typos chapters 1-5

3 files changed, 17 insertions, 16 deletions

diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
index 5920991..ae3903b 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
@@ -109,11 +109,11 @@ a_{n}b_{m}X^{n+m}
 (a_1b_0+a_0b_1)X
 +
 a_0b_0
+\label{buch:eqn:polynome:faltung}
 \\
 &=
 \sum_{i + j = k}a_ib_j X^k.
 \notag
-\label{buch:eqn:polynome:faltung}
 \end{align}
 Dies ist aber nur möglich, wenn die Koeffizienten selbst miteinander
 multipliziert werden können, wenn also die Koeffizienten mindestens
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
index b58c0dd..152589a 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
@@ -23,8 +23,8 @@ Zahl zu multiplizieren.
 
 Die Struktur, die wir hier beschrieben haben, hängt davon ab, was wir uns
 unter einer ``Zahl'' vorstellen.
-Wir bezeichnen die Menge, aus der die ``Zahlen'' kommen können mit $R$ und
-nennen sie die Menge der Skalare.
+Wir bezeichnen die Menge, aus der die ``Zahlen'' kommen können, mit $R$ und
+nennen sie die Menge der {\em Skalare}.
 \index{Skalar}%
 Wenn wir uns vorstellen, dass man die Elemente von $R$ an Stelle von $X$
 in das Polynom einsetzen kann, dann muss es möglich sein, in $R$ zu
@@ -73,7 +73,7 @@ Ein Polynom heisst {\em normiert} oder auch {\em monisch}, wenn der
 \index{Polynom!normiert}%
 \index{normiertes Polynom}%
 \index{Polynom!monisch}%
-\index{normiertes Polynom}
+\index{normiertes Polynom}%
 höchste Koeffizient oder auch {\em Leitkoeffizient} des Polynoms $1$ ist,
 also $a_n=1$.
 \index{Leitkoeffizient}%
@@ -201,8 +201,8 @@ sein als die grössere von den beiden Zahlen $n$ und $m$ angibt, dies
 beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}.
 Ebenso kann der höchste Koeffizient im Produkt nach der
 Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht ``weiter oben'' als bei
-$n+m$ liegen, dies beweist
-beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
+$n+m$ liegen, dies 
+beweist~\eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
 In einem Ring mit Nullteilern
 (Siehe Definition~\ref{buch:grundlagen:def:nullteiler})
 könnte es passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
@@ -245,9 +245,9 @@ Betrachten wir $\lambda$ wieder als ein Polynom, dann folgt aus
 \eqref{buch:eqn:polynome:gradsummeexakt}, dass
 \[
 \begin{aligned}
-\lambda&\ne 0  &&\Rightarrow& \deg (\lambda p) &= \deg\lambda + \deg p = 0+\deg p
+\lambda&\ne 0  &&\Rightarrow& \deg (\lambda p) &= \deg\lambda + \deg p = 0+\deg p,
 \\
-\lambda&=0     &&\Rightarrow& \deg (0 p) &= \deg 0 + \deg p = \deg 0
+\lambda&=0     &&\Rightarrow& \deg (0 p) &= \deg 0 + \deg p = \deg 0.
 \end{aligned}
 \]
 Diese Gleichung kann also nur aufrechterhalten werden, wenn die ``Zahl'' $\deg 0$ die Eigenschaft besitzt, dass man immer noch $\deg 0$ bekommt,
@@ -405,7 +405,7 @@ In $\mathbb{Q}[X]$ ist die Division $a:b$ für die Polynome
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 a(X) &= X^4 - X^3 -7X^2 + X + 6\\
-b(X) &= 2X^2+X+1,
+b(X) &= 2X^2+X+1
 \end{aligned}
 \label{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe2}
 \end{equation}
@@ -500,7 +500,7 @@ Wir erwarten daher die entsprechenden Eigenschaften auch in einem
 Polynomring.
 Allerdings ist eine Faktorzerlegung nicht ganz eindeutig.
 Wenn das Polynom $f\in\mathbb{Z}[X]$ die Faktorisierung
-$f=g\cdot h$ mit $g,h\mathbb{Z}[X]$ hat, dann
+$f=g\cdot h$ mit $g,h\in\mathbb{Z}[X]$ hat, dann
 ist $rg\cdot r^{-1}h$ ebenfalls eine Faktorisierung für jedes $r =\pm1$.
 Dasselbe gilt in $\mathbb{Q}$ für jedes $r\in \mathbb{Q}^*$.
 Faktorisierung ist also nur eindeutig bis auf Elemente der
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
index 535b896..9f0dee2 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
@@ -29,7 +29,7 @@ R^{n+1}.
 \]
 Diese Darstellung eines Polynoms gibt auch die Addition von Polynomen
 und die Multiplikation von Polynomen mit Skalaren aus $R$ korrekt wieder.
-Die Abbildung von Vektoren auf Polynome
+Die Abbildung
 \[
 \varphi
 \colon  R^{n+1} \to R[X]
@@ -38,6 +38,7 @@ Die Abbildung von Vektoren auf Polynome
 \mapsto
 a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0
 \]
+von Vektoren auf Polynome
 erfüllt also
 \[
 \varphi( \lambda a) = \lambda \varphi(a)
@@ -62,7 +63,7 @@ um Multiplikation mit Skalaren geht, ist also diese vektorielle Darstellung
 mit Hilfe von $\varphi$ eine zweckmässige Darstellung.
 
 In zwei Bereichen ist die Beschreibung von Polynomen mit Vektoren allerdings
-ungenügend: einerseits können Polynome können beliebig hohen Grad haben,
+ungenügend: einerseits können Polynome beliebig hohen Grad haben,
 während Vektoren in $R^{n+1}$ höchstens $n+1$ Komponenten haben können.
 Andererseits geht bei der vektoriellen Beschreibung die multiplikative
 Struktur vollständig verloren.
@@ -159,12 +160,12 @@ Multiplikationsoperator
 betrachten.
 Diese Operatoren setzen sich zusammen zu einem Operator
 \[
-{X\cdot} \colon R^\infty \to \infty,
+{X\cdot} : R^\infty \to \infty,
 \]
 der die Multiplikation mit $X$ beschreibt.
 
 Ist $p(X)$ ein Polynom, dann lässt sich die Multiplikation
-in von Polynome mit $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben.
+von $p(X)$ mit Polynomen in $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben.
 Die Potenz $X^k$ wirkt durch $k$-fache Iteration des Operators
 $X\cdot$.
 Das Polynom $p(X)$ wirkt als Linearkombination der Operatoren $(X\cdot)^k$,
@@ -174,7 +175,7 @@ in das Polynom erhalten kann:
 p(X\cdot)
 =
 a_n(X\cdot)^n + a_{n-1}(X\cdot)^{n+1} + \dots + a_1(X\cdot) + a_0
-\colon
+:
 R^\infty \to R^\infty
 :
 q(X) 
@@ -235,7 +236,7 @@ die Beobachtung, dass sich eine ganz allgemeine Algebra
 wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise 
 abbilden lässt in eine Algebra von Matrizen auf einem
 geeigneten Vektorraum.
-Im vorliegenden Fall sind das zwar ``undendliche''
+Im vorliegenden Fall sind das zwar ``unendliche''
 Matrizen, in zukünftigen Beispielen werden wir das
 selbe Prinzip jedoch in Aktion sehen in Situationen,
 wo eine Operation auf einem endlichen Vektorraum