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path: root/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-06-14 07:26:10 +0200
committerGitHub <noreply@github.com>2021-06-14 07:26:10 +0200
commit114633b43a0f1ebedbc5dfd85f75ede9841f26fd (patch)
tree18e61c7d69883a1c9b69098b7d36856abaed5c1e /buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
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-rw-r--r--buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex123
1 files changed, 82 insertions, 41 deletions
diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
index 28f4d2c..65c18a2 100644
--- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
+++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/uebungsaufgaben/3005.tex
@@ -1,10 +1,12 @@
-Das Polynom $m(X)=X^2+X+1$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel.
+% !TeX spellcheck = de_CH
+Das Polynom $m(X)=X^2+2X+2$ ist als Polynom in $\mathbb{F}_3[X]$ irreduzibel.
Dies bedeutet, dass der Ring der Polynome $\mathbb{F}_3[X] / (m(X))$
-ein Körper ist, man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$,
-wobei man sich $\alpha$ als eine Nullstelle von $m(X)$
+ein Körper ist.
+Man bezeichnet ihn auch mit $\mathbb{F}_3(\alpha)$,
+wobei man sich $\alpha$ als Nullstelle von $m(X)$
oder als die Matrix
\[
-\alpha = \begin{pmatrix} 0&2\\1&2\end{pmatrix}
+\alpha = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix}
\]
vorstellen kann.
\begin{teilaufgaben}
@@ -70,17 +72,30 @@ Die Additions- und Multiplikationstabelle von $\mathbb{F}_3$ ist
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item
-Wegen $m(\alpha)=\alpha^2+\alpha+1=0$ folgt $\alpha+1+\alpha^{-1}=0$
-oder $\alpha^{-1} = -\alpha - 1 = 2+2\alpha$.
+Aus $m(\alpha)=\alpha^2+2\alpha+2=0$ folgt
+\begin{align*}
+ \alpha + 2 + 2\alpha^{-1}
+ &=
+ 0
+ \\
+ 2\alpha^{-1}
+ &=
+ 2\alpha + 1
+ \\
+ \alpha^{-1}
+ &=
+ \alpha + 2
+ .
+\end{align*}
Als Matrix kann man
\[
\alpha^{-1}
=
-2\alpha + 2
+\alpha + 2
=
\begin{pmatrix}
-0&4\\
-2&4
+0&1\\
+1&1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
@@ -88,10 +103,10 @@ Als Matrix kann man
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2&4\\2&2
+2&1\\1&3
\end{pmatrix}
\equiv
-\begin{pmatrix}2&1\\2&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}
\mod 3
\]
schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt
@@ -99,17 +114,17 @@ schreiben und durch Nachrechnen verifizieren dass, tatsächlich gilt
\alpha\alpha^{-1}
=
\begin{pmatrix}
-0&2\\
-1&2
+0&1\\
+1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2&1\\
-2&0
+1&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-4&0\\
-6&1
+1&0\\
+3&1
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
@@ -125,9 +140,11 @@ Im ersten Schritt ist es
\[
\arraycolsep=1.4pt
\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
- \llap{$($}X^2&+&X&+&1\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X = q_1\\
-\llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& & & & & & & & \\ \cline{1-3}
- & &0&+&1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& & & & & \\
+ \llap{$($}X^2&+&2X&+&2\rlap{$)$}&\;:&(X&+&1)&=&X + 1 = q_1\\
+ \llap{$-($}X^2&+&X\rlap{$)$}& & & & & & & & \\ \cline{1-3}
+ & &X&+&2 & & & & & & \\
+ & & \llap{$-($}X&+&1\rlap{$)$} & & & & & & \\ \cline{3-5}
+ & & & &1 &\rlap{$\mathstrut = r_1$}\phantom{)}& & & & &\\
\end{array}
\]
Die nächste Division ist $(X+1) : 1$, die als Quotient $q_2=X+1$ und den
@@ -152,53 +169,77 @@ Q(q_1)
0&1\\1&2X+2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-0&1\\{\color{red}1}&{\color{red}2X}
+0&1\\1&2X+2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-{\color{red}1}&{\color{red}2X}\\
-2X&X^2+X+1
+1&2X+2\\
+2X+2&X^2+X+2
\end{pmatrix}.
\end{align*}
-Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X$ und man kann nachrechnen,
+Die gesuchten Polynome sind $s=1$ und $t=2X+2$ und man kann nachrechnen,
dass
\begin{align*}
s\cdot m(X) + t\cdot (X+1)
&=
-X^2+X+1 + 2X\cdot (X+1)
-=
-X^2+X+1 + 2X^2 + 2X
+X^2+2X+2 + (2X+2)\cdot (X+1)
\\
-&= 3X^2+3X+1\equiv 1 \mod 3.
+&=
+X^2+2X+2 + 2X^2 + 4X + 2
+\\
+&= 3X^2+6X+1\\
+&\equiv 1 \mod 3.
\end{align*}
Natürlich kann man $s$ und $t$ auch mit der erweiterten Tabelle
finden:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|}
\hline
-k& a_k&b_k& q_k&r_k& c_k& d_k\\
+k& a_k&b_k & q_k&r_k& c_k& d_k\\
\hline
- & & & & & 1& 0\\
-0&X^2+X+1&X+1& X & 1& 0& 1\\
-1& X+1& 1& X+1& 0&{\color{red} 1}&{\color{red} 2X}\\
-2& 1& 0& & 0&2X+2& 2X^2+2X\\
+ & & & & & 1& 0\\
+0&X^2+2X+2&X+1& X+1& 1& 0& 1\\
+1& X+1& 1& X+1& 0& 1& 2X+2\\
+2& 1& 0& & 0&2X+2&X^2+2X+2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
-In allen Fällen ist also $(1+X)^{-1} = 2X$.
+In allen Fällen ist also $(X+1)^{-1} = 2X+2$.
\item
-Wegen $m(\alpha)=0$ ist $\alpha^2=-\alpha-1=2\alpha+2$ und damit
+Wegen $m(\alpha)=\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ ist
+$\alpha^2=-2\alpha-2=\alpha+1$ und damit
\begin{align*}
\alpha^3
&=
-\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (2\alpha +2) =
-2\alpha^2 + 2\alpha
-=
-2(\underbrace{\alpha^2 + \alpha + 1}_{\displaystyle=0} + 2)
-=
-2\cdot 2
+\alpha\cdot \alpha^2 = \alpha (\alpha +1) =
+\alpha^2 + \alpha
=
-1.
+2\alpha+1
+.
+\end{align*}
+Die restlichen Potenzen von $\alpha$ sind
+\begin{align*}
+ \alpha^4
+ &=
+ \alpha (2\alpha+1)
+ = 2\alpha^2 + \alpha
+ = 2\alpha + 2 + \alpha = 2
+ \\
+ \alpha^5
+ &=
+ 2\alpha
+ \\
+ \alpha^6
+ &=
+ 2\alpha^2
+ =
+ 2\alpha + 2
+ \\
+ \alpha^7
+ &=
+ 2\alpha^2 + 2\alpha
+ =
+ \alpha + 2
\qedhere
\end{align*}
\end{teilaufgaben}