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index a797c09..408587d 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
@@ -35,17 +35,17 @@ Die Abbildung von Vektoren auf Polynome
 \colon  R^n \to R[X]
 :
 \begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
-\mapsto 
+\mapsto
 a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0
 \]
-erfüllt also 
+erfüllt also
 \[
 \varphi( \lambda a) = \lambda \varphi(a)
 \qquad\text{und}\qquad
 \varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)
 \]
 und ist damit eine lineare Abbildung.
-Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom $p(X)$ vom Grad $\le n$ einen 
+Umgekehrt kann man auch zu jedem Polynom $p(X)$ vom Grad~$\le n$ einen
 Vektor finden, der von $\varphi$ auf das Polynom $p(X)$ abgebildet wird.
 Die Abbildung $\varphi$ ist also ein Isomorphismus
 \[
@@ -108,7 +108,7 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots
 \end{pmatrix}
 .
 \]
-Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber 
+Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
 alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring
 $R[X]$ abgebildet werden.
 \begin{center}