Kapitel 3

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diff --git a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
index c7fc9e9..fd72a59 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/chapter.tex
@@ -38,7 +38,7 @@ verwendet werden, warum also diese Beschränkung.
 Für die nachfolgenden Betrachtungen stellen wir uns $X$ daher nicht
 mehr einfach als einen Platzhalter für eine Zahl vor, sondern als ein neues
 algebraisches Objekt, für das man die Rechenregeln erst noch definieren muss.
-In diesem Kapteil sollen die Regeln zum Beispiel sicherstellen,
+In diesem Kapitel sollen die Regeln zum Beispiel sicherstellen,
 dass man mit Polynomen so rechnen kann, wie wenn $X$ eine Zahl wäre.
 Es sollen also zum Beispiel die Regeln
 \begin{align}
@@ -120,7 +120,7 @@ Elemente einer Algebra sind.
 
 \input{chapters/20-polynome/definitionen.tex}
 \input{chapters/20-polynome/vektoren.tex}
-\input{chapters/20-polynome/matrizen.tex}
-\input{chapters/20-polynome/minimalpolynom.tex}
+%\input{chapters/20-polynome/matrizen.tex}
+%\input{chapters/20-polynome/minimalpolynom.tex}
 
 
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
index 135ebf6..3c541d8 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/definitionen.tex
@@ -12,8 +12,8 @@ Rechnen mit Polynomen zusammen.
 %
 % Skalare
 %
-\subsection{Skalare
-\label{buch:subsection:polynome:skalare}}
+\subsection{Polynome
+\label{buch:subsection:polynome:polynome}}
 Wie schon in der Einleitung angedeutet sind Polynome nur dann sinnvoll,
 wenn man mit den Koeffizienten gewisse Rechenoperationen durchführen kann.
 Wir brauchen mindestens die Möglichkeit, Koeffizienten zu addieren.
@@ -31,7 +31,7 @@ in das Polynom einsetzen kann, dann muss es möglich sein, in $R$ zu
 Multiplizieren und zu Addieren, und es müssen die üblichen Rechenregeln
 der Algebra gelten, $R$ muss also ein Ring sein.
 \index{Ring}%
-Wir werden im folgenden meistens voraussetzen, dass $R$ sogar kommutativ
+Wir werden im folgenden zusätzlich voraussetzen, dass $R$ sogar kommutativ
 ist und eine $1$ hat.
 
 \begin{definition}
@@ -85,6 +85,7 @@ X^n + \frac{a_{n-1}}{a_n}X^{n-1} + \dots + \frac{a_0}{a_n}
 \]
 machen.
 Man sagt auch, das Polynom $p(X)$ wurde normiert.
+Wenn $R$ ein Körper ist, ist die Normierung immer möglich.
 
 Die Tatsache, dass zwei  Polynome nicht gleich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten haben müssen,
 verkompliziert die Beschreibung der Rechenoperationen ein wenig.
@@ -109,42 +110,10 @@ dass nur über diejenigen Indizes $k$ summiert wird, für die $a_k$
 definiert ist.
 \label{summenzeichenkonvention}
 
-%
-% Abschnitt über Polynomring Definition
-%
-\subsection{Der Polynomring
-\label{buch:subsection:polynome:ring}}
-Die Menge $R[X]$ aller Polynome über $R$ wird zu einem Ring, wenn man die
-Rechenoperationen Addition und Multiplikation so definiert, wie man das
-in der Schule gelernt hat.
-Die Summe von zwei Polynomen
-\begin{align*}
-p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0\\
-q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0
-\end{align*}
-ist
-\[
-p(X)+q(X)
-=
-\sum_{k} (a_k+b_k)X^k,
-\]
-wobei die Summe wieder so zu interpretieren ist, über alle Terme
-summiert wird, für die mindestens einer der Summanden von $0$
-verschieden ist.
-
-Für das Produkt verwenden wir die Definition
-\[
-p(X)q(X)
-=
-\sum_{k}\sum_{l} a_kb_l X^{k+l},
-\]
-die natürlich mit Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung}
-gleichbedeutend ist.
-Die Polynom-Multiplikation und Addition sind nur eine natürliche
-Erweiterung der Rechenregeln, die man schon in der Schule lernt,
-es ist daher nicht überraschend, dass die bekannten Rechenregeln
-auch für Polynome gelten.
+Die Menge $R[X]$ aller Polynome über $R$ mit den beschriebenen
+Operationen ist ein Ring. 
 Das Distributivgesetz
+\index{Distributivgesetz}%
 \[
 p(X)(u(X)+v(X)) = p(X)u(X) + p(X)v(X)
 \qquad
@@ -152,6 +121,7 @@ p(X)(u(X)+v(X)) = p(X)u(X) + p(X)v(X)
 \]
 zum Beispiel sagt ja nichts anderes, als dass man ausmultiplizieren
 kann.
+\index{ausmultiplizieren}%
 Oder die Assoziativgesetze
 \begin{align*}
 p(X)+q(X)+r(X)
@@ -178,6 +148,7 @@ Reihenfolge man die Additionen oder Multiplikationen ausführt.
 \begin{definition}
 Der {\em Grad} eines Polynoms $p(X)$ ist die höchste Potenz von $X$, die im
 Polynom vorkommt.
+\index{Grad eines Polynoms}%
 Das Polynom
 \[
 p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1}+\dots a_1X + a_0
@@ -219,10 +190,12 @@ $\deg(\lambda p) \le \deg\lambda + \deg p$.
 
 \begin{proof}[Beweis]
 Wir schreiben die Polynome wieder in der Form
-\begin{align*}
+\[
+\begin{aligned}
 p(X) &= a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0&&\Rightarrow&\deg p&=n\\
 q(X) &= b_mX^m + b_{m-1}X^{m-1} + \dots + b_1X + b_0&&\Rightarrow&\deg q&=m.
-\end{align*}
+\end{aligned}
+\]
 Dann kann der höchste Koeffizient in der Summe $p+q$ nicht weiter oben
 sein als die grössere von den beiden Zahlen $n$ und $m$ angibt, dies
 beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradsumme}.
@@ -230,48 +203,15 @@ Ebenso kann der höchste Koeffizient im Produkt nach der
 Formel~\eqref{buch:eqn:polynome:faltung} nicht weiter oben als bei
 $n+m$ liegen, dies beweist
 beweist \eqref{buch:eqn:polynome:gradprodukt}.
-Es könnte aber passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
+In einem Ring mit Nullteilern
+(Siehe Definition~\ref{buch:grundlagen:def:nullteiler})
+könnte es passieren, dass $a_nb_m=0$ ist, d.~h.~es ist durchaus möglich,
 dass der Grad kleiner ist.
 Schliesslich kann der höchsten Koeffizient von $\lambda p(X)$ nicht grösser
 als der höchste Koeffizient von $p(X)$ sein, was
 \eqref{buch:eqn:polynome:gradskalar} beweist.
 \end{proof}
 
-Etwas enttäuschend an diesen Rechenregeln ist, dass der Grad eines
-Produktes nicht exakt die Summe der Grade hat.
-Der Grund ist natürlich, dass es in gewissen Ringen $R$ passieren kann,
-dass das Produkt $a_n\cdot b_m=0$ ist.
-Zum Beispiel ist im Ring der $2\times 2$ Matrizen das Produkt der Elemente
-\begin{equation}
-a_n = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
-\quad\text{und}\quad
-b_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}
-\qquad\Rightarrow\qquad
-a_nb_m = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
-\label{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel}
-\end{equation}
-Diese unangehme Situation tritt immer ein, wenn es von Null verschiedene
-Elemente gibt, deren Produkt $0$ ist.
-In Matrizenringen ist das der Normalfall, man kann diesen Fall also nicht
-einfach ausschliessen.
-In den Zahlenmengen wie $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{R}$ passiert
-das natürlich nie.
-
-\begin{definition}
-Ein Ring $R$ heisst {\em nullteilerfrei}, wenn für zwei Elemente
-$a,b\in R$ aus $ab=0$ immer geschlossen werden kann, dass
-$a=0$ oder $b=0$.
-Ein von $0$ verschiedenes Element $a\in R$ heisst Nullteiler,
-wenn es eine $b\in R$ mit $b\ne 0$ gibt derart dass $ab=0$.
-\index{Nullteiler}
-\index{nullteilerfrei}
-\end{definition}
-
-Die beiden Matrizen in
-\eqref{buch:eqn:definitionen:nullteilerbeispiel}
-sind Nullteiler im Ring $M_2(\mathbb{Z})$ der $2\times 2$-Matrizen.
-Der Matrizenring $M_2(\mathbb{Z})$ ist also nicht nullteilerfrei.
-
 In einem nullteilerfreien Ring gelten die Rechenregeln für den Grad
 jetzt exakt:
 
@@ -381,6 +321,7 @@ R^{(k+l)}[X].
 Im Ring der ganzen Zahlen sind nicht alle Divisionen ohne Rest
 ausführbar, so entsteht das Konzept der Teilbarkeit.
 Der Divisionsalgorithmus, den man in der Schule lernt, liefert
+\index{Divisionsalgorithmus}%
 zu beliebigen ganzen Zahlen $a,b\in\mathbb{Z}$ den Quotienten
 $q$ und den Rest $r$ derart, dass $a=qb+r$.
 Der Algorithmus basiert auf der Zehnersystemdarstellung 
@@ -399,11 +340,12 @@ b &= b_mX^{n} + b_{m-1}X^{n-1} + \dots + b_1X^{1} + b_0,
 \end{align*}
 mit dem einzigen Unterschied, dass statt $X$ mit der festen Zahl $X=10$
 gearbeitet wird.
-Der Teilungsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht
+Der Divisionsalgorithmus für Polynome lässt sich aber leicht
 rekonstruieren.
 
 \subsubsection{Polynomdivision}
 Wir zeigen den Polynomdivisionsalgorithmus an einem konkreten Beispiel.
+\index{Polynomdivision}%
 Gesucht sind Quotient $q\in \mathbb{Z}[X]$ und Rest $r\in\mathbb{Z}[X]$
 der beiden Polynome
 \begin{equation}
@@ -427,7 +369,7 @@ X^4&-& X^3&-&7X^2&+& X&+&6&:&X^2&+&X&+&1&=&X^2&-&2X&-&6=q\\
    & &    & &    & &9X&+&12\rlap{$\mathstrut=r$}& &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{7-9}
 \end{array}
 \]
-Durch nachrechnen kann man überprüfen, dass tatsächlich
+Durch Nachrechnen kann man überprüfen, dass tatsächlich
 \begin{align*}
 bq
 &=
@@ -445,7 +387,7 @@ Jedes für $q$ in Frage kommende Polynom vom Grad $2$ muss von der
 Form $q=q_2X^2+q_1X+q_0$ sein.
 Multipliziert man mit $b$, erhält man $bq=2q_2X^4 + (2q_1+q_2)X^3+\dots$.
 Insbesondere ist es nicht möglich mit ganzzahligen Quotienten
-$q_k\in\mathbb{Z}$ auch nur der ersten Koeffizienten von $a$ zu
+$q_k\in\mathbb{Z}$ auch nur den ersten Koeffizienten von $a$ zu
 erhalten.
 Dazu müsste nämlich $a_n = 1 = 2q_2$ oder $q_2 = \frac12\not\in\mathbb{Z}$
 sein.
@@ -454,7 +396,7 @@ Division durch den führenden Koeffizienten des Divisorpolynomes $b$
 immer ausführbar ist.
 Im Beispiel~\eqref{buch:polynome:eqn:divisionsaufgabe} war das der
 Fall, weil der führende Koeffizient $1$ war.
-Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist das aber nur der Fall,
+Für beliebige Polynome $b\in R[X]$ ist dies aber nur dann immer der Fall,
 wenn die Koeffizienten in Tat und Wahrheit einem Körper entstammen.
 
 Im Folgenden betrachten wir daher nur noch Polynomringe mit Koeffizienten
@@ -494,6 +436,7 @@ $f=qg+r$, wobei ausserdem $\deg r<\deg g$ ist.
 
 \begin{definition}
 Ein {\em euklidischer Ring} $R$ ist ein nullteilerfreier Ring mit einer
+\index{euklischer Ring}%
 Gradfunktion $\deg\colon R\setminus\{0\}\to\mathbb{N}$ mit folgenden
 Eigenschaften
 \begin{enumerate}
@@ -520,10 +463,12 @@ zerlegt werden.
 
 \subsubsection{Irreduzible Polynome}
 Das Konzept der Primzahl lässt sich wie folgt in den Polynomring übertragen.
+\index{Primzahl}%
 
 \begin{definition}
-Ein Polynom $f\in R[X]$ heisst irreduzibel, es keine Faktorisierung $f=gh$
-in Faktoren $g,h\in R[X]$ mit $\deg(g)>0$ und $\deg(h) >0$.
+Ein Polynom $f\in R[X]$ heisst irreduzibel, wenn es keine Faktorisierung $f=gh$
+in Faktoren $g,h\in R[X]$ mit $\deg(g)>0$ und $\deg(h) >0$ gibt.
+\index{irreduzibles Polynom}%
 \end{definition}
 
 \begin{beispiel}
@@ -540,7 +485,7 @@ x_i = -\frac{b}2\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}
 \]
 gefunden werden.
 Die Faktorisierung ist also genau dann möglich, wenn $b^2/4-c$ ein 
-Quadrat in $\mathbb{Q}$.
+Quadrat in $\mathbb{Q}$ ist.
 In $\mathbb{R}$ ist das Polynom faktorisierbar, wenn $b^2-4c\ge 0$ ist.
 In $\mathbb{C}$ gibt es keine Einschränkung, die Wurzel zu ziehen,
 in $\mathbb{C}$ gibt es also keine irreduziblen Polynome im Grad $2$.
@@ -572,12 +517,3 @@ eindeutig sind.
 \end{satz}
 
 
-%
-% Abschnitt über formale Potenzreihen
-%
-\subsection{Formale Potenzreihen
-\label{buch:subsection:polynome:potenzreihen}}
-XXX TODO
-
-
-
diff --git a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
index 408587d..0743592 100644
--- a/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
+++ b/buch/chapters/20-polynome/vektoren.tex
@@ -25,14 +25,14 @@ a_{n-1}\\
 a_{n}
 \end{pmatrix}
 \in
-R^n.
+R^{n+1}.
 \]
 Diese Darstellung eines Polynoms gibt auch die Addition von Polynomen
 und die Multiplikation von Polynomen mit Skalaren aus $R$ korrekt wieder.
 Die Abbildung von Vektoren auf Polynome
 \[
 \varphi
-\colon  R^n \to R[X]
+\colon  R^{n+1} \to R[X]
 :
 \begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}
 \mapsto
@@ -52,7 +52,7 @@ Die Abbildung $\varphi$ ist also ein Isomorphismus
 \varphi
 \colon
 \{p\in R[X]\;|\; \deg(p) \le n\}
-\overset{\equiv}{\to}
+\overset{\cong}{\to}
 R^{n+1}
 \]
 zwischen der Menge
@@ -93,7 +93,7 @@ mit der Eigenschaft, dass die Komponenten mit Indizes
 $m+1,\dots n$ verschwinden.
 Polynome vom Grad $m<n$ bilden einen Unterraum der Polynome vom Grad $n$.
 Wir können auch die $m+1$-dimensionalen Vektoren in den $n+1$-dimensionalen
-Vektoren einbetten, indem wir die Vektoren durch ``auffüllen'' mit Nullen
+Vektoren einbetten, indem wir die Vektoren durch ``Auffüllen'' mit Nullen
 auf die richtige Länge bringen.
 Es gibt also eine lineare Abbildung
 \[
@@ -108,25 +108,25 @@ b_0\\b_1\\\vdots\\b_m\\0\\\vdots
 \end{pmatrix}
 .
 \]
-Die Moduln $R^{k}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
+Die Moduln $R^{k+1}$ sind also alle ineinandergeschachtelt, können aber
 alle auf konsistente Weise mit der Abbildung $\varphi$ in den Polynomring
 $R[X]$ abgebildet werden.
 \begin{center}
-\begin{tikzcd}
-\{0\}\ar[r] %\arrow[d,"\varphi"]
-	&R \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"]
-		&R^2 \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"]
+\begin{tikzcd}[>=latex]
+R \ar[r] \arrow[d, "\varphi"]
+	&R^2 \ar[r] \arrow[d, "\varphi"]
+		&R^3 \ar[r] \arrow[d, "\varphi"]
 			&\dots \ar[r]
-				&R^k \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"]
-					&R^{k+1} \ar[r] %\arrow[d, "\varphi"]
+				&R^k \ar[r] \arrow[d, "\varphi"]
+					&R^{k+1} \ar[r] \arrow[d, "\varphi"]
 						&\dots
 \\
 R^{(0)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drrr,hook]
 	&R^{(1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drr,hook]
 		&R^{(2)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dr,hook]
 			&\dots\arrow[r,hook]
-				&R^{(k)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dl,hook]
-					&R^{(k+1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dll,hook]
+				&R^{(k-1)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dl,hook]
+					&R^{(k)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[dll,hook]
 						&\dots
 \\
 	&
@@ -137,10 +137,115 @@ R^{(0)}[X]\arrow[r,hook] \arrow[drrr,hook]
 						&
 \end{tikzcd}
 \end{center}
+In diesem Sinne können wir $R^m$ für $m<n$ als Teilmenge von $R^n$ betrachten
+und $R^\infty$ als deren Vereinigung definieren.
+Polynome in $R[X]$ sind also Vektoren beliebiger Länge mit Kompoenten
+in $R$.
+
 \subsection{Multiplikative Struktur
 \label{buch:subsection:polynome:multiplikativestruktur}}
+Den Polynomring $R[X]$ aus den Vektoren $R^{k}$ aufzubauen, bedeutet,
+dass wir die multiplikative Struktur ignorieren.
+Augrund der Rechenregeln für das Symbol $X$ können wir $X$ als einen
+Multiplikationsoperator 
+\[
+{X\cdot} 
+\colon R^{m} \to R^{n}
+:
+\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\\vdots\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}0\\a_0\\a_1\\\vdots\end{pmatrix}
+\]
+betrachten.
+Diese Operatoren setzen sich zusammen zu einem Operator
+\[
+{X\cdot} \colon R^\infty \to \infty,
+\]
+der die Multiplikation mit $X$ beschreibt.
 
+Ist $p(X)$ ein Polynom, dann lässt sich die Multiplikation
+in von Polynome mit $R[X]$ ebenfalls als Operator schreiben.
+Die Potenz $X^k$ wird durch $k$-fache Iteration des Operators
+$X\cdot$.
+Das Polynom $p(X)$ wird durch Linearkombination, entspricht
+also dem Operator, den man durch Einsetzen von $X\cdot$
+in das Polynom erhalten kann:
+\[
+p(X\cdot)
+=
+a_n(X\cdot)^n + a_{n-1}(X\cdot)^{n+1} + \dots + a_1(X\cdot) + a_0
+\colon
+R^\infty \to R^\infty
+:
+q(X) 
+\mapsto
+p(X)q(X).
+\]
+Man kann den Operator $X\cdot$ oder den iterierten Operator
+$(X\cdot)^k$ auch in Matrixform darstellen:
+\begin{align*}
+{X\cdot}
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0&0&\dots\\
+1&0&0&0&\dots\\
+0&1&0&0&\dots\\
+0&0&1&0&\dots\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots
+\end{pmatrix}
+&
+(X\cdot)^k
+&=
+\begin{pmatrix}
+  0   &  0   &  0   &  0   &\dots\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&     \\
+  0   &  0   &  0   &  0   &\dots\\
+  1   &  0   &  0   &  0   &\dots\\
+  0   &  1   &  0   &  0   &\dots\\
+  0   &  0   &  1   &  0   &\dots\\
+\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots
+\end{pmatrix}.
+\end{align*}
+In der Matrix für $(X\cdot)^k$ steht die erste $1$ auf der
+$k+1$-ten Zeile.
+Der zum Polynom $p(X)$ gehörige Operator $p(X\cdot)$ bekommt
+damit die Matrix
+\[
+p(X\cdot)
+=
+\begin{pmatrix}
+a_0    & 0     &  0   &  0   &  0   & \dots  \\
+a_1    &a_0    &  0   &  0   &  0   & \dots  \\
+a_2    &a_1    & a_0  &  0   &  0   & \dots  \\
+a_3    &a_2    & a_1  & a_0  &  0   & \dots  \\
+a_4    &a_3    & a_2  & a_1  & a_0  & \dots  \\
+\vdots &\vdots &\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
+\end{pmatrix}.
+\]
+Da die Matrix-Operation als Produkt
+$\text{Zeile}\times\text{Spalte}$ ausgeführt wird,
+kann man erkennen, dass das Polynomprodukt auch auf
+eine Faltung hinausläuft.
 
+Die wichtigste Lehre aus obigen Ausführungen aber ist
+die Beobachtung, dass sich eine ganz allgemeine Algebra
+wie die der Polynome auf sehr direkte Art und Weise auf
+abbilden lässt in eine Algebra von Matrizen auf einem
+geeigneten Vektorraum.
+Im vorliegenden Fall sind das zwar ``undendliche''
+Matrizen, in zukünftigen Beispielen werden wir das
+selbe Prinzip jedoch in Aktion sehen in Situationen,
+wo eine Operation auf einem endlichen Vektorraum
+und ``gewöhnliche'' Matrizen entstehen.
+Die Möglichkeit, beliebige Polynome solcher Operatoren
+zu berechnen, erlaubt uns, mehr über den Operator 
+herauszufinden
 
-
+Dies eröffnet vielfältige Möglichkeiten, auf einfachere
+Art mit den Operatoren zu rechnen.
+In Kapitel~\ref{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren}
+wird sich daraus eine Reihe von Normalformen einer Matrix
+ergeben sowie die Möglichkeit, für viele Matrizen $A$
+die Matrix $f(A)$ für eine grosse Zahl von praktisch
+interessanten Funktionen $f(z)$ zu berechnen.