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path: root/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben
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authorNao Pross <np@0hm.ch>2021-04-08 18:49:39 +0200
committerNao Pross <np@0hm.ch>2021-04-08 18:49:39 +0200
commitcff99b9070bf79a4e98723bbcab5d09909e6e02b (patch)
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-rw-r--r--buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex12
-rw-r--r--buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex30
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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
index 2fab61a..dd82067 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex
@@ -2,7 +2,7 @@ Verwenden Sie die Matrixdarstellung komplexer Zahlen, um $i^i$ zu
berechnen.
\begin{hinweis}
-Verwenden Sie die eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen.
+Verwenden Sie die Eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen.
\end{hinweis}
\begin{loesung}
@@ -14,11 +14,11 @@ Zunächst erinnern wir an die Eulersche Formel
=
\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k J^k}{k!}
=
-\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot E
+\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot I
+
\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i+1}(-1)^i}{(2i+1)!}\cdot J
=
-\cos t\cdot E
+\cos t\cdot I
+
\sin t\cdot J.
\]
@@ -49,7 +49,7 @@ J = \begin{pmatrix}
Als nächstes müssen wir $J\log J$ berechnen.
Aus \eqref{4001:logvalue} folgt
\[
-J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot E.
+J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot I.
\]
Darauf ist die Exponentialreihe auszuwerten, also
\[
@@ -57,7 +57,7 @@ J^J
=
\exp (J\log J)
=
-\exp(-\frac{\pi}2 E)
+\exp(-\frac{\pi}2 I)
=
\exp
\begin{pmatrix}
@@ -70,7 +70,7 @@ e^{-\frac{\pi}2}&0\\
0&e^{-\frac{\pi}2}
\end{pmatrix}
=
-e^{-\frac{\pi}2} E.
+e^{-\frac{\pi}2} I.
\]
Als komplexe Zahlen ausgedrückt folgt also $i^i = e^{-\frac{\pi}2}$.
\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
index 3cd9959..b749356 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex
@@ -78,11 +78,11 @@ Ab_1 =
3b_1
\]
ab.
-Diesen Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-eE)$
+Diesen Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$
bestimmen.
-Die vierte Potenz von $A-2E$ ist
+Die vierte Potenz von $A-2I$ ist
\begin{equation}
-(A-2E)^4
+(A-2I)^4
=
\begin{pmatrix}
0& 0& 0& 0\\
@@ -108,13 +108,13 @@ b_4
=
\begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix}
\]
-für den Kern $\mathcal{K}(A-2E)$ ablesen.
-Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2E)
-= \mathcal{J}(A-3E)$ sein.
-Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2E$
+für den Kern $\mathcal{K}(A-2I)$ ablesen.
+Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2I)
+= \mathcal{J}(A-3I)$ sein.
+Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2I$
berechnen, sie ist
\[
-(A-2E)^4
+(A-2I)^4
=
\begin{pmatrix}
79& -26& 152& -152\\
@@ -124,7 +124,7 @@ berechnen, sie ist
\end{pmatrix}.
\]
Die Spaltenvektoren lassen sich alle durch die Vektoren $b_2$, $b_3$
-und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2E)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$.
+und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$.
Indem die Vektoren $b_i$ als Spalten in eine Matrix $T$ schreibt, kann man
jetzt berechnen, wie die Matrix der linearen Abbildung in dieser neuen
@@ -154,16 +154,16 @@ A_1
\end{pmatrix}
\]
in der rechten unteren Ecke hat den dreifachen Eigenwert $2$,
-und die Potenzen von $A_1-2E$ sind
+und die Potenzen von $A_1-2I$ sind
\[
-A_1-2E
+A_1-2I
\begin{pmatrix}
-15 & 5& 29\\
-27 & 9& 51\\
-3 & 1& 6
\end{pmatrix}
,\qquad
-(A_1-2E)^2
+(A_1-2I)^2
=
\begin{pmatrix}
3 & -1 & -6\\
@@ -171,10 +171,10 @@ A_1-2E
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
,\qquad
-(A_1-2E)^3=0.
+(A_1-2I)^3=0.
\]
Für die Jordan-Normalform brauchen wir einen von $0$ verschiedenen
-Vektor im Kern von $(A_1-2E)^2$, zum Beispiel den Vektor mit den
+Vektor im Kern von $(A_1-2I)^2$, zum Beispiel den Vektor mit den
Komponenten $1,3,1$.
Man beachte aber, dass diese Komponenten jetzt in der neuen Basis
$b_2,\dots,b_4$ zu verstehen sind, d.~h.~der Vektor, den wir suchen, ist
@@ -185,7 +185,7 @@ b_1+ 3b_2+b_3
=
\begin{pmatrix}1\\3\\1\\2\end{pmatrix}.
\]
-Jetzt berechnen wir die Bilder von $c_3$ unter $A-2E$:
+Jetzt berechnen wir die Bilder von $c_3$ unter $A-2I$:
\[
c_2
=