlagen:definition:selstadjungiert}
+wurde der Begriff der selbstadjungierten Matrix basierend
+eingeführt.
+Als Eigenschaft einer Matrix ist diese Definition notwendigerweise
+abhängig von der Wahl der Basis.
+Es ist nicht unbedingt klar, dass derart definierte Eigenschaften
+als von der Basis unabhängige Eigenschaften betrachtet werden können.
+Ziel dieses Abschnitts ist, Eigenschaften wie Symmetrie oder
+Selbstadjungiertheit auf basisunabhängige Eigenschaften von
+linearen Abbildungen in einem Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt
+$\langle\;,\;\rangle$ zu verstehen.
+
+\subsubsection{Symmetrische Abbildungen}
+Sei $f\colon V\to V$ eine lineare Abbildung.
+In einer Basis $\{b_1,\dots,b_n\}\subset V$ wird $f$ durch eine
+Matrix $A$ beschrieben.
+Ist die Basis orthonormiert, dann kann man die Matrixelemente 
+mit $a_{ij}=\langle b_i,Ab_j\rangle$ berechnen.
+Die Matrix ist symmetrisch, wenn 
+\[
+\langle b_i,Ab_j\rangle
+=
+a_{ij}
+= 
+a_{ji}
+=
+\langle b_j,Ab_i \rangle
+=
+\langle Ab_i,b_j \rangle
+\]
+ist.
+Daraus leitet sich jetzt die basisunabhängige Definition einer
+symmetrischen Abbildung ab.
+
+\begin{definition}
+Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ heisst {\em symmetrisch}, wenn
+$\langle x,Ay\rangle=\langle Ax,y\rangle$ gilt für beliebige 
+Vektoren $x,y\in V$.
+\end{definition}
+
+Für $V=\mathbb{R}^n$ und das Skalarprodukt $\langle x,y\rangle=x^ty$ 
+erfüllt eine symmetrische Abbildung mit der Matrix $A$ die Gleichung
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\langle x,Ay\rangle
+&=
+x^tAy
+\\
+\langle Ax,y\rangle
+&=
+(Ax)^ty=x^tA^ty
+\end{aligned}
+\right\}
+\quad\Rightarrow\quad
+x^tA^ty = x^tAy\quad\forall x,y\in\mathbb{R}^n,
+\]
+was gleichbedeutend ist mit $A^t=A$.
+Der Begriff der symmetrischen Abbildung ist also eine natürliche
+Verallgemeinerung des Begriffs der symmetrischen Matrix.
+
+\subsubsection{Selbstadjungierte Abbildungen}
+In einem komplexen Vektorraum ist das Skalarprodukt nicht mehr bilinear
+und symmetrisch, sondern sesquilinear und konjugiert symmetrisch.
+
+\begin{definition}
+Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ heisst {\em selbstadjungiert},
+wenn $\langle x,fy\rangle=\langle fx,y\rangle$ für alle $x,y\in\mathbb{C}$.
+\end{definition}
+
+Im komplexen Vektorraum $\mathbb{C}^n$ ist das Standardskalarprodukt
+definiert durch $\langle x,y\rangle = \overline{x}^ty$.
+
+\subsubsection{Die Adjungierte}
+Die Werte der Skalarprodukte $\langle x, y\rangle$ für alle $x\in V$
+legen den Vektor $y$ fest.
+Gäbe es nämlich einen zweiten Vektor $y'$ mit den gleichen Skalarprodukten,
+also $\langle x,y\rangle = \langle x,y'\rangle$ für alle $x\in V$,
+dann gilt wegen der Linearität $\langle x,y-y'\rangle=0$.
+Wählt man $x=y-y'$, dann folgt
+$0=\langle y-y',y-y'\rangle=\|y-y'\|_2$, also muss $y=y'$ sein.
+
+\begin{definition}
+Sei $f\colon V\to V$ eine lineare Abbildung.
+Die lineare Abbildung $f^*\colon V\to V$ definiert durch
+\[
+\langle f^*x,y\rangle = \langle x,fy\rangle,\qquad x,y\in V
+\]
+heisst die {\em Adjungierte} von $f$.
+\end{definition}
+
+Eine selbstadjungierte Abbildung ist also eine lineare Abbildung,
+die mit ihrer Adjungierte übereinstimmt, als $f^* = f$.
+In einer orthonormierten Basis $\{b_1,\dots,b_n\}$ hat die Abbildung
+$f$ die Matrixelemente $a_{ij}=\langle b_i,fb_j\rangle$.
+Die adjungierte Abbildung hat dann die Matrixelemente
+\[
+\langle b_i,f^*b_j \rangle
+=
+\overline{\langle f^*b_j,b_i\rangle}
+=
+\overline{\langle b_j,fb_i\rangle}
+=
+\overline{a_{ji}},
+\]
+was mit der Definition von $A^*$ übereinstimmt.
+
+\subsection{Orthogonale und unitäre Matrizen
+\label{buch:subsection:orthogonale-und-unitaere-matrizen}}
+Von besonderer geometrischer Bedeutung sind lineare Abbildung,
+die die Norm nicht verändern.
+Aus der Polarformel~\eqref{buch:grundlagen:eqn:polarformel}
+folgt dann, dass auch das Skalarprodukt erhalten ist, aus dem
+Winkel berechnet werden können.
+Abbildungen, die die Norm erhalten, sind daher auch winkeltreu.
+
+\begin{definition}
+Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ in einem reellen
+Vektorraum mit heisst {\em orthogonal}, wenn
+$\langle fx,fy\rangle = \langle x,y\rangle$ für alle
+$x,y\in V$ gilt.
+\end{definition}
+
+Die adjungierte einer orthogonalen Abbildung erfüllt
+$\langle x,y\rangle = \langle fx,fy\rangle = \langle f^*f x, y\rangle$
+für alle $x,y\in V$, also muss $f^*f$ die identische Abbildung sein,
+deren Matrix die Einheitsmatrix ist.
+Die Matrix $O$ einer orthogonalen Abbildung erfüllt daher $O^tO=I$.
+
+Für einen komplexen Vektorraum erwarten wir grundsätzlich dasselbe.
+Lineare Abbildungen, die die Norm erhalten, erhalten das komplexe
+Skalarprodukt.
+Auch in diesem Fall ist $f^*f$ die identische Abbildung, die zugehörigen
+Matrixen $U$ erfüllen daher $U^*U=I$.
+
+\begin{definition}
+Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ eines komplexen Vektorraumes
+$V$ mit Skalarprodukt heisst unitär,
+wenn $\langle x,y\rangle = \langle fx,fy\rangle$ für alle Vektoren $x,y\in V$.
+Eine Matrix heisst unitär, wenn $U^*U=I$.
+\end{definition}
+
+Die Matrix einer unitären Abbildung in einer orthonormierten Basis ist unitär.
+
+% XXX Skalarprodukt und Lineare Abbildungen
+% XXX Symmetrische Matrizen
+% XXX Selbstadjungierte Matrizen
+
+\subsection{Orthogonale Unterräume
+\label{buch:subsection:orthogonale-unterraeume}}
+% XXX Invariante Unterräume 
+% XXX Kern und Bild orthogonaler Abbildungen
+
+\subsection{Andere Normen auf Vektorräumen
+\label{buch:subsection:andere-normen}}
+Das Skalarprodukt ist nicht die einzige Möglichkeit, eine Norm auf einem
+Vektorraum zu definieren.
+In diesem Abschnitt stellen wir einige weitere mögliche Normdefinitionen
+zusammen.
+
+\subsubsection{$l^1$-Norm}
+\begin{definition}
+Die $l^1$-Norm in $V=\mathbb{R}^n$ oder $V=\mathbb{C}^n$ ist definiert durch
+\[
+\| v\|_1
+=
+\sum_{i=1}^n |v_i|
+\]
+für $v\in V$.
+\end{definition}
+
+Auch die $l^1$-Norm erfüllt die Dreiecksungleichung
+\[
+\|x+y\|_1
+=
+\sum_{i=1}^n |x_i+y_i|
+\le 
+\sum_{i=1} |x_i| + \sum_{i=1} |y_i|
+=
+\|x\|_1 + \|y\|_1.
+\]
+
+Die $l^1$-Norm kommt nicht von einem Skalarprodukt her.
+Wenn es ein Skalarprodukt gäbe, welches auf diese Norm führt, dann
+müsste 
+\[
+\langle x,y\rangle
+=
+\frac12(\|x+y\|_1^2-\|x\|_1^2-\|y\|_1^2)
+\]
+sein.
+Für die beiden Standardbasisvektoren $x=e_1$ und $y=e_2$ 
+bedeutet dies
+\[
+\left .
+\begin{aligned}
+\|e_1\|_1 &= 2\\
+\|e_2\|_1 &= 2\\
+\|e_1\pm +e_2\|_1 &= 2\\
+\end{aligned}
+\right\}
+\quad\Rightarrow\quad
+\langle e_1,\pm e_2\rangle
+=
+\frac12( 2^2 - 1^2 - 1^2) 
+=1
+\]
+Die Linearität des Skalarproduktes verlangt aber, dass
+$1=\langle e_1,-e_2\rangle = -\langle e_1,e_2\rangle = -1$,
+ein Widerspruch.
+
+\subsubsection{$l^\infty$-Norm}
+
+
+\begin{definition}
+Die $l^\infty$-Norm in $V=\mathbb{R}^n$ und $V=\mathbb{C}^n$ ist definiert
+\[
+\|v\|_\infty
+=
+\max_{i} |v_i|.
+\]
+Sie heisst auch die {\em Supremumnorm}.
+\index{Supremumnorm}%
+\end{definition}
+
+Auch diese Norm  erfüllt die Dreiecksungleichung
+\[
+\|x+y\|_\infty
+=
+\max_i |x_i+y_i|
+\le
+\max_i (|x_i| + |y_i|)
+\le
+\max_i |x_i| + \max_i |y_i|
+=
+\|x\|_\infty + \|y\|_\infty.
+\]
+Auch diese Norm kann nicht von einem Skalarprodukt herkommen, ein
+Gegenbeispiel können wir wieder mit den ersten beiden Standardbasisvektoren
+konstruieren.
+Es ist
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\|e_1\|_\infty &= 1\\
+\|e_2\|_\infty &= 1\\
+\|e_1\pm e_2\|_\infty &= 1
+\end{aligned}
+\right\}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\langle e_1,\pm e_2\rangle
+=
+\frac12(\|e_1\pm e_2\|_\infty^2 - \|e_1\|_\infty^2 - \|e_2\|_\infty^2)
+=
+\frac12(1-1-1) = -\frac12.
+\]
+Es folgt wieder
+\(
+-\frac12
+=
+\langle e_1,-e_2\rangle
+=
+-\langle e_1,e_2\rangle
+=
+\frac12,
+\)
+ein Widerspruch.
+
+\subsubsection{Operatornorm}
+Der Vektorraum der linearen Abbildungen $f\colon U\to V$ kann mit einer
+Norm ausgestattet werden, wenn $U$ und $V$ jeweils eine Norm haben.
+
+\begin{definition}
+Seien $U$ und $V$ Vektorräume über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ und
+$f\colon U\to V$ eine lineare Abbildung.
+Die {\em Operatorname} der linearen Abbildung ist 
+\[
+\|f\|
+=
+\sup_{x\in U\wedge \|x\|\le 1} \|fx\|.
+\]
+\end{definition}
+
+Nach Definition gilt $\|fx\| \le \|f\|\cdot \|x\|$ für alle $x\in U$.
+Die in den Vektorräumen $U$ und $V$ verwendeten Normen haben einen
+grossen Einfluss auf die Operatornorm, wie die beiden folgenden
+Beispiele zeigen.
+
+\begin{beispiel}
+Sei $V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt und $y\in V$ ein
+Vektor.
+$y$ definiert die lineare Abbildung
+\[
+l_y
+\colon
+V\to \mathbb{C}: x\mapsto \langle y,x\rangle.
+\]
+Zur Berechnung der Operatorname von $l_y$ 
+\[
+|l_y(x)|^2
+=
+|\langle y,x\rangle|^2
+\le
+\|y\|_2^2\cdot \|x\|_2^2
+\]
+mit Gleichheit genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.
+Dies bedeutet, dass
+$\|l_y\|=\|y\|$, die Operatorname von $l_y$ stimmt mit der Norm von $y$
+überein.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Sei $V=\mathbb{C}^n$. 
+Dann definiert $y\in V$ eine Linearform
+\[
+l_y
+\colon
+V\to \mathbb C
+:
+x\mapsto y^tx.
+\]
+Wir suchen  die Operatornorm von $l_y$, wenn $V$ mit der $l^1$-Norm
+ausgestattet wird.
+Sei $k$ der Index der betragsmässig grössten Komponente von $y_k$,
+also $\| y\|_\infty = |y_k|$.
+Dann gilt
+\[
+|l_y(x)|
+=
+\biggl|\sum_{i=1}^n y_ix_i\biggr|
+\le
+\sum_{i=1}^n |y_i|\cdot |x_i|
+\le
+|y_k| \sum_{i=1}^n |x_i|
+=
+\|y\|_\infty\cdot \|x\|_1.
+\]
+Gleichheit wird erreicht, wenn die Komponente $k$ die einzige
+von $0$ verschiedene Komponente des Vektors $x$ ist.
+Somit ist $\|l_y\| = \|y\|_\infty$.
+\end{beispiel}
+
+
+\subsubsection{Normen auf Funktionenräumen}
+Alle auf $\mathbb{R}^n$ und $\mathbb{C}^n$ definierten Normen lassen
+sich auf den Raum der stetigen Funktionen $[a,b]\to\mathbb{R}$ oder
+$[a,b]\to\mathbb{C}$ verallgemeinern.
+
+Die Supremumnorm auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen ist
+\[
+\|f\|_\infty = \sup_{x\in[a,b]} |f(x)|
+\]
+für $f\in C([a,b],\mathbb{R})$ oder $f\in C([a,b],\mathbb{C})$.
+
+Für die anderen beiden Normen wird zusätzlich das bestimmte Integral
+von Funktionen auf $[a,b]$ benötigt.
+Die $L^2$-Norm wird erzeugt von dem Skalarprodukt
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\frac{1}{b-a}
+\int_a^b \overline{f}(x)g(x)\,dx
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\|f\|_2^2 = \frac{1}{b-a}\int_a^b |f(x)|^2\,dx.
+\]
+Die $L^2$-Norm ist dagegen
+\[
+\|f\|_1
+=
+\int_a^b |f(x)|\,dx.
+\]
+
diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex
new file mode 100644
index 0000000..a2afa37
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex
@@ -0,0 +1,38 @@
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+% strukturen.tex
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+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Algebraische Strukturen
+\label{buch:section:algebraische-Strukturen}}
+\rhead{Algebraische Strukturen}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/10-vektorenmatrizen/images/strukturen.pdf}
+\caption{Übersicht über die verschiedenen algebraischen Strukturen, die
+in Abschnitt~\ref{buch:section:algebraische-Strukturen} zusammengestellt
+werden.
+\label{buch:vektorenmatrizen:fig:strukturen}}
+\end{figure}
+Im Laufe der Definition der Vektorräume $\Bbbk^n$ und der
+Operationen für die Matrizen in $M_{m\times n}(\Bbbk)$ haben
+wir eine ganze Reihe von algebraischen Strukturen kennengelernt.
+Nicht immer sind alle Operationen verfügbar, in einem Vektorraum
+gibt es normalerweise kein Produkt.
+Und bei der Konstruktion des Zahlensystems wurde gezeigt, dass
+additive oder multiplikative Inverse nicht selbstverständlich
+sind.
+Sinnvolle Mathematik lässt sich aber erst betreiben, wenn zusammen
+mit den vorhandenen Operationen auch einige Regeln erfüllt sind.
+Die schränkt die Menge der sinnvollen Gruppierungen von Eigenschaften
+ein.
+In diesem Abschnitten sollen diesen sinnvollen Gruppierungen von
+Eigenschaften Namen gegeben werden.
+
+
+\input{chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex}
+\input{chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex}
+\input{chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex}
+\input{chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex}
+
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